多路徑關(guān)聯(lián)DEA模型下的模糊數(shù)據(jù)效率分析

1、應(yīng)用數(shù)學(xué)科學(xué)，2009年3月，編號(hào)52，2603-2618頁(yè)多路徑關(guān)聯(lián)DEA模型下的模糊數(shù)據(jù)效率分析【摘要】在這篇論文中，我們首先介紹一種用于模糊輸入輸出的多路徑關(guān)聯(lián)DEA模型（MNFDEA），然后我們?cè)趪?yán)格的限制條件下使用該模型。這種多路徑關(guān)聯(lián)DEA的目標(biāo)函數(shù)使用的是向量的距離。因此我們對(duì)這一目標(biāo)函數(shù)加以限制。這之后我們使用一種帶有特定功能的排序函數(shù)將它轉(zhuǎn)化為一種在精確數(shù)據(jù)條件下使用的多路徑關(guān)聯(lián)模型。在論文的最后我們將證明這樣一個(gè)定理：如果一個(gè)DMU在模糊關(guān)聯(lián)模型中是無(wú)效率的，那么它在精確輸入輸出的關(guān)聯(lián)模型中也是無(wú)效率的，反之亦然?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)據(jù)包絡(luò)分析、多路徑關(guān)聯(lián)、模糊輸入輸出1、 引言數(shù)

2、據(jù)包絡(luò)分析（DEA）是一種衡量決策單位相對(duì)效率的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法。在DEA模型中我們假設(shè)各個(gè)決策單位是一致的，但現(xiàn)在我們假定輸入和輸出可以是不一致的。在大部分的實(shí)際案例中，決策單位或者產(chǎn)出過(guò)程自身包含著一些通過(guò)關(guān)系網(wǎng)絡(luò)相互關(guān)聯(lián)的子單位。這意味著一個(gè)子單位的輸出可能是另一個(gè)子單位的輸入，這些作用與反作用最終形成了系統(tǒng)的最后結(jié)果。Fare R所寫(xiě)的Grrosskopf就是基于這一過(guò)程。DEA模型的基本模型可以衡量一個(gè)決策單位的作用效果。實(shí)際上決策單位（DMU）或者產(chǎn)出過(guò)程被視為一個(gè)黑匣子，DUM并不是評(píng)價(jià)的一部分。但是在關(guān)聯(lián)DEA模型中我們可以考慮對(duì)在過(guò)程中發(fā)生的變化進(jìn)行評(píng)價(jià)。在關(guān)聯(lián)DEA模型中一個(gè)D

3、MU包括不同類(lèi)型的產(chǎn)出過(guò)程，有些輸入只與一個(gè)產(chǎn)出過(guò)程想關(guān)聯(lián)，而有些輸入與不止一個(gè)產(chǎn)出過(guò)程想關(guān)聯(lián)，這種模型就是所謂的多路徑關(guān)聯(lián)DEA模型。MNDEA與DEA的一個(gè)很重要的區(qū)別就在于，在MNDEA模型中，在兩個(gè)或多個(gè)子過(guò)程中共同使用的輸入并不先驗(yàn)于只與一個(gè)子過(guò)程相關(guān)聯(lián)的輸入。這使得使用兩個(gè)子過(guò)程的輸出作為另一個(gè)子過(guò)程的輸入成為可能。目前使用數(shù)學(xué)規(guī)劃技術(shù)對(duì)多個(gè)DMU評(píng)價(jià)在作業(yè)研究（OR）領(lǐng)域展現(xiàn)出廣泛的多樣性。DEA就是這些研究技術(shù)中的一種，它最早是由Charnes等人提出的。在DEA著作中可以找到許多模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃方法來(lái)評(píng)價(jià)DMU。Kao和Liu提出了模糊的概念，并通過(guò)引入 截的方法把一個(gè)模糊DEA

