年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新編函數(shù)的極限

1、13.3 函數(shù)的極限知識(shí)梳理(1) 數(shù)極限的概念：(1)如果lim f (x) =2且lim f (x) =a,那么就說當(dāng)x趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù) f(x)的極限是a,記彳lim f (x) =a,也可記作當(dāng)x00時(shí)，f (x) 一 a.(2) 一般地，當(dāng)自變量x無(wú)限趨近于常數(shù)xo (但x不等于x。)時(shí)，如果函數(shù)f (x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說當(dāng)x趨近于x。時(shí)，函數(shù)f (x)的極限是a,記作lim f (x) =a,也可記作當(dāng)x一x。時(shí)，f (x)x xo一 a.(3) 一般地，如果當(dāng) x從點(diǎn)x=xo左側(cè)(即xvxo)無(wú)限趨近于 xo時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)限趨近于常數(shù) a,就說a是函數(shù)f (x

2、)在點(diǎn)xo處的左極限，記作lim f (x) =a.如果從點(diǎn)x=xo右側(cè)(即x>xo)無(wú)限趨x xo近于xo時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)限趨近于常數(shù) a,就說a是函數(shù)f (x)在點(diǎn)xo處的右極限，記作lim f (x) X Xo=a.2.極限的四則運(yùn)算法則：如果 lim f (x) =a, lim g (x) =b,那么 x xox xolim f (x) ± g (x) 二a ± b; lim f (x) g (x) =a - b; lim (x) = (bw o).x xox xox xo g (x) b特別提示(1)上述法則對(duì)x00的情況仍成立；(2) lim Cf (

3、x) =C lim f (x) (C 為常數(shù)); x xox xo(3) lim f (x) n= lim f (x) n (nC N *). x xox xo點(diǎn)擊雙基1. lim f (x) = lim f (x) =2是 f (x)在 xo處存在極限的 x xox xoA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:C2x x 1,. .一2.f (x)=下列結(jié)論正確的是o x 1,A. lim f (x) = lim f (x) x 1x 1B. lim f(x)=2, lim f (x)不存在 x 1x 1C. lim fx 1(x)=0, lim f (

4、x)不存在 x 1D. lim fx 1(x)手 lim f (x)x 1答案:D3 .函數(shù)f (x)在xo處連續(xù)是A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:A(x)在點(diǎn)X0處有極限的4 . (2005年西城區(qū)抽樣測(cè)試)xm1解析：limx 12_x* 2 x 2=limx 1(x 1)(x x(x 1)2)=limx 1x 2 =3.x答案：35.若 limax-2 x=2,則 a=解析:axx2 33=2,4=2. 1. a=4.(1)(3)(4)limx(v(x a)(x-b) -x)；x, |x|lim兀cosx2 cos 一2x sin24答案：4

5、典例剖析【例1】求下列各極限:需求f (xo)即可；若f 的式子.剖析:若f (x)在xo處連續(xù)，則應(yīng)有l(wèi)im f (x) =f (xo),故求f (x)在連續(xù)點(diǎn)xo處的極限時(shí)，只 x x0(x)在xo處不連續(xù)，可通過變形，消去 xxo因式，轉(zhuǎn)化成可直接求 f (xo)解：(1)原式=limx 24-=limx 4 x 2原式=limx(a b)x ab =a+b. x2(a b)x ab x(3)因?yàn)閘imx 0limx 0x|X|=1,而=mx=1|x|所以limx 0豐lim x 0 |x|x不存在.|x|(4)原式=lim兀 x .22 x cos 2x cos-2.2 sin2 =

6、lim . xx Rsin -x 22(cos +sin x ) = 222思考討論數(shù)列極限與函數(shù)極限的區(qū)別與聯(lián)系是什么?【例2】2x b(1)設(shè) f (x) = 00,0,試確定b的值，使lim f (x)存在;； x 0(2) f解：(1)2x0,(x)為多項(xiàng)式，且limxf(x)x4x3f (x)=1, lim =5,求 f (x)的表達(dá)式.x 0 xlim fx 0(x)limx 0(2x+b)=b, lim f (x) = lim(1+2x) =2,當(dāng)且僅當(dāng)b=2時(shí),lim fx 0(x)lim fx 0(x),故b=2時(shí),原極限存在.(2)由于f (x)是多項(xiàng)式，且limxf(x)

