氣體分子運(yùn)動論

1、第10章氣體分子運(yùn)動論105Pa,求此氣體內(nèi)單位體積里的分子10.1已知溫度為27C的氣體作用于器壁上的壓強(qiáng)為 數(shù).解：根據(jù)氣體壓強(qiáng)公式p = nkT,其中k = 1.38 10-23J K-1稱為玻爾茲曼常數(shù).當(dāng)T = 300K時，氣體單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n = p/kT = 2.415 W25(m-3).10.2 一個溫度為17C、容積11.2 10-3m3的真空系統(tǒng)已抽到其真空度為1.33 >10-3Pa.為了提高其真空度，將它放在 300 C的烘箱內(nèi)烘烤，使吸附于器壁的氣體分子也釋放出來.烘烤后 容器內(nèi)壓強(qiáng)為1.33Pa,問器壁原來吸附了多少個分子？解：烘烤前容器內(nèi)單位體積內(nèi)的分

2、子為山=p1/kT1 = 3.32 1017(m-3),烘烤后容器內(nèi)單位體積內(nèi)的分子為匕=p2/kT2 = 1.68 1020(m-3).器壁原來吸附的分子數(shù)為N =血-n 1)V = 1.88 1018.10.3已知275K和1.00 103Pa條件下氣體的密度p=1.24 10-5g m-3，求：(1) 氣體的方均根速率.v2 ；(2) 氣體的摩爾質(zhì)量卩，并指出是什么氣體.解：(1)氣體的密度為p = 1.24 >0-2(kg m-3),根據(jù)氣體壓強(qiáng)和能量的公式，得氣3 體的方均根速度為.v2 '=：f3p/ > 491.87(m s-1).(2 )根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程

3、pV =耳只丁，由于氣體密度為P = M/V，所以方程可變?yōu)?p RT，氣體的摩爾質(zhì)量為 尸pRT/p = 0.0283(kg) 這種氣體是氮?dú)?2.H 4 10.4當(dāng)溫度為0C時，求：(1) N2分子的平均平動動能和平均轉(zhuǎn)動動能；(2) 7gN2氣體的內(nèi)能.、解：(1) N2分子有t = 3個平動自由度，其平均平動動能為wt = kT = 5.65 »-21(J).將N2分子當(dāng)作剛體，它就還有 r = 2個轉(zhuǎn)動自由度，其平均轉(zhuǎn)動動能為wr =-kT = 3.77 >-21r 2(J).(2) N2分子的摩爾質(zhì)量為 尸0.028kg，質(zhì)量M = 0.007kg的N?分子的摩爾數(shù)

4、為 n° = M/尸 0.25,分子總數(shù)為N = noNa,其中Na = 6.02 1023為阿佛伽德羅常數(shù)，而氣體普適常量 R = kNA =8.31(J K-1 mol-1). N2分子的自由度為i = t + r = 5,氣體的內(nèi)能為ill3E NkTn0NAkTn0RT = 1.417 > (J).2 2 210.5 一個能量為1.6 >0-7J的宇宙射線粒子射入氖管中，氖管中含有氖氣0.01mol，如射線粒子能量全部轉(zhuǎn)變成氖氣的內(nèi)能，氖氣溫度升高多少?解：氖氣是墮性氣體，分子式是Ne,只能平動動能，自由度為i = t = 3.當(dāng)射線粒子能量全部轉(zhuǎn)變成氖氣的內(nèi)能時

5、，由公式En °RT22E6可得氣體升咼的溫度為 T = 1.28憶(K).in oR10.6某些恒星的溫度達(dá)到108K的數(shù)量級，此時原子已不存在，只有質(zhì)子存在，求：(1) 質(zhì)子的平均動能是多少？(2) 質(zhì)子的方均根速率多大？解：(1)質(zhì)子的平動自由度為 t = 3,平均平動動能為 Wt =舟kT = 2.07 W-15(J).(2)質(zhì)子的質(zhì)量為 mp = 1.67261 1Q<7(kg)，由于 wt = k = mpv2 , 2 2所以質(zhì)子的方均根速率為礙 =i = 1.573 <6(m s-1).V mp10.7 一容器被中間隔板分成體積相等的兩半，一半裝有氦氣，溫度