4、模型變?yōu)榫_DEA模型。Jahanshahloo, soleimani -damaneh, Leonand和Lertworasirikul等人也使用可能的規(guī)劃方法建立了一些模型。在這篇論文中我們首先介紹一種使用模糊輸入輸出的多路徑關(guān)聯(lián)DEA模型（MNFDEA），然后使用一種具有特定功能的排序函數(shù)來(lái)將其轉(zhuǎn)化為一種精確條件下的多路徑關(guān)聯(lián)模型。2、 方法闡述定義2.1模糊數(shù)就是一個(gè)模糊集滿(mǎn)足：1是上半連續(xù)的。2在區(qū)間c,d以外的。3.存在實(shí)數(shù)使得： 3.1. 在c,a內(nèi)單調(diào)遞增。 3.2. 在b,d內(nèi)單調(diào)遞減。 3.3我們把全部模糊數(shù)記做F(R)。定義2.2模糊數(shù)是一個(gè)滿(mǎn)足下列條件的函數(shù)對(duì)：1. 是

5、單調(diào)遞增的左連續(xù)函數(shù)。2. 是單調(diào)遞減的右連續(xù)函數(shù)。3. 一種常用的模糊數(shù)是可變區(qū)間a,b內(nèi)的四邊模糊數(shù)，左邊界為，右邊界為。如果它是一個(gè)具有以下形式的函數(shù)，那么我們就把它記為：。如果a=b，那么四邊模糊數(shù)就變?yōu)榱巳吥：龜?shù)，我們把所有三邊模糊數(shù)記為FT(R)。3、 排序函數(shù)在這里我們介紹一種類(lèi)似于排序函數(shù)的線(xiàn)性排序函數(shù)。對(duì)任意模糊數(shù)，我們使用排序函數(shù)如下：對(duì)于三邊模糊數(shù)，上式變形為：因此對(duì)于三邊模糊數(shù)我們有：當(dāng)且僅當(dāng)我們用表示模糊輸入，表示模糊輸出。一種運(yùn)算可以使模糊輸入集產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的模糊輸出集。這一將模糊輸入轉(zhuǎn)化為模糊輸出的運(yùn)算可由模糊輸入函數(shù)或模糊輸出函數(shù)來(lái)說(shuō)明。其中是模糊輸入向量的子集，

6、是模糊輸出向量的子集。映射過(guò)程可表示為 定義為：函數(shù)滿(mǎn)足無(wú)便利條件的常規(guī)情形下是封閉的凸面的，有非自由可能的模糊輸出。對(duì)于給定的方向向量。效率可用向量距離函數(shù)進(jìn)行測(cè)量。參考文獻(xiàn)14將這種方向距離函數(shù)擴(kuò)展到了精確輸入輸出情況。但在這里我們將只考慮模糊輸入輸出。4、 多路徑關(guān)聯(lián)模糊DEA模型（MNFDEA）DEA是一種用來(lái)評(píng)價(jià)DMU將模糊輸入轉(zhuǎn)化為模糊輸出相關(guān)效率的方法。在大部分實(shí)際應(yīng)用中，一種用DEA衡量產(chǎn)出效率的單一方法已成為了一種合適而有用的比較運(yùn)作效果并識(shí)別最優(yōu)程序的方式。然而，在一些案例中，一個(gè)DMU可能參與多條路徑的活動(dòng)，這樣在每一條路徑中的影響必須同時(shí)決定才能決絕效率分析的問(wèn)題。Be

7、asley和Mar Molinero提出了使用多路徑DEA模型評(píng)估大學(xué)中的教學(xué)和科研轟動(dòng)的效率。而且，DMU中的產(chǎn)出活動(dòng)還包含了一些階段，這些階段的某些輸出是在前面的階段產(chǎn)生的。因此Fare和Grosskopf提出了一種關(guān)聯(lián)DEA模型來(lái)衡量在多階段的產(chǎn)出過(guò)程中都用到的DMU的效率?？紤]在兩個(gè)階段使用的DMU，它在生產(chǎn)階段的產(chǎn)出是在消費(fèi)階段的收入。假設(shè)有一組DMU。每個(gè)DMU使用模糊輸入量可以產(chǎn)生中間模糊輸出量和最終模糊輸出量，其中符號(hào)說(shuō)明如下：代表只與A相關(guān)的模糊輸入；代表作用于子過(guò)程A、子過(guò)程B和消費(fèi)過(guò)程的模糊輸入；代表子過(guò)程A的模糊輸出，它的一部分是用于消費(fèi)過(guò)程消費(fèi)的中間產(chǎn)出，另一部分是是