7、4x3 =1,. .可設(shè) f (x) =4x3+x2+ax+b (a、xb為待定系數(shù))"幻=5,x即 lim (4x2+x+a+ ) =5,，a=5,b=0,即 f (x) =4x3+x2+5x.評(píng)述：(1)函數(shù)在某點(diǎn)處有極限，與其在該點(diǎn)處是否連續(xù)不同(2)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)每點(diǎn)的極限值就等于這一點(diǎn)的函數(shù)值 是求函數(shù)值，使極限運(yùn)算大大簡(jiǎn)化.，也就是對(duì)初等函數(shù)而百，求極限就【例3】討論函數(shù)f(x) = lim2n x2n xx (0<x< +8)的連續(xù)性，并作出函數(shù)圖象部析:應(yīng)先求出f (x)的解析式，再判斷連續(xù)性解:當(dāng)0< x<1時(shí)，f2n/、_1 x(x)

8、 = lim - x=x;n 1 x2n當(dāng) x> 1 時(shí)，f (x) = lim2n x-2a x二1 x. x=lim x=-x;n 工12nx當(dāng) x=1 時(shí)，f (x)=0.f (x) = 0(0 (x(xx 1),1)， i1).- lim f (x) = lim(x) = - 1, lim f x 1(x) = lim x=1,x 1lim f (x)不存在. x 1.f (x)在x=1處不連續(xù)，f (x)在定義域內(nèi)的其余點(diǎn)都連續(xù) 圖象如下圖所示.評(píng)述:分段函數(shù)討論連續(xù)性，一定要討論在闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)“分界點(diǎn)”的左、右極限，進(jìn)而判斷連續(xù)性1.已知函數(shù)f (x)是偶函數(shù)，且Jim

9、f(x)=a則下列結(jié)論一定正確的是A. lim f(x)= 一 aB.limx(x) =aC. Jm f(x)=|a|D.limx(x)=|a|解析：f(x)是偶函數(shù),.1. f ( x)=f (x).又limxf (x) =a,lim f x(x) =a,f(x) =f (x),limxf (x)limx(x)=a.2. (2004年全國(guó)n ,理2)lxm12 x2 x4x1 A.一2B.12 C.51 D.-4解析:(x 1)(x2)x2 4x 5(x 1)(x 5)lxm1x2 4x 5 23.已知函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x=x0處存在極限，且limx xqf (x) =a22, lim

10、f (x) =2a+1,貝U函數(shù) y=f (x) x x在點(diǎn)x=x。處的極限是a=3.解析：；y=f (x)在x=xo處存在極限，1 lim f (x) = lim f (x)，即 anxn n2=2a+1. a= -1xxoxxolim f (x) =2a+1= 1 或 7. x Xo4.若f (x) =n n = lim在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則f (0)3x11解析：:f (x)在點(diǎn)x=0處連續(xù), -f (0) = lim f (x), x 0x1 1lim f(x)=limx 0x 03 x1 13limx 0L(X 1)2 3x 1 1 3答案：325.已知函數(shù)f(x) = lim2n2n

11、nX一,試求：nX(1) f(x)的定義域，并畫出圖象;是否存在lim f (x)、lim f (x),并指出 lim f解:(1)當(dāng)岡2時(shí),lim n2n2nnXnX=limn(2)nX1-=-1；當(dāng)|x|<2時(shí),lim n2n xn1 (x)n=1；x n1 ()2當(dāng)x=2時(shí),limn2n xn =0; 2n xn當(dāng) x= 2 時(shí)，lim2n2nnx fl”不存在.nx1-f (x) = 01(x (x (22 或x2),2), x 2).f(x)的定義域?yàn)閤|xv 2 或 x=2 或 x> 2.如下圖：(2) lim f (x)x 2=1, lim f (x)x 2=1. 1

