(完整版)平方差公式與完全平方公式知識點(diǎn)總結(jié)(2),推薦文檔

1、乘法公式的復(fù)習(xí)一、平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化， x y y x x2 y2 符號變化， x y x y x 2 y2 x 2 y2 指數(shù)變化，x2 y2 x2 y2 x4 y4 系數(shù)變化，2a b 2a b 4a2 b2 換式變化，xy z m xy z mxy 2 z m2x2y2 z m z mx2y2 z2 zm zm m2x2y2 z2 2zm m2 增項(xiàng)變化，xyzxyz222yxy z xy xy y2 z22xy y2 z2 連用公式變化，xyxy22222x44 逆用公式變化， x y z 2 x y z 2x

2、yz xyz xyz xyz2x 2y 2z4xy 4xz完全平方公式活用 : 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：2221. ab2abab2. ab22aba2b23. ab2ab22 a2b2224. abab4ab靈活運(yùn)用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題， 培養(yǎng) 綜合運(yùn)用知識的能力。例 1 已知ab2 ，ab1 ，求a2b2 的值。例 2已知ab8 ，ab2 ，求(ab)2 的值。解：:(ab)2a22abb2(a b)2 a2 2ab b22222 (ab)(ab)4ab. . (ab) 4ab = (

3、ab).a b 8, ab 2.(a b)2 82 4 2 56例3已知a b 4, ab 5,求a2 b2的值。解： a2 b2a b 2 2ab 42 2 5 26三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題(一)、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”例 1 計(jì)算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析： 本題兩個(gè)因式中“-5” 相同，“2x2” 符號相反， 因而 “-5 ”是公式(a+b)( a-b尸a2-b2中的a,而“2x2”則是公式中的b.例 2 計(jì)算 (- a2+4b) 2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“-a2”就是公式中的a,“4b”就是公式中的b；若將題目變形為(4b

4、-a2)2時(shí)，則“4b”是公 式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解略)(二)、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計(jì)算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) 分析： 粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算， 但注意觀察， 兩個(gè)因式中的“ 2x” 、“5”兩項(xiàng)同號，“寸、“z”兩項(xiàng)異號，因而，可運(yùn)用添括號的技巧使原式變形為符合平方差公式的形式例 5 計(jì)算 (2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1) 分析： 此題乍看無公式可用， “硬乘” 太繁， 但若添上一項(xiàng)( 2-1 ) ，則可運(yùn)用公式，使問題化繁為簡(三)、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2 ，可推廣得到

5、：2222( a+b+c) =a +b +c +2ab+2ac+2bc可敘述為： 多項(xiàng)式的平方， 等于各項(xiàng)的平方和， 加上每兩項(xiàng)乘積2 倍例 6 計(jì)算 (2 x+y-3) 2解：原式=(2x)2+y2+(-3) 2+2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3)22=4x +y +9+4xy-12 x-6 y (四)、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例 7 已知：x+2y=7, xy=6,求(x-2y)2的值.例 10 計(jì)算(2a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5b)2分析： 此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開后計(jì)算， 但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡便四、怎

6、樣熟練運(yùn)用公式： 熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì) 算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)常見的幾種變化是：1、位置變化 如(3x+5y) (5y 3x)交換3x和5y的位置后即 可用平方差公式計(jì)算了.2、符號變化如(2mn7n) (2mn 7n)變?yōu)?2m+7n) (2m 7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數(shù)字變化 如98X 102, 992, 912等分別變?yōu)?100 2) (100+2, (1001) 2, (90+1) 2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、系數(shù)變化 如(4n+2) (2mv n)變

7、為 2 (2n+I) (2nnr n) 2444后即可用平方差公式進(jìn)行計(jì)算了.(四)、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解，此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭?使計(jì)算更簡便.如計(jì)算(a2+1) 2(a2-1) 2,若分別展開后再相乘， 則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡便.即原式=(a2+1) (a2 1) 2= (a41) 2=a82a4+1.對數(shù)學(xué)公式只會順向(從左到右)運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意 逆向(從右到左)運(yùn)用.如計(jì)算(1 J) (1 )(1 !)(1 234白)(1 親)，若分別算出各因式的值后再行相乘， 不僅計(jì)算繁難，910而且容易出錯(cuò).若注意到各因式均為

