2013年全國各省(市)高考數(shù)學真題分類匯編(四)(立體幾何)(共32頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2013 年全國各?。ㄊ校└呖颊骖}數(shù)學（理）年全國各省（市）高考真題數(shù)學（理）分類匯編與解析分類匯編與解析（四）立體幾何（四）立體幾何（黑龍江（黑龍江 ）1.（2013 安徽卷安徽卷 19 題）題）（本小題滿分 13 分）如圖，圓錐頂點為。底面圓心為 ，其母線與底面所成的角po為 22.5。和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面ABCDOOP所成的角為 60，PCD（）證明：平面與平面的交線平行于底面；PABPCD（）求。cosCOD【解析】 （） mABPCDABPCDCDCDABmC直線面面且直線面設面/,DPPAB .ABCDmABCDAB面直線面

2、/所以,（2）ABCDDPPAB的公共交線平行底面與面面C.rPOOPFFCDr5 .22tan.60,由題知，則的中點為線段設底面半徑為. 5 .22tan15 .22tan245tan,2cos5 .22tan60tan60tan,2CODrOFPOOF)223(3), 1-2(321cos, 1-25 .22tan12cos2cos22CODCODCOD.212-17cos. 212-17cosCODCOD所以精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2.（2013 北京卷北京卷 17 題）題）(本小題共 13 分)如圖，在三棱柱中，是邊長為 的正方形。平111ABCABC11AAC C

3、4面平面，。ABC 11AAC C3AB 5BC （）求證：平面；1AA ABC（）求二面角的余弦值；111ABCB（）證明：在線段上存在點，使1BCD得，并求的值。 1ADAB1BDBC3.（2013 福建卷福建卷 19 題）題）（本小題滿分 13 分）如圖，在四棱柱中，側棱，1111ABCDABC D1AAABCD 底面/ /ABDC，11AA 3ABk4ADk5BCk6DCk(0)k （1）求證：11;CDADD A 平面（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求 的值；1AA1ABC67k（3）現(xiàn)將與四棱柱形狀和大小完全相同的兩個四棱1111ABCDABC D柱拼接成一個新的棱柱，規(guī)定：若

4、拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案問：共有幾種不同的方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為，寫出的表達式（直接寫出答案，不必要說明理由( )f k( )f kC1B1ABCA1精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)本小題主要考查直線與直線直線與平面的位置關系柱體的概念及表面積等本小題主要考查直線與直線直線與平面的位置關系柱體的概念及表面積等基礎知識，考查空間想象能力推理論證能力運算求解能力，考查數(shù)形結合基礎知識，考查空間想象能力推理論證能力運算求解能力，考查數(shù)形結合思想分類與整合思想化歸與轉化思想，滿分思想分類與整合思想化歸與轉化思想，滿分 13 分分

5、解：（）取中點，連接CDEBE， / /ABDEQ3ABDEk四邊形為平行四邊形且ABED/ /BEAD4BEADk在中，BCEV4 ,3 ,5BEk CEk BCkQ222BECEBC,即，又，所以90BECBECD/ /BEADQCDAD平面，平面1AA QABCDCD ABCD，又，平面1AACD1AAADAICD11ADD A（）以為原點，的方向為軸的正方向建立如圖D1,DA DC DDuu u r uuu r uuur, ,x y z所示的空間直角坐標系，(4 ,0,0)Ak(0,6 ,0)Ck1(4 ,3 ,1)Bkk1(4 ,0,1)Ak所以，( 4 ,6 ,0)ACkk uuu

6、 r1(0,3 ,1)ABkuuu r1(0,0,1)AA uuu r設平面的法向量，則由1ABC( , , )nx y z100AC nAB nuuu ruuu r得取，得46030kxkykyz2y (3,2, 6 )nk設與平面所成角為 ，則1AA1ABC111,sin|cos,| |AA nAA nAAn uuu ruuu ruuu r精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)CDOBEAH，解得故所求 的值為 126673613kk1k k（）共有 種不同的方案42257226 ,018( )53636 ,18kkkf kkk k4.4.（20132013 廣東卷廣東卷 1818 題

