(整理)化學(xué)中的數(shù)學(xué)原理

1、化學(xué)中的數(shù)學(xué)原理化學(xué)作為一門綜合性很強(qiáng)的學(xué)科，與數(shù)學(xué)有著千絲萬縷的聯(lián)系。研究一下化學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系，對(duì)我們的化學(xué)學(xué)習(xí)有益無害。本文就化學(xué)競(jìng)賽中應(yīng)用的數(shù)學(xué)原理進(jìn)行初步探討。鑒于時(shí)間倉促，文章難免有疏漏之處。下面列舉化學(xué)中常見的數(shù)學(xué)應(yīng)用：、十字交叉法十字交叉法應(yīng)該算是運(yùn)用最為廣泛的數(shù)學(xué)原理，可是有很多同學(xué)不知道十字交叉法的原理。俗話說：“知其然，知其所以然。"我們首先了解一下十字交叉法的原理。若用x、y分別表示二元混合物兩種組分，混合物總量為x+y。若用A、B分別表示兩組分的特性數(shù)量(例如分子量)，C表示混合物的特性數(shù)量(例如平均分子量)則有如 下的二元一次方程：Ax+By=(x+y)C經(jīng)

2、過整理可以變成 ：x _C-B yT-C即：x : y = (C - B) : (A -C)由此我們可以看出“十字交叉法”是由二元一次方程演變而來的，這就是“十字交叉法”的數(shù)學(xué)原理。對(duì)這個(gè)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可以寫成：BA - C這是我們熟悉的十字交叉法的表達(dá)形式。我們亦可以運(yùn)用“雞兔同籠”的極限思想來理解十字交叉法，這和用公式刻畫的方法殊途同歸。經(jīng)總結(jié)，十字交叉法在以下情況下有應(yīng)用：(1)有關(guān)質(zhì)量分?jǐn)?shù)的計(jì)算(用兩種不同濃度溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與混合溶液的質(zhì)量分?jǐn)?shù)作十字交叉， 求兩種溶液的質(zhì)量比)例：實(shí)驗(yàn)室用密度為1.84克/厘米3 98%的濃硫酸與密度為1.1克/厘米3 15%的稀硫酸混和配制密度為1.4

3、克/厘米3 59%的硫酸溶液，取濃、稀硫酸的體積比最接近的值是A. 1:2 B. 2:1 C. 3:2 D. 2:3 分析9844、 /59x 、1539其體積比為 ：44/1.84 : 39/1.12:3答案為 D(2)有關(guān)物質(zhì)的量濃度的計(jì)算(用混合物的物質(zhì)量的濃度與混合后的物質(zhì)量的濃度做十字交叉，求體積比)例：物質(zhì)的量分別為 6摩/升，1摩/升的硫酸溶液，按怎樣的體積比才能配成4摩/升的 溶液？分析63、 x4 z 、 12根據(jù)溶質(zhì)物質(zhì)的量守恒，滿足此式的是6X + 丫 = 4 (X+Y)X和Y之比是體積比，故十字交叉得出的是體積比為3 : 2 ,答案為6摩/升，1摩/升的硫酸溶液,按3

4、: 2的體積比才能配成 4摩/升的溶液(3)有關(guān)平均分子量的計(jì)算(通過純物質(zhì)的物質(zhì)量分?jǐn)?shù)與混合后的平均分子量做十字交叉，求 百分?jǐn)?shù))例：實(shí)驗(yàn)測(cè)得乙烯與氧氣混合氣體的密度是氫氣的14.5倍，可知其中乙烯的質(zhì)量百分比為：A.25.0%B.27.6%C.72.4%D.75.0%分析 283x /29z x321根據(jù)質(zhì)量守恒，滿足此式的是 28X + 32 Y = 29(X+Y)X和Y之比是物質(zhì)的量之比，故十字交叉得出的是物質(zhì)的量比3 : 1,3 x 28 X 100% = 72,4% 乙烯的質(zhì)量百分含量= 3X28- 1x32答案為c(4)有關(guān)平均原子量的計(jì)算(用同位素的原子量或質(zhì)量數(shù)與元素原子量作

