八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)平行四邊形課件帶輔助線完整版

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)特殊平行四邊形-教案平行四邊形的性質(zhì)和判定一、知識(shí)梳理1 .平行四邊形：(1)平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.平行四邊形用符號(hào)“門”表示.平行四邊形 ABCD記作。AECD,讀作平行 四邊形ABCD2 .平行四邊形的性質(zhì)：(1)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等.(2).平行四邊形的對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分.(4)若一條直線過平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這直線被一組對(duì)邊截 下的線段以對(duì)角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，且這條直線二等分平行四邊形的面 積.3 .兩條平行線間的距離：(1)定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離， 叫做這

2、兩條平行線間的距離.(2)兩平行線間的距離處處相等.4 .平行四邊形的面積：(1)如圖，Soabcd=BC AE=CD , AF .(2)同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.如圖，2ECD與OEBCF有公共邊BC,則.5 .平行四邊形的判別方法：(1)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.(3) 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.(4)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.(5)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.6 .平行四邊形知識(shí)的運(yùn)用：(1)直接運(yùn)用平行四邊形特征解決某些問題，如求角的度數(shù)，線段的長(zhǎng)度，證明角相等或互補(bǔ)，證明線段

3、相等或倍分等.(2)識(shí)別一個(gè)四邊形為平行四邊形，從而得到兩直線平行.(3)先識(shí)別一個(gè)四邊形是平行四邊形，然后再用平行四邊形的特征去解決某些問題.(二)平行四邊形的判定 1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形為平行四邊形如圖，平行四邊形 ABC碑，M N分別為AD BC的中點(diǎn)，連結(jié) AN DNBM CM且AN BM友于點(diǎn)P, CM DN交于點(diǎn)Q四邊形MGN隆平行四邊形嗎?為什么？2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形為平行四邊形如圖，在。ABCD的各邊 AB、BC、CD、DA上，分別取點(diǎn) K、L、M、N,使AK=CM、BL = DN,則四邊形KLMN為平行四邊形嗎？說明理由且 AE=1AB, CF=1CQ22 3.

4、 一組對(duì)邊平行且相對(duì)的四邊形為平行四邊形如圖，UABCB, E、F分別在BA DC的延長(zhǎng)線上,AB試證明AECF為平行四邊形. 4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形為平行四邊形（2008湖北恩施）如圖，在平行四邊形 ABCD中，/ABC的平分線交CD于點(diǎn)E,/ADC的平分線交F.試證明四邊形DFB時(shí)平行四邊形. 5.對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形（2010江蘇宿遷）如圖，在 UABCDK點(diǎn)E、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AE=CF求證：/ EBF=/ FDE平行四邊形中的常用輔助線第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且A

5、E CF , 請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證 明它和圖中已有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié) BF BF DE證明：連結(jié)DB,DF，設(shè)DB, AC交于點(diǎn)O四邊形ABCD為平行四邊形 AO OC,DO OBAE FCAO AE OC FC 即 OE OF二四邊形EBFD為平行四邊形BF DE第二類： 過一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線， 把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC 2BD 2AB 2BC2 CD 2DA2證明：過A, D 分別作AE BC 于點(diǎn) E ， DF BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F A

6、C2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BC則 AC2BD2AB2BC2CD2 DA22BCCF 2BC BE四邊形 ABCD為平行四邊形AB / CD且AB CD, AD BCABC DCFAEB DFC 90° ABE DCFBE CF222222 AC BD AB BC CD DA第三類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4:已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn), BE與CF交于P點(diǎn)，求證：AP AB證明：延長(zhǎng)CF 交 BA 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K四邊形ABCD為正方形A AB / CDH AB C

7、D , CD AD, BAD BCD D 90°1K 又丁 D DAK 900, DF AF 二 CDF © KAF._. . _1 _ _1 _AK CD AB CE CD,DF -AD. . CE DF22BCD D 900二 BCE© CDF二 1213 90023 900CPB 900,貝U KPB 900AP AB第四類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6已知：如右上圖6,在平行四邊形ABCD中，AN BN, BE 1 BC , NE3交BD于F ,求BF :BD解：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連結(jié)ON四邊形ABCD為平行四邊形二 OA OC,O