7、）題）（本小題滿分（本小題滿分 1414 分）分）如圖 1,在等腰直角三角形中,分別是ABC90A6BC ,D E上的點,AC AB2CDBE為的中點.將沿折起,得到如圖 2 所示的四棱錐OBCADEDE,其中.ABCDE3A O() 證明:平面；A OBCDE() 求二面角的平面角的余弦值.ACDB【解析解析】() 在圖 1 中,易得3,3 2,2 2OCACAD連結,在中,由余弦定理可得,OD OEOCD222cos455ODOCCDOC CD 由翻折不變性可知,2 2A D所以,所以,222A OODA DA OOD理可證, 又,所以平面.A OOEODOEOA OBCDE() 傳統(tǒng)法傳

8、統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結,OOHCDCDHA H因為平面,所以,A OBCDEA HCD所以為二面角的平面角.A HOACDB.COBDEACDOBEA圖 1圖 2精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)CDOxEA向量法圖向量法圖yzB結合圖 1 可知,為中點,故,從而HAC3 22OH 22302A HOHOA所以,所以二面角的平面角的余弦15cos5OHA HOA HACDB值為.155向量法向量法:以點為原點,建立空間直角坐標系如圖所示,OOxyz則,0,0, 3A0, 3,0C1, 2,0D所以,0,3, 3CA 1,2, 3DA 設為平面的法向量,則, ,nx y zA CD

9、,即,解得,令,得00n CAn DA 330230yzxyz 3yxzx 1x 1, 1, 3n 由() 知,為平面的一個法向量,0,0, 3OA CDB所以,即二面角的平面角315cos,535n OAn OAn OA ACDB的余弦值為.1555.（2013 廣西卷廣西卷 19 題）題） （本小題滿分 12 分）如圖，四棱錐都是等邊三角902,PABCDABCBADBCADPABPAD 中，與形.（I）證明：;PBCD（II）求二面角.APDC 的大小精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)6.6.（20132013 全國新課標二卷全國新課標二

10、卷 1818 題題）（本小題滿分 12 分）如圖，直棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分別是 AB，BB1 的中點，AA1=AC=CB=AB。22（）證明：BC1/平面 A1CD（）求二面角 D-A1C-E 的正弦值BCAA1B1C1DE精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)7.7.（20132013 年河南山西河北卷年河南山西河北卷 18）（本小題滿分共 12 分）如圖，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60.（）證明 ABA1C;（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2，求直線 A1C 與

11、平面 BB1C1C 所成角的正弦值。【命題意圖】本題主要考查空間線面、線線垂直的判定與性質及線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推論證能力，是容易題.【解析】 （）取AB中點E，連結CE，1AB1AEAB=，=，是正三角形，1AA1BAA0601BAAAB， CA=CB， CEAB， =E，AB1AE1CEAE面， 1CEAAB； 6分1AC（）由（）知ECAB，AB，1EA又面 ABC面，面 ABC面=AB，EC面，11ABB A11ABB A11ABB AEC，1EAEA，EC，兩兩相互垂直，以 E 為坐標原點，的方向為 軸1EAEA x正方向，|為單位長度，建立如圖所示空間直角坐標系，E

12、A Oxyz有題設知 A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),則1A33精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)（1,0，）=(1,0,)=(0,), 9BC 31BB1AA31AC33分設 =是平面的法向量，n( , , )x y z11CBBC則，即，可取 =（，1，-1），100BCBB nn3030 xzxyn3=，1cos, ACn11|ACACn|n|105直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值為. 12 分1058.（2013 湖北卷湖北卷 19 題）題）如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，直線平ABOCO,A BPC 面，分別是，的中點。A

13、BCEFPAPC（I）記平面與平面的交線為 ，試判斷直線 與平面的BEFABCllPAC位置關系，并加以證明；（II）設（I）中的直線 與圓的另一個交點為，且點滿足lODQ。記直線與平面所成的角為 ，異面直線與12DQCP PQABCPQ所成的角為，二面角的大小為，求證：EFElC 。sinsinsin第 19 題圖精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)【解析與答案】 （I），EFACACABC 平面EFABC 平面又EFABC平面EFBEF 平面EFllPAC 平面（II）連接 DF，用幾何方法很快就可以得到求證。 （這一題用幾何方法較快，向量的方法很麻煩，特別是用向量不能方便的表示角的