5、交叉，求原子個(gè)數(shù)比 或同位素百分?jǐn)?shù))例：銅有兩種天然同位素 63-Cu和65-Cu ,參考銅的原子量為 63.5，估算63Cu的平均原子百分含量約是A. 20%B.25%C.66.7%D.75%分析631.5、 /63.5/ 、650.5根據(jù)質(zhì)量守恒，滿足此式的是 63X + 65 Y = 63.5 (X+Y)可知X :Y應(yīng)為原子個(gè)數(shù)比，故得出的是原子個(gè)數(shù)比L5 x 100% = 75%故63Cu的原子百分含量=L5 + 0石(5)有關(guān)反應(yīng)熱的計(jì)算(有單個(gè)反應(yīng)的熱效應(yīng)與混合都反應(yīng)熱做十字交叉，求百分?jǐn)?shù))例：已知下列兩個(gè)熱化學(xué)方程：2H 2(g) + O2 (g) = 2H 2O(l) +571

6、.6kJC3H8 (g) +5O 2 (g) = 3CO 2 (g) + 4H 2O (l) + 2220kJ,實(shí)驗(yàn)測(cè)知?dú)錃夂捅榈幕旌蜌怏w共5摩爾完全燃燒時(shí)放熱 3847千焦，則混和氣體中氫氣和丙烷的體積比是A. 1:3B. 3:1C.1:4 D. 1:1分析571.6"Tv /11450.63H47,、2220483.6根據(jù)總熱量守恒，滿足此式的是 285.8X + 2220 Y = 769.4 (X+Y)可知X :Y應(yīng)為物質(zhì)的量比，即體積比。(6)有關(guān)混合物反應(yīng)的計(jì)算(利用單個(gè)反應(yīng)消耗某種反應(yīng)物的量與混合后做十字交叉，求分?jǐn)?shù))例：已知白磷和氧氣可發(fā)生如下反應(yīng)：P4 +302=

7、P4O6 , P4 +50 2= P4O10在某一密閉容器中加入62克白磷和50.4升氧氣(標(biāo)準(zhǔn)X犬況),使之恰好完全反應(yīng)，所得到的P4O10與P4O6的物質(zhì)的量之比為A. 1:3 B. 3:2 C. 3:1 D. 1:1分析P4O105 .1.52.25、/口 .5/、P4O630.5根據(jù)02物質(zhì)的量守恒，滿足此式的是 5X + 3Y = 2.25/0.5 (X+Y)X和丫之比是P4O10和P4O6物質(zhì)的量比，故十字交叉得出的物質(zhì)的量比為3:1,答案為C(7)有關(guān)體積分?jǐn)?shù)的測(cè)定(用組分的式量與混合氣的平均式量做十字交叉，求組分體積比或含量)例：已知H2和CO的混合氣，其平均式量是20,求混合

8、氣中H2和CO的體積比。解：H22820 4X /20z CO 282029即：體積比為4:9（8）有關(guān)兩種含相同元素物質(zhì)的質(zhì)量比（用兩種物質(zhì)中同一元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)求兩物質(zhì)的質(zhì)量比） 例：FeO中和FeB2的混合物中Fe的質(zhì)量百分率為50%,求兩物質(zhì)的質(zhì)量比 解：FeO 7/913/5413 /1/2/ FeBr27/275/1815即：兩物質(zhì)的質(zhì)量比為13:15總結(jié)一下，只要是二元線性混合體系，我們都可以采用十字交叉法。當(dāng)我們?cè)谧龌瘜W(xué)計(jì)算題 時(shí)，如果能善于運(yùn)用十字交叉法， 將避免繁瑣地解一元二次不等式組， 大大提高我們的解題 速度和效率。另外，采用此種方法快速檢查也是一個(gè)好的選擇。二、微積分微

9、積分作為一種運(yùn)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，在化學(xué)中是不是也有所涉及呢？答案是肯定的。級(jí)數(shù)卜面先直接給出常見反應(yīng)級(jí)數(shù)的速率方程。微分式積分式半衰期k量綱線形關(guān)系式:A=kCA0- cA = ktt1/2cA,02k濃度時(shí)間-1- A=kcAK(Cao/Ca尸 kt 或 ln1/(1- xA)=ktt 0.6931/2 一 k時(shí)間-1. A=kCA211(一 )二ktt =-L 1/2 kCA,0濃度-1時(shí)間-1Ca Ca,0或Xa=ktCA,0(1 -XA)' A=kcA”1 , 11、t =2n濃度廣n1/2 (n -)kcA,0L時(shí)間-1.(n 1 - n -1 Ca-n±) - k