6、為250K ;另一半裝有氧氣，溫度為310K 兩種氣體的壓強(qiáng)均為 P0.求抽去隔板后的混合氣體溫度和壓強(qiáng)為多少？ 解：設(shè)氦氣和氧氣分子各有N1和N2個，氦氣是單原子分子，自由度為i1 = 3;氧氣是雙原子分子，自由度為i2 = 5 .隔板抽去前，氦氣和氧氣分子的總能量為i1i2E11 N1kT1 , E22 N2kE .22隔板抽去后，氦氣和氧氣分子的總能量為E-N1kT 乜N2kT .2 2這個過程能量守恒，即，E = E 1 + E2,所以有 沐汀1 + i2N2T2 = U1N1 + i2N2)T.由于壓強(qiáng)p0 =口水丁 =1 kT|，所以 M = v ；同理可得 N2P0.V2kT12

7、kT22k 2k2kT12kT2=284.4(K).將N1和N2的公式代入上面公式可得約去公因子，可得混合氣體的溫度為混合氣體的壓強(qiáng)為pggWVkT(誥誥吋辟才卩。 1.0275 p0.10.8將(10.19)式表示成以理想氣體最可幾速率vp為單位表示的形式，即令x = v/vp,若1_v2已知 e dx -0.7468，試計(jì)算：(1) 分子速率小于最可幾速率的分子占分子總數(shù)的百分比為多少？(2) 分子速率大于最可幾速率的分子占分子總數(shù)的百分比為多少？(3) 參照表11.1，寫出同一溫度下氫氣分子對應(yīng)同一分子數(shù)百分比的速率區(qū)間.解：理想氣體分子數(shù)占分子總數(shù)的比率為dN/N = f(v)dv,2

8、其中f(v)是麥克斯韋速率分布函數(shù)：f(v) =4二()3/2exp( -mr)v2 .2kE2kT,貝U dv = vpdx.設(shè) x = v/Vp,其中 vp =42因此速率分為dN/N = g(x)dx,其中g(shù)(x)： =x2e公.分子速率小于最可幾速率的分子占分子總數(shù)的百分比為1 .2_x2.=x e dx ,0(1)1 142 x2=g(x)dxx2 e dx，設(shè) Io二 01 1 2 1 1 xe公 dxxde2。 2。1 j (0.7648 -e ),2(xe21 1 £-；e" dx)0 0所以(2)(3)N142j1 I .(0.3648 -e ) = 0.

9、4276 = 42.76% .N 、二 .二分子速率大于最可幾速率的分子占分子總數(shù)的百分比為NoN12 =1 丄=0.5724 = 57.24% .NN對于氧氣分子，速率在v1 v2之間的分子數(shù)占分子總數(shù)的比率為V22m 3/2 mv 2=4二()exp( )v dv,v 2k： T2kTv1其中則有Nv2f (v)dvNv1m表示氧分子的質(zhì)量.用 m'表示氫分子的質(zhì)量，則 m = 16m'，對于氫分子的同一比率V2-2 2AN .,16m'、3/2/ 16m'v、2怖、，十曰4二()exp()v dv，取 v = 4v,可得2kTvi4v22k 二 T- )3

10、/2exp m-v-) v'2dv',4v12k 二 T2kT=4二(N4v1到4v2之間的分子a倍時，這種 a v到a 2之間的分子可見：氧氣分子速率從 vi到v2之間的分子數(shù)的比率與氫氣分子速率從 數(shù)的比率相同.從這個思路可以證明：當(dāng)一種氣體的分子的質(zhì)量是另一種氣體的質(zhì)量的 氣體分子速率從vi到v2之間的分子數(shù)的比率與另一種氣體分子速率從 數(shù)的比率相同.10.9由10. 8題結(jié)果，求速率在 0.99vp到1.01vp之間的分子數(shù)占分子總數(shù)的百分比.解：分子數(shù)比率為利用中值定理得1.014二 g(x)dx，其中 g(x)二 _-x2e =0.09= g(1)(1.00.09-

11、ie0.02 = 0.0166 = 1.66% .N. :10.11已知f(v)是麥克斯韋分子速率分布函數(shù)，說明以下各式物理意義.(1) f(v)dv;(2) nf(v)dv, n為分子數(shù)密度；(3) vf(v)dv ;v1(4) J f (v)dv , Vp為最可幾速率；O0 2(5) v V f (v)dv -vp解：(1)由公式dN/N = f(v)dv可知：f(v)dv表示分子數(shù)在速率區(qū)間vv+dv之中分子數(shù)的比率 dN/N .(2) 由于n = N/V ,可得ndN/N = dN/V,因此nf(v)dv表示分子數(shù)在速率區(qū)間vv+ dV之中分 子數(shù)密度.V2(3) vf (v)dv表示