14、正弦。個人認為此題與新課程中對立體幾何的處理方向有很大的偏差。 ）精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè) 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)9.（2013 年湖南卷年湖南卷 19 題）題）（本小題滿分 12 分）如圖 5，在直棱柱1111/ABCDABC DADBC中，精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)190 ,1,3.BADACBD BCADAA精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)10.（2013 年江蘇卷年江蘇卷 16 題）題） （本小題滿分 14 分）如圖，在三棱錐中，平面平面，ABCS SABSBCBCAB ，過作，垂足為，點分別是棱ABAS ASBAF FG

15、E，精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)的中點SCSA，求證：（1）平面平面；/EFGABC（2）SABC 證：證：（1）因為 SAAB 且 AFSB，所以 F 為 SB 的中點又 E，G 分別為 SA，SC 的中點，所以，EFAB，EGAC又 ABACA，AB面 SBC，AC面 ABC，所以，平面平面/EFGABC（2）因為平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBC，AF平面 ASB，AFSB所以，AF平面 SBC又 BC平面 SBC，所以，AFBC又 ABBC，AFABA，所以，BC平面 SAB又 SA平面 SAB，所以，SABC 11.（2013 年江西卷年江西卷 19

16、 題）題）. (本題滿分分 12 分)如圖，四棱錐中，PABCDPA,ABCD EBD 平面為的中點，GPD為的中點，連接3,12DABDCB EAEBABPA ，并延長交于.CEADF(1)求證：；ADCFG 平面(2)求平面與平面的夾角的余弦值.BCPDCPABCSGFE精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)12.（2013 年遼寧卷年遼寧卷 18 題）題）（本小題滿分 12 分）已知正方形，分別是邊的中點，將沿折ABCDEF，ABCD，ADEDE起，如圖所示，記二面角的大小為 （） ADEC0（）證明

17、平面；BFADE（）若為正三角形，試判斷點在平面內(nèi)的射影是ACDABCDEG否在直線上，證明你的結論，并求角 的余弦值EF本小題主要考查空間中的線面關系，解三角形等基礎知識，考查空本小題主要考查空間中的線面關系，解三角形等基礎知識，考查空間想象能力和思維能力滿分間想象能力和思維能力滿分 12 分分（I）證明：證明：，分別是正方形的邊，的中點，EFABCDABCD，且， 四邊形是平行四邊形，EBFDEBFDEBFDBFED平面，而平面，平面4 分ED AEDBF AEDBFAED（II）解法一解法一：點在平面內(nèi)的射影在直線上ABCDEGEF過點作平面，AAGBCDE垂足為，連結，GGCGD為正三

18、角形，ACD，ACAD，GCGDABCDEFABCDEFABEGHDFC精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)在的垂直平分線上，GCD又是的垂直平分線，EFCD點在平面內(nèi)的射影在直線上8 分ABCDEGEF過作，垂足為，連結，則，GGHEDHAHAHDE是二面角的平面角，即AHGADECAHG設原正方形的邊長為，連結ABCD2aAF在折后圖的中，AEF3AFa22EFAEa為直角三角形，AEF，AG EFAE AF32AGa在中，RtADEAH DEAD AE，25aAH2 5aGH12 分1cos4GHAH解法二：解法二：點在平面內(nèi)的射影在直線上連結，在平ABCDEGEFAF面內(nèi)過點作，

19、垂足為為正三角形，為AEFAAGEFGACDF的中點，CDAFCD又，平面平面，EFCDCDAEFAGAEFCDAG又，且，平面，平面，AGEFCDEFFCD BCDEEF BCDE平面 ，為在平面內(nèi)的射影，AGBCDEGABCDEG點在平面內(nèi)的射影在直線上8 分ABCDEGEF過作，垂足為，連結，則，GGHEDHAHAHDE是二面角的平面角，即AHGADECAHGABEGHDFC精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)設原正方形的邊長為在折后圖的中，ABCD2aAEF3AFa，為直角三角形，22EFAEaAEF，AG EFAE AF32AGa在中，RtADEAH DEAD AE25aAH，

20、12 分2 5aGH1cos4GHAH解法三：解法三：點在平面內(nèi)的射影在直線上ABCDEGEF連結，在平面內(nèi)過點作，垂足為AFAEFAAGEFG為正三角形，為中點，ACDFCDAFCD又，平面平面，EFCDCDAEFCD BCDE平面平面又 平面平面，AEF BCDEAEF BCDEEFAGEF平面，即為在平面內(nèi)的射影，AGBCDEGABCDEG點在平面內(nèi)的射影在直線上8 分ABCDEGEF過作，垂足為，連結，則，GGHDEHAHAHDE是二面角的平面角，即AHGADECAHG設原正方形的邊長為ABCD2a在折后圖的中，AEF3AFa22EFAEa為直角三角形，AEFAG EFAE AF32A