8、最終的模糊輸出的一部分；是子過(guò)程B的模糊輸出，它是用于消費(fèi)過(guò)程消費(fèi)的中間產(chǎn)品；是消費(fèi)過(guò)程的結(jié)果。MNFDEA模型如圖1所示。假設(shè)分配給上述的每一個(gè)活動(dòng)和消費(fèi)過(guò)程的一定比例的共享模糊輸入為和。分配給上述每一個(gè)活動(dòng)和消費(fèi)過(guò)程的子過(guò)程的模糊輸出（包括最終模糊輸出和中間模糊輸出）為。因此MNFDEA模型有兩個(gè)可能的產(chǎn)出集和一個(gè)可能的消費(fèi)集其定義如下：可由 產(chǎn)出。可由產(chǎn)出?？捎僧a(chǎn)出。如果是滿(mǎn)足具有凸性，規(guī)模報(bào)酬不變，有自由支配性，符合最小插補(bǔ)假設(shè)，并且滿(mǎn)足每一模糊輸入輸出觀測(cè)值的最小集合，那么對(duì)于每一的子過(guò)程輸入集可被定義為，對(duì)于每一的子過(guò)程B的模糊輸入集可被定義為 。對(duì)于每一的消費(fèi)過(guò)程模糊輸出集可誒定

9、義為。圖1我們的MNFDEA模型是我們能夠更深入的分析模糊輸入如何被不同的過(guò)程共享，以及不同過(guò)程間有怎樣的內(nèi)部作用?？杀恢糜趦蓚€(gè)活動(dòng)和消費(fèi)過(guò)程之間，預(yù)先分配給某一的特定過(guò)程，這樣，一個(gè)模糊多路徑關(guān)聯(lián)產(chǎn)出可能集就可以表示如下：其中和分別為共享模糊輸入分配到子過(guò)程A、子過(guò)程B中比例的下限（上限）。并且為子過(guò)程A產(chǎn)生的模糊輸出的下限（上限）。當(dāng)所有三個(gè)部分有不同的模糊有效結(jié)果，我們將引入三個(gè)函數(shù)來(lái)分別檢驗(yàn)在子過(guò)程A、子過(guò)程B和消費(fèi)過(guò)程C運(yùn)行過(guò)程中的有效程度。如果模糊輸入與子過(guò)程A、子過(guò)程B和消費(fèi)過(guò)程C均沒(méi)有聯(lián)系，那么整個(gè)過(guò)程不具有與由現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)服務(wù)引發(fā)的消費(fèi)服務(wù)的特點(diǎn)。那么可以忽略所有與這三個(gè)部分中任

10、意一個(gè)由關(guān)聯(lián)的模糊輸入而得出每部分的模糊效率結(jié)果，只需運(yùn)行模型如下：對(duì)于測(cè)量模糊多路徑關(guān)聯(lián)的指標(biāo)，我們選擇與模糊多路徑關(guān)聯(lián)技術(shù)（5）想聯(lián)系的評(píng)價(jià)指標(biāo)K，并采用一種向量距離函數(shù)來(lái)測(cè)量。模糊多路徑模型的目標(biāo)函數(shù)如下：其中分別為A、B和消費(fèi)過(guò)程C的運(yùn)行結(jié)果，分別為表示這些過(guò)程相對(duì)重要性的正數(shù)。由于我們假設(shè)A、B和C涵蓋了所有DMU的活動(dòng)路徑，因此有：在MNFDEA模型中，我們可以找出這三個(gè)子技術(shù)。Eq.(6)受以下限制：過(guò)程A的子產(chǎn)出包括：過(guò)程B子產(chǎn)出包括：消費(fèi)過(guò)程C包括：下列等式表示將輸入分配給子產(chǎn)出過(guò)程A，子產(chǎn)出過(guò)程B和消費(fèi)過(guò)程C：下列等式表示過(guò)程A的子產(chǎn)出分配給最終輸出和消費(fèi)過(guò)程C的輸入：W和

