學而思高中題庫完整版二項式定理.版塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差.學生版

1、賦值求某些項系數(shù)的和與差知識內容1.二項式定理二項式定理.n 0n 1 n 12n 2, 2n, na bCnaCna b Cna b . Cnb n N這個公式表示的定理叫做二項式定理.二項式系數(shù)、二項式的通項C：an C1an1b C2an2b2 . Cnbn叫做a b n的二項展開式，其中的系數(shù)C； r 0, 1, 2, ., n叫做二項式系數(shù)， 式中的C：an rb叫做二項展開式的通項，用Tri表示，即通項為展開式的第r 1項：Tr 1 Cnanrbr.二項式展開式的各項哥指數(shù)二項式a bn的展開式項數(shù)為n 1項，各項的哥指數(shù)狀況是各項的次數(shù)都等于二項式的哥指數(shù)n .字母a的按降哥排列

2、，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零，字母b按升哥排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.幾點注意通項Tr1 Cnanrb是a bn的展開式的第r 1項，這里r 0,1,2,., n .二項式 a bn的r 1項和b a n的展開式的第r 1項C：bn rar是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換的.注意二項式系數(shù)（C；）與展開式中對應項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)有時可為負.通項公式是 a b n這個標準形式下而言的，如a b n的二項展開式的通項公式是Tr 11 rC；an rbr （只須把 b看成b代入二項式定理） 這與Tr 1 C：an rb是

3、不同的，在這.板塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差.題庫1好學鋁智 IS患青廉里對應項的二項式系數(shù)是相等的都是c：，但項的系數(shù)一個是i rcn, 一個是c：,可看出，二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念.設 a 1, b x,則得公式：1 xn 1 C：x C：x2 . C：xr . xn.通項是 Tr 1 C：an rbr r 0, 1, 2, ., n 中含有 Tr 1, a, b, n, r 五個元素，只要知道其中四個即可求第五個元素.當n不是很大，|x比較小時可以用展開式的前幾項求(1 x)n的近似值.2.二項式系數(shù)的性質楊輝三角形：對于n是較小的正整數(shù)時，可以直接寫出各項系數(shù)而不

4、去套用二項式定理，二項式系數(shù)也可以直接用楊輝三角計算.楊輝三角有如下規(guī)律：“左、右兩邊斜行各數(shù)都是 1 .其余各數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字的和.二項式系數(shù)的性質：a b n展開式的二項式系數(shù)是：C0, C：, C2, ., C；,從函數(shù)的角度看 C：可以看成是r為自變量的函數(shù)f r ,其定義域是：0, 1, 2, 3, ., n .當n 6時，f r的圖象為下圖：汽 ，=W NS T -J6 L .二；12IO這樣我們利用“楊輝三角”和n 6時f r的圖象的直觀來幫助我們研究二項式系數(shù)的性質.對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等.事實上，這一性質可直接由公式cm C：m得到.增減性與最

5、大值如果二項式的哥指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的哥指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大.由于展開式各項的二項式系數(shù)順次是Cni n 21, Cn, Cn13 n n 1 n 2Cn 1 2 3Cnn n 1 n 2 . n k 2 k nn1n2 nk2nk11 2 3 . k 1' Cn1 2 3k 1 k其中，后一個二項式系數(shù)的分子是前一個二項式系數(shù)的分子乘以逐次減小1的數(shù)（如n, n 1, n 2, .），分母是乘以逐次增大的數(shù)（如 1, 2, 3,）.因為，一個自然數(shù)乘以一個大于1的數(shù)則變大，而乘以一個小于1的數(shù)則變小，從而當 k依次取1，2，3,等

6、值 時，Cn的值轉化為不遞增而遞減了.又因為與首末兩端“等距離”的兩項的式系數(shù)相等，所以二項式系數(shù)增大到某一項時就逐漸減小，且二項式系數(shù)最大的項必在中間.當n是偶數(shù)時，n 1是奇數(shù)，展開式共有 n 1項，所以展開式有中間一項，并且這一項的n二項式系數(shù)最大，最大為 Cn2.當n是奇數(shù)時，n 1是偶數(shù)，展開式共有 n 1項，所以有中間兩項.n 1 n 1這兩項的二項式系數(shù)相等并且最大，最大為C產(chǎn) C?.二項式系數(shù)的和為2n，即C0 Cn C2 . Cn . C； 2n.奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即.板塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差.題庫4好學官智 IS患青廉Cn

7、0C2C4C；C；C52n 1常見題型有：求展開式的某些特定項、項數(shù)、系數(shù)，二項式定理的逆用，賦值用，簡單的組合數(shù)式問題.gim 典例分析二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差一 2 1 1【例1】x2 -3的展開式中常數(shù)項為 ；各項系數(shù)之和為 .（用數(shù)字作答）x【例2】 若（x l）n展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式的常數(shù)項為 （用數(shù)字x_ 8【例3】2返展開式中不含x4的項的系數(shù)和為91015A1B2C.2D.2n【例4】若x2 4展開式的各項系數(shù)之和為 32,則n x.（用數(shù)字作答）,其展開式中的常數(shù)項為【例 5】(1x)6aoaixa2X2La6X6,則 aoaia2 L 出【例6