12、, lim f (x)不存在.x 26.設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+ bx+c是一個(gè)偶函數(shù)，且lim f (x) =0, lim f (x) =3,求出這一函數(shù)最大值. x 1x 2解:.£ (x)f (x)=ax2+bx+c是一偶函數(shù),=f (x),即 ax2+bx+c=ax2 bx+c.b=0. f (x) =ax2+c.又 lim f (x) = lim ax2+c=a+ c=0, lim f x 1x 1x 2(x)=lim ax2+c=4a+c=3, x 2，a= 1,c=1.f.f.f(x)(x)(x)max=f (0) =1.的最大值為1.培養(yǎng)能力7.在一個(gè)以AB為弦的弓

13、形中,C為"的中點(diǎn)，自A、B分別作弧AB的切線，交于D點(diǎn)，設(shè)x為弦AB所對(duì)的圓心角，求lim S ABC X 0 S ABD解：設(shè)二卜所在圓圓心為。，則C、D、。都在AB的中垂線上， ./AOD = /BOD = x .設(shè) OA=r.2字ABC=S 四邊形 AOBC Sa AOB=r2sin r2sinx=r2sin 11 cos),8AABD=S 四邊形 AOBD字AOB=r2tan 21 r2sinx=r22. 3 x sin22x . cos一2S ABC lim = limx 0 S abd x 02 . xx、r sin (1 cos )22=lim2 . 3 X r si

14、n 一2x cos- 2xcos-)21x 一 2 cos28.當(dāng)a> 0時(shí)，求limx 0:x2一x22 ab222解:原式=lim "x ax 0 /2,23 x ba)(、. x22 ab2a)(一 x2b2b)b)( x2 a2 a)/ 2222,2(x a a )(, x b b)=lim x 0 , 2,2,222、(xbb)( xa a).x 因而 f (x)=- 2a2b2b|b|b= lim =x 0.x2a2alaia0 Wb。日t),=b(當(dāng) b 0時(shí)).a探究創(chuàng)新9.設(shè)f (x)是x的三次多項(xiàng)式，已知 f(x) r f(x) dlim = lim =1.

15、X 2a x 2a x 4a x 4a試求lim f(x)的值(a為非零常數(shù)). x 3a x 3af(x) .解:由于lim ' ) =1,可知f (2a) =0.x 2a x 2a同理f (4a) =0.由，可知f (x)必含有(x2a)與(x-4a)的因式，由于f (x)是x的三次多項(xiàng)式，故可設(shè)f (x) =A (x2a) (x4a) (x C).這里A、C均為待定的常數(shù).由 lim f(X)=1,即 x 2a x 2a=lim A (x 4a) (x C) =1, x 2a得 A (2a4a) (2a C) =1, 即 4a2A-2aCA=-1.同理，由于lim f(x) =1

16、, X 4a x 4a得 A (4a2a) (4a C) =1, 即 8a2A2aCA=1.由得 C=3a,A=12 , 2a2(x 2a) (x4a) (x 3a).f (x)lim = limX 3a x 3a X1,、=-.a . a)2a2思悟小結(jié)3a1， 八、，、-(x2a) (x4a) 2a211. lim f (x) =A xlim f (x) = lim f (x) =A,lim f (x) =A lim f (x) = lim f (x) =A.X xox X0X X02 .函數(shù)f (x)在X0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)滿足三個(gè)條件：(1)函數(shù)f (x)在x=xo處及其附近有定義；(2) lim f (x)存在； x xo(3) lim f (x) =f (xo).x xo3 .會(huì)熟練應(yīng)用常見技巧求一些函數(shù)的極限.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1 .在講解過程中，要講清函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系與區(qū)別，借助于函數(shù)圖象講清連續(xù)性的意義2 .函數(shù)極限比數(shù)列極限復(fù)雜之處在于它有左、右極限，并有趨近于無(wú)窮大和趨近于常數(shù)兩類，需給 予關(guān)注.3.在求函數(shù)極限時(shí)，需觀察，對(duì)不能直接求的可以化簡(jiǎn)后求,但提醒學(xué)生要注意類似于lim qx x2 i與lim Xx_1的區(qū)別. x x拓展題例5x 2k (x 0,k為常數(shù))【例1】 設(shè)