8、平方差的形式而逆用平方差公 式，則可巧解本題.即原式二(1 1)(1+1)(1 I)(1+<)x.x (1-1) (1+-1)22331010=1 X 3 X 2 X 4 X-X 工=xXi.2233101021020有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有：a2+b2= (a+b) 22ab, a2+b2= (ab) 2+2ab 等.用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效.如已知 m+n=7, mn=18,求 n2+n2, m2- mi+ n2的值.面對這樣的問題就可用上述變式來解，即 m+n2= (m+n) 2-2mnF72-2x ( 1

9、8) =49+36=85, m2 mr+ n2= (m+n) 23mr=/ 3x ( 18) =103.下列各題，難不倒你吧？ ！1、若 a+l=5,求(1) a2+，(2) (a 1) 2的值. aaa2、求( 2+1) (22+1) (24+1) (28+1) ( 216+1) (232+1) (264+1) +1 的末位數(shù)字.(答案：1. (1) 23; (2) 21. 2. 6 )五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(a+b)(a b)=a2b： (a ± b)=a2± 2ab+ b：(a ± b)(a 2 ± ab+ b2)=a3 ±

10、 b3.第一層次一一正用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡單的套用.例1計(jì)算(-2x-y)(2x -y).第二層次一一逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用.例2計(jì)算第三層次活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù) 使用乘法公式；有時(shí)根據(jù)需要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式.例 3 化簡：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1.分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增 添一個(gè)因式“ 21”便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) +1二(22 1)(2 2+ 1)(

11、2 4+ 1)(2 8+ 1)+ 1=216.第四層次一一變用：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式 的一些恒等變形式，如 a2+b2=(a + b)22ab, a3+b3=(a+b)33ab(a + b)等，則求解十分簡單、明快.例 5 已知 a + b=9, ab=14,求 2a2+2b2的值.解： . a + b=9, ab=14, . 2a2+2b2=2(a + b)2 2ab=2(9-2 14)=106,第五層次綜合后用：將(a + b)2=a2+2ab+ b2和(a b)2=a22ab+ b2 綜合，可得(a +b)2+(a b)2=2(a2+b2); (a + b)2(a b)2

12、=4ab;fa + br 卜-叩:rj T)等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例 6 計(jì)算：(2x + y z + 5)(2x y + z + 5).解：原式=1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2- 1 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2=(2x +5)2(y z)2=4x2+20x+25 y2 + 2yz-z2乘法公式的使用技巧：提出負(fù)號：對于含負(fù)號較多的因式，通常先提出負(fù)號，以避免 負(fù)號多帶來的麻煩。例1、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1) 2改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排 列順序，可

13、以使公式的特征更加明顯.例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1) (1a-1b )(- 1b -a );(x-1/2)(x 2+1/4)(x+13 443逆用公式將哥的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b),逆用積的乘方公式，得 anbn=(ab) n,等等，在解 題時(shí)常會收到事半功倍的效果。例3、計(jì)算：(1)(x/2+5) 2-(x/2-5) 2;(2)(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2)合理分組：對于只有符號不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，一般先將完 全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號相反的項(xiàng)放在后面， 視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：(1) (x+y+1)(1-x-y);(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例2.計(jì)算：8x 2 4x) 24簡析：通過觀察、比較，不又t發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的X的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多 項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來，變?yōu)? 4x上，則可利用乘法公式。43 .先分項(xiàng)，再用公式例 3.計(jì)算：2x 3y 2 2x 3y 6簡析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著 手觀察，不難發(fā)現(xiàn)，x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法 公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。若將 2分解成4與2的和，