8、】在二項式n&4的展開式中, 24x前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,求展開式中所有有理項.5【例7】2；其展開式中各項系數(shù)之和為x 的展開式中x2的系數(shù)是x.板塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差.題庫【例 8】若（2x點）4aoaxa2*2a3x3a4x4,則 a?aj2（a1a3）2的值為 （用數(shù)字作答）._ n【例9】設5x Jx的展開式的各項系數(shù)之和為M, 二項式系數(shù)之和為N,若一一一 -3一M N 240,則展開式中x的系數(shù)為（）A.150B. 150C. 500D. 500【例10若（x 2）n展開式的二項式系數(shù)之和等于64,則第三項是 n【例11若x 1 展開式的二項式系數(shù)

9、之和為 64,則展開式的常數(shù)項為 xn【例12】在二項式 我 4 的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列.23 x求展開式的第四項； 求展開式的常數(shù)項； 求展開式的各項系數(shù)的和.板塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差.題庫6好學鋁智 日患青廉【例13】_100.3x ao2ax a?x3a3x.100Laiooxaoa2a4 L2aiooaia5 L2 的值.【例14若(1 x) (1 x)2 L(1 x)nao a(x 1) L an(x 1)n ,.板塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差.題庫好學鉛警 日患青廉貝U a0 a1 L an【例 15若(2x «3)4

10、ao &x a?x2 a3x3a4x4 , 則(ao a2 a4)2 (4a3)2 的值為 （用數(shù)字作答）【例 16若(x 2)5 ao a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 , 則 a1 a2 a3 4 a5 .a7x7 ,求 |a° | |4 | L |a? |.【例18】若1 2x 7 a0 &23a?xa3x4 adx5a5x67a6xa?x ,求 生a2a4 a6 的值.【例19若(2x兩4% a1x a2x2a3x3 a4x4 ,則(a。 a2a4)2 (a1 a3)2 的值為().A. 1B.1C. 0D. 2【例20若(1 2x)1002.a

11、。 a(x 1) a2(x 1) La10o(x 1)，貝J a a?a5LaggA. %100 1) B , 1(3100 1) 22111001100C . -(51) D . - (51)22【例 17 已知(1 2x)7 a0 a1x a2x2 L.板塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差.題庫9好學鋁警 口患宜廉a(chǎn)7x7,求:【例21】已知1 2x 7 ao a1x a2x L aa2a3 L a7; aia3a5a7; a。a?a4100【例 22 若 2 3Xxa0 a1x a2xa3x L100 a100X,求 a0 a 2 a 4 L2 a1002 , a1 a3 a5

12、L a99 的值.【例23 若(x 2)55a5X432adxa3Xa2Xaxa0 ,則 aia2a3為 a5.（用數(shù)字作答）.板塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差.題庫好學官警 日患育嚎【例24若(1 x) (1 x)2 L舞的值為（(1 x)n a0 a(x 1) L an(x 1)n , /n1cl. 1J- /-20092009i-trr aa2例 25 右 1 2x a。 &x L a2009x，貝U L22A. 0B. 2C.1D.2【例26 已知(x1)na。 4(x231) a2(x 1)2 a3(x 1)3 Ln_*an(x 1)n(n> 2, n N

13、).【例28 當n設bn5時，求a0 ala22TTT , Tnb2試用數(shù)學歸納法證明：當a2a3a4a5 的值;Tnn(n 1)(n 1)請先閱讀：在等式 cos2x 2cos2x 1(x R)的兩邊求導得由求導法則得(sin 2x) 24cosx ( sin x),化簡得sin2x利用一上述想法(或其他方法n0(1 x) Cn八1八2 2CnxCnxn 1 n 1Cn xn n ,Cnx(xRn(1 x)n1 1nk k 1kCnx；k 2對于整數(shù)n> 3 ,求證：n(1)kkCn0 .k 1對于整數(shù)n>3 ,求證n(1)kk2Cn0;nCn【例27 k 12nk ok 1),證明：k2Cn n(n 1)2nk 02(cos2 x) (2cos x 1),2sin xcosx.n> 2 ).板塊三.二項展開式3賦值求某些項系數(shù)的和與差題庫12好學謂智5思音曦【例29】證明:ko(k 1)( k 2)(n1)(2)【例30 求證:cn 2C2 L ncn2n 1【例31 5的二項展開式.【例32 A.設 f(x)1 5x5x4B.【例33 3210x 10x15x25xC.1 C；2 a C112 a2則f 1(x)等于()5 x2J2 12C12 aD. 1 5x.板塊三.二項展開式