21、Ga在中，RtADEAH DEAD AE25aAH，12 分2 5aGH1cos4GHAH精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)13. （2013 年山東卷年山東卷21 題） （本小題滿分 12 分）（18） （本小題滿分 12 分） 如圖所示，在三棱錐 P-ABQ 中，PB平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F(xiàn) 分別是 AQ，BQ，AP，BP 的中點，AQ=2BD，PD 與 EQ 交于點 G，PC 與 FQ 交于點 H，連接GH。 （）求證：AB/GH； （）求二面角 D-GH-E 的余弦值 .解答：（1）因為 C、D 為中點，所以 CD/AB 同理：EF/AB，所以EF/CD，E

22、F平面 EFQ，所以 CD/平面 EFQ，又 CD平面 PCD,所以 CD/GH，又 AB/CD，所以 AB/GH.(2)由 AQ=2BD，D 為 AQ 的中點可得，ABQ 為直角三角形，以B 為坐標原點，以 BA、BC、BP 為 x、y、z 軸建立空間直角坐標系，設 AB=BP=BQ=2，可得平面 GCD 的一個法向量為，平面1(0,2,1)n EFG 的一個法向量為，可得,所以二面角 D-2(0,1,2)n 44cos55 5GH-E 的余弦值為45精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)14.（2013 年陜西卷年陜西卷 18 題）題）.(本小題滿分 12 分)如圖, 四棱柱 ABCD

23、A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形, O 為底面中心, A1O平面 ABCD, . 12ABAA() 證明: A1C平面 BB1D1D; () 求平面 OCB1與平面 BB1D1D 的夾角 的大小. 【答案】() 見下; () = 3OD1B1C1DACBA1() 求平面 OCB1與平面BB1D1D 的夾角 的大小. 【解析】() ；又因為，在正方形BDOAABCDBDABCDOA11,面且面AB CD 中，。 BDCAACACAACABDAACOABDAC11111,，故面且面所以；且在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 111OAOAART中，在.OECAOCEAEDB1

24、111111為正方形，所以，則四邊形的中點為設，所以由以上三點得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD111111E.E,OD1B1C1DACBA1精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè).(證畢)DDBBCA111面() 建立直角坐標系統(tǒng),使用向量解題。以 O 為原點，以 OC 為 X 軸正方向，以 OB 為 Y 軸正方向。則.) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0111CABACB，）（由()知, 平面 BB1D1D 的一個法向量.0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 (111）（OCOBCAn設平面

25、 OCB1的法向量為，則0, 0,2122OCnOBnn).1- , 1 , 0(向向向2n為解得其中一個。21221|,cos|cos212111nnnnnn所以，平面 OCB1與平面 BB1D1D 的夾角 為315.（2013 年上海卷年上海卷 19 題）題）如圖已知四棱錐中的底面是邊長為 6 的正方形，側棱的ABCDP PA長為 8，且垂直于底面，點分別是的中點求NM、ABDC、（1）異面直線與所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示） ；PMCN（2）四棱錐的表面積.ABCDP 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)， 2 分)8, 6 , 3(PM)0 , 6, 3(CN精選優(yōu)質文檔

26、-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)16.(201316.(2013 年四川卷年四川卷 1818 題題) )（本小題滿分 12 分）18、 （本小題滿分 12 分）如圖，在三棱柱中，側棱，111CBAABC ABCAA底面112AAACAB，分別是線段的中點，是線段的中點。120BAC1,DD11,CBBCPAD（I）在平面 ABC 內(nèi)，試做出過點與平面平行的直線 ，說明理由，并PBCA1l證明直線平面；l11AADD（II）設（I）中的直線 交 AB 于點 M，叫 AC 于點 N，求二面角l的余弦值。NMAA1精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)17. (2013 年天津卷年天津卷 17 題題)(本小題滿分 13 分)如圖, 四棱柱 ABCDA1B1C1D1中, 側棱 A1A底面 ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E 為棱 AA1的中點. () 證明 B1C1CE; () 求二面角 B1CEC1的正弦值. 精