10、t cA,0注意：n力大綱中要求在物理化學(xué)中的化學(xué)動(dòng)力學(xué)中掌握“用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推求反應(yīng)級(jí)數(shù)。一級(jí)反應(yīng)積分式及 有關(guān)計(jì)算（速率常數(shù)、半衰期、碳 -14法斷代等）由于大綱對(duì)一級(jí)反應(yīng)有明確要求，所以我們對(duì)一級(jí)反應(yīng)的速率方程進(jìn)行推導(dǎo)。一級(jí)反應(yīng)的定義：反應(yīng)速率與反應(yīng)物濃度的一次方成正比的反應(yīng)。例如：鐳的衰變就是一級(jí)反應(yīng):Ra f Rn + He微分式： A 一 Bt=0 ca,o=a0t=t ca=a-xx- dj- dx=r -=k. (a - x)dt 或 dt I"上式說明隨著反應(yīng)的進(jìn)行,Ca 一小，反應(yīng)速率一小不定積分式：f 孚二 MJ dt J 或 J dg-戈)J-In c4 = kt

11、t -F C- In (a - x) = krt + C"I或、' _LX1-In= kAt令y=a ,則上式可化簡(jiǎn)為：1一丁17當(dāng)y=時(shí)，ti/2=ln 2/ki即得到半衰期的表達(dá)式。三、歐拉公式近幾年在化學(xué)競(jìng)賽中我們常會(huì)遇到一類與C60系分子有關(guān)的問題。先簡(jiǎn)單介紹一下C60。C60分子可以理解為 Bi2分子在每個(gè)頂點(diǎn)處切一刀得到的：而C60和歐拉定理有什么關(guān)系呢？這是歐拉公式：簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù) V、面數(shù)F及棱數(shù)E間有關(guān)系：V+F-E=2我們首先證明這樣一個(gè)歐拉公式的推論：五邊形和六邊形構(gòu)成的封閉多邊形，一定有五邊形12個(gè)。證明 設(shè)五邊形n個(gè)，六邊形 m個(gè)。2+E=V+F

12、5n + 6m5n + 6mh 2 = m + n +23（易證每個(gè)頂點(diǎn)僅會(huì)發(fā)出 3條線段）化簡(jiǎn)即得n=12下面我們看這樣一道典型的例題：例題1996年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家。C60是由60個(gè)C原子組成的分子，它結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)單多面體形狀。這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，從每個(gè)頂點(diǎn)引出3條棱，各面的形狀分為五邊形和六邊形兩種，計(jì)算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？解析因每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)共有一條棱故每個(gè)頂點(diǎn)獨(dú)立擁有1.5條棱，所以棱數(shù)=1.5*60=90根據(jù)歐拉公式：V+F-E=2可知C60的面數(shù)=2+90-60=32若此多面體的面全為五邊形則應(yīng)有32*5/3個(gè)頂點(diǎn)（一個(gè)五

13、邊形有5個(gè)頂點(diǎn)每個(gè)頂點(diǎn)被三個(gè)面所共有），同理若全為六邊形則應(yīng)有 32*6/3個(gè)頂點(diǎn)。由十字交叉法可以得到：五邊形：六邊形=12: 20=3: 5，五邊形12個(gè)，六邊形20個(gè)。有了歐拉公式和這條推論，我們可以求出Cx系化合物中x的最小值為20。面對(duì)任何Cx系化合物，只要根據(jù)碳素守恒和歐拉公式，可以說是沒有難解的題。四、對(duì)稱與群化學(xué)競(jìng)賽決賽一定會(huì)要求一道有關(guān)分子對(duì)稱的題目，一般來說是尋找分子的對(duì)稱元素。這是一類非常困難的題目，極易遺漏。利用群論，我們不僅可以輕松解答類似習(xí)題，而且還可以證 明為什么會(huì)有如此多點(diǎn)群以及空間只有7個(gè)布拉維系的原因。下面舉幾個(gè)例子，初步體會(huì)一下分子對(duì)稱之美。最為大家熟知的