12、分子在速率區(qū)間 w到v2之間的平均速率.V1(4) : f (v)dv表示分子速率小于最可幾速率的分子占分子總數(shù)的比率.Od o(5) v f (v)dv表示分子速率大于最可幾速率的速率平方的平均值.27C的液體中，觀察到它的方均根速率為1.4cm s-1.由10.12質(zhì)量為6.2 >!0-14g的微粒懸浮于這些結(jié)果計(jì)算阿佛加德羅常數(shù)Na .解：當(dāng)粒子平動時，其平均平動動能為1 二mv223,-1由此得阿氏常數(shù)為3RT = 6.1545 W23(mol-1). kmv210.14求上升到什么高度時大氣壓強(qiáng)減到地面大氣壓強(qiáng)的75%設(shè)空氣溫度為0C,空氣的平均摩爾質(zhì)量為 0.028 9kg

13、mol-1.解：根據(jù)玻爾茲曼分布可得壓強(qiáng)隨高度變化關(guān)系p = p°exp(-卬望).其中m是一個分子的質(zhì)量.kT用Na表示阿氏常數(shù)，則氣體的摩爾質(zhì)量為卩=N Am,氣體的普適常數(shù)為 R = k.NA.壓強(qiáng)公式可表示為 p = p0 exp(-=2304(m).RT乜 p10.17在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下 CO2氣體分子的平均自由程'=6.29 M0-8m，求兩次碰撞之間的平均時間和CO2氣體分子的有效直徑.解：C的原子量是12 , O的原子量是16, CO2的分子量是44,摩爾質(zhì)量為 卩=0.044kg mol-1, 其平均速率為-1=362.3(m s).兩次碰撞之間的平均時間為t 二

14、=1.736 v10-10(s).根據(jù)公式可得CO2氣體分子的有效直徑為d =£T丁 = 3.648 W-10(m).10.20容器貯有O2氣，其壓強(qiáng)為1.013 >105Pa,溫度為27C，有效直徑為 d = 2.9 1%-1°m, 求：(1) 單位體積中的分子數(shù)n;(2) 氧分子質(zhì)量m；(3 )氣體密度p；(4 )分子間平均距離I ;(5)最可幾速率Vp；(6 )平均速率V ;(7) 方均根速率.V2 ；(8) 分子的平均總動能?；(9) 分子平均碰撞頻率Z ； (10 )分子平均自由程 一.解：(1 )由p = nkT得單位體積中的分子數(shù)為n = p/kT =

15、2.45 xi0-25(m-3).(2) 氧分子的原子質(zhì)量單位是32, 一質(zhì)量單位是 u = 1.66055 10-27kg，分子的質(zhì)量為m = 32u = 5.31 10?(kg).(3) 根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程pV = M RT，氧的摩爾質(zhì)量尸0.032 kg mol-1,其密度為：:=M =巴=1.30(kg m-3).V RT(4) 一個分子占有體積為v = 1/ n,設(shè)想分子整齊排列，則分子間的平均距離為1/39l = (1/n)= 3.445 10：- (m).最可幾速率為vp =2kT = 394.7(m s-1).m(6)(7)平均速率為v二8 = 445.4(m s-1).nm

16、v2 二 3kT = 483.5(m方均根速率為s1).(5)(8) 分子的自由度為i = 5，平均總動能為二丄kT = 1.035 W-20(J).2(9) 分子平均碰撞頻率為z =d2nv = 4.07 w9(s-1).(10) 分子平均自由程為久=-JT一= 1.09 W-7(m).V2rd2p4倍將氣體分子看作剛球，試d,將分子當(dāng)作剛性球體，則有10.21設(shè)氫的范德瓦耳斯常量 b值為1mol氣體體積總和的 計(jì)算H2分子的直徑.(對于H2, b = 2.66 >10-5m3 mol-1).解：1mol氣體有Na = 6.02 >023個分子，設(shè)分子直徑為4Na- (d)3，可解得分子直徑為d =2( 32)