高等數(shù)學(xué)第八節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程ppt課件

1、第八節(jié)第八節(jié) 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程)(),(10常數(shù) qpyqypy:)(為可改寫用算子1dxdD 02qypDyyD或02yqpDD)()(2)(3,xrey 設(shè),xrrey 則,xrery2 :)( 得代入 102xrxrxreqreper)(0 xre注意)(402qprr,)()(的特征方程叫做代數(shù)方程14)()()(的聯(lián)系或與注意314301P)(,524221qppr特征方程的根.)( 的特征根叫做 1:分三種情況討論,).為兩個不相同的實根212041rrqp,)(,的解都是則12121xrxreyey.)(常數(shù)且xrreyy2121.)(,的通解是齊次方

2、程所以12121xrxrececy:,).為一對共軛復(fù)根212042rrqp)(,021 irir.)(,)()(的解都是齊次方程則121xixieyey xixeey 1)sin(cosxixex xixeey 2)sin(cosxixex ,cosxeyyyx 2213令,sinxeiyyyx 2214.)(,的解也是則143yy,cot常數(shù)因為 xyy 434231ycycy所以.)( 的通解是 1.,).為二重實根2043212prrqp,)(,xrey111的一個解只得到這時)sincos(xcxcex 21的另一解可以求出即設(shè)用常數(shù)變易法)()(112xrexCy xrey11xr

3、xey12.)()(的通解是所以11212211xrexccycycy:小結(jié),.0012 qprryqypy的特征方程寫出方程,.212rr 和求出特征根:,.寫出微分方程的通解根據(jù)根的不同情形3 ir21,一對共軛復(fù)根21rr ,兩個不相等的實根21rr 兩個相等的實根xrxrececy2121xrexccy121)()sincos(xcxceyx 21:推廣階常系數(shù)齊次方程n0111ypypypynnnn)()(的特征方程為0111nnnnprprpr. ),(復(fù)特征根重單個根它有 n:,可以寫出微分方程的解根據(jù)特征方程的根r單實根xrce:給出一項一對單重復(fù)根)sincos(:xcxce

4、x 21給出兩項 ir21,rk重實根)(:121kkxrxcxccek項給出重復(fù)根一對k ir21,xxcxccekkx cos)(121sin)(xxdxddkk 121:項k2多項式的項數(shù)重數(shù) 021 yyy例:特征方程解,0122 rr,是二重實根1r.)(是原方程之通解所以xexccy210522 )()()(tststs例:特征方程解,0522 rr,是一對共軛復(fù)根ir21.)sincos()(是原方程之通解所以tctcetst222105234 yyy)(例:特征方程解,052234rrr05222)(rrr,021 rrir2143,:特征根021exccy)()sincos(xcxcex2243)sincos(xcxcexccx224321)(通解048 yy)(例:特征方程解,018r:特征根,1121rr4443 sincos,iri2222424265 sincos,iri434387 sincos,iri2222xxececy21xcxcex22224322sincosxcxcesincos650 xcxcex22228722sincos0254 yyy)(例:特征方程解,01224 rr,)(01