14、分子莫過于水分子H2O 了。利用群論，我們可充分地體會(huì)到其分子結(jié)構(gòu)的幾 何對(duì)稱美。H2O分子呈折線形構(gòu)型，不難看出，在水分 子中有一個(gè) C2軸（即對(duì)稱旋轉(zhuǎn)軸）和兩個(gè)通過它的 對(duì)稱面（分別記為（Tv、6 v ）。水分子所屬的點(diǎn)群獲c?得符號(hào)C2v。它代表的意思是該分子具有一個(gè)C2軸，同時(shí)還有兩個(gè)包含C2軸的并互相垂直的反映面（T v 和 b v，。CH4具有正四面體結(jié)構(gòu)，屬于Td （tetrahedral,四面體形）點(diǎn)群，具有四個(gè)通過一頂角和其對(duì)面中心的 C3軸;三個(gè)通過每一組對(duì)邊中點(diǎn)的C2軸，三個(gè) S4軸（與C2軸重合），以及六個(gè)通過一條邊并平分其對(duì)邊的對(duì)稱面。例題我們知道，自然界中很多物質(zhì)是

15、對(duì)稱的，如果一個(gè)物體在一面鏡子中的“影子”和這 個(gè)物質(zhì)重合，那么這個(gè)鏡子就稱為這個(gè)物體的對(duì)稱面。如正方形中，經(jīng)過其對(duì)角線且垂直于該 正方形的平面就是它的對(duì)稱面，經(jīng)過其相對(duì)兩邊中點(diǎn)且垂直于該正方形的平面也是它的對(duì)稱面，當(dāng)然，正方形本身的平面也是其對(duì)稱面，所以它共有5個(gè)對(duì)稱面?；瘜W(xué)上，很多分子都有對(duì)稱面，如水分子就有兩個(gè)對(duì)面。正方形有5個(gè)對(duì)稱面H2O的兩個(gè)對(duì)稱面判斷下列物質(zhì)各有幾個(gè)對(duì)稱面：CO2： P4: P4O10: SF6： 答案3 無窮多個(gè)6 6 9五、數(shù)列與極限例題1人們?cè)趯?duì)烷燒分子空間結(jié)構(gòu)的研究中發(fā)現(xiàn)某一系列的烷燒分子只有一種一鹵取 代物。如：涉CHj-C CHC%心CH3 CH-C-C

16、Hg CH3CHr CC1浜I I ICH3CHj-C- ch3 ch3C電十七烷這一系列烷煌具有一定的規(guī)律性，當(dāng)一種分子的一H全部被一CH3取代后，它的一鹵代物的異構(gòu)體數(shù)目不變。請(qǐng)寫出這一系列化學(xué)式的通式。解析由題意可知，該系列烷煌的分子式依次為：CH4, C5H12, Cl7H36,觀察分子式，可將氫原子數(shù)表達(dá)成 1X4, 3X4, 9X4,即，30X 4, 31 X 4, 32X 4。由此可知，第n項(xiàng)的分子式中氫原子數(shù)為 3（X 4。設(shè)第n項(xiàng)的分子式為 CmH2m+2 ,可得2m+2=3（X4，解得m=2X3（nA）-1o所以，該系列化學(xué)式的通式為C2X3（n-1）-iH3（nJl）x4

17、例題2 一系列有機(jī)化合物結(jié)構(gòu)按以下順序排列，CH3CH=CHCHO, CH3（CH=CH） 2CHO,CH3（CH=CH） 3CHO，該系列有機(jī)物中，分子中碳元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最大值接近于多少？解析由題意可知，該系列有機(jī)物的通式可寫成CH3（CH=CH） nCHOo因此，分子中的含碳元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為：12 (2n2)“cc, 24n24C%=1 100% = 100 %12 (2n 2) 2n 4 1626n 44 24 24=100%4426 n 2424 -n24 lim 100%=100% =92.3%n 442626 n六、排列組合例題三肽為三個(gè)氨基酸分子失去兩個(gè)水分子縮合而成的，某三肽水解后得到下列三種氨基 酸：COOHCHoCH COOHCH?CHCOOHI|陽Enh2c6hs nh2則這種三肽可能的結(jié)構(gòu)有多少種？這三種氨基酸最多能組成多少種三肽？3解析氨基酸縮合成多肽是一個(gè)排列問題，即A 3=6種。氨基酸最多能組成多少種多肽涉及到組合的問題了。從三種氨基酸中取一種縮合成三肽，121有C 3=3種；從三種氨基酸中取兩種縮合成三肽，有 2C3C3=18種；從三種氨基酸中取三 31213種縮合成三肽，有