11、Z需滿(mǎn)足非負(fù)條件，和需有上下界：我們知道，我們用于多路徑模型的輸入和輸出是三邊模糊數(shù)，每一三邊模糊數(shù)可表示為。因此我們將模糊多路徑關(guān)聯(lián)產(chǎn)出可能集改寫(xiě)為：現(xiàn)在我們將用我們?cè)诘谒捻?yè)介紹的排序函數(shù)D將模糊多路徑關(guān)聯(lián)DEA轉(zhuǎn)化為多路徑關(guān)聯(lián)DEA模型。通過(guò)使用排序函數(shù)的性質(zhì)我們可以講模型7修改為：我們定義排序函數(shù)D，對(duì)于每個(gè)三邊模糊數(shù)如 ，我們可以講模型9改寫(xiě)為：模型（10）是精確輸入輸出條件下的一個(gè)產(chǎn)出可能。定義2.3：F(R)中有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有，其中D是有特定功能的排序函數(shù)。定義2.3：當(dāng)且僅當(dāng)在模糊輸出可能集中，在模糊輸入輸出情況下是無(wú)效的，我們可以找到像的產(chǎn)出可能，那么有：定理：考慮產(chǎn)出可能集（

12、5）和（10）。當(dāng)且僅當(dāng)在產(chǎn)出可能集（10）中式無(wú)效率時(shí)，在產(chǎn)出可能集（5）中式無(wú)效率的證明：我們證明如果產(chǎn)出可能集（5）中的比其他產(chǎn)出可能集主要，那么在產(chǎn)生可能集（10）中它將是無(wú)效的。讓模型（5）中的是無(wú)效的，那么在產(chǎn)出可能集中有一個(gè)像這樣的產(chǎn)出可能比主要。假設(shè)約束集（a）中的一部分不具有約束力，例如t。這說(shuō)明：根據(jù)定義2.3我們知道：根據(jù)排序函數(shù)D的性質(zhì)，我們知道：Eq.13在約束集中，那么有：那么產(chǎn)出可能集（10）中的是無(wú)效的?，F(xiàn)在我們證明如果產(chǎn)出可能集（10）中的是無(wú)效的，難么在產(chǎn)出可能集（5）中它也是無(wú)效的。假設(shè)使用精確輸入輸出的比產(chǎn)出可能集中的DMU主要，且是一個(gè)具有一些參考DM

13、U的凸組合。假設(shè)來(lái)自于無(wú)效的，這些DMU的凸組合比重要，那么：假設(shè)約束集（a）中的一部分不具有約束力，例如r。那么：我們知道對(duì)應(yīng)于。我們想要證明是模糊輸入輸出產(chǎn)出可能集中的一個(gè)DMU并主導(dǎo)，那么我們有：假設(shè)約束集（a）中的一部分無(wú)約束力，不失一般性，我們假設(shè)約束集中不具有約束力的部分為r，根據(jù)定義2.4我們知道：根據(jù)排序函數(shù)D的性質(zhì)我們知道：這與14矛盾，因此在產(chǎn)出可能集（5）中是無(wú)效的。5、 結(jié)論在這篇論文中我們介紹了一種多路徑關(guān)聯(lián)模糊DEA模型，接著哦我們闡述了它的目標(biāo)函數(shù)，這一目標(biāo)函數(shù)基于向量距離函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)顯示了將一個(gè)無(wú)效的DMU移動(dòng)至有效的DMU需要多少距離。但它并沒(méi)有顯示這種低效率的程度?？紤]到絕大多數(shù)的模型的目標(biāo)是計(jì)算出效率低下的程度，因此我們將目標(biāo)函數(shù)定義為精確情形下的向量距離，在這篇論文中我們放寬為假設(shè)目標(biāo)函數(shù)是在模糊條件下可用的。Yu M-M.Lin