8、B ODAN BN1 BE 1BC3.變 2BO 51 1BEON /BC 且 ON - BC/.2 2ON.BF 2 BE :ON 2:3 FO3 BF : BD 1:5BD2BFFO綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對(duì)角線，平移對(duì)角線，延長(zhǎng)邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等圖形，為證明解決問題創(chuàng)造條件。添加輔助線解特殊四邊形題特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時(shí)往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.一、和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可

9、以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.1.利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1,已知點(diǎn)O是平行四邊形 ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形 OCD電平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.分析：因?yàn)樗倪呅?OCD電平行四邊形，所以O(shè)CED,OC=DE,又由O是AC的中點(diǎn)，得出AO/ED,AO=ED, 則四邊形AODEM平行四邊形，問題得證.證明：連結(jié)AE、OD因?yàn)槭撬倪呅?OCDE平行四邊形，所以O(shè)C/DE, OC=DE因?yàn)?是AC的中點(diǎn)，所以 A0/ED , AO=ED所以四邊形 AODEM平行四邊形，所以 AD與OE互相平分.說明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要

10、求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形.2利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例 2 如圖 2,在 ABC 中，E、F 為 AB 上兩點(diǎn)，AE=BF, ED/AC , FG/AC 交 BC 分別為 D, G.求證：ED+FG=AC.分析：要證明ED+FG=AC因?yàn)镈E/AC,可以經(jīng)過點(diǎn)E作EH/CD交AC于H得平行四邊形，得ED=HC然后 根據(jù)三角形全等 , 證明 FG=AH.證明：過點(diǎn)E作EH/BC,交AC于H,因?yàn)镋D/AC,所以四邊形 CDEHW四邊形，所以ED=HC又 FG/AC,EH/BC,所以/ AEH=/ B, / A=/ BFG,又 AE=BF,所以 A

11、EH FBG, 所以 AH=FG所以 FG+DE=AH+HC=AC.說明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通過作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問題.3利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3,已知 AD是AABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且 AE=EF.求證BF=AC.分析：要證明BF=AC 一種方法是將 BF和AC變換到同一個(gè)三角形中，利用等邊對(duì)等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換.尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)造平行四邊形證明：延長(zhǎng) AD至ij G,使DG=AD連結(jié)BG CG,因?yàn)锽D=CD所以四邊形 ABGO平行四邊形，所以 AC=BGA

12、C/BG,所以/ 1 = /4,因?yàn)?AE=EF,所以/ 1 = /2,又/ 2=/3,所以/ 1 = /4,所以 BF=BG=AC.說明：本題通過利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形. 當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法.圖3圖4二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題 .例4如圖5,在 ABC中，/ACB=90 , / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC EF/BC 交AD于點(diǎn)F,求證：四邊形 CDEF是菱形.分析：要證明四邊形CDEF是菱形，根據(jù)已知條件，本題有

13、量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.根據(jù)AD是/ BAC的平分線，AE=AC可通過連接CE,構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE.求AD平分CE.證明：連結(jié) CE交AD于點(diǎn)O,由AC=AE得AACE是等腰三角形，因?yàn)锳O平分/ CAE所以 AOL CE,且 OC=OE因?yàn)?EF/CD ,所以/ 1 = /2,又因?yàn)? EOF之COD所以 DOCT以看成由 FOE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，所以O(shè)F=OD所以CB DF互相垂直 平分.所以四邊形 CDEF是菱形.例5如圖6,四邊形ABC/菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求證 EF+B

14、F的最小值 等于DE長(zhǎng).分析：要證明 EF+BF的最小值是 DE的長(zhǎng)，可以通過連結(jié)菱形的對(duì)角線BD,借助菱形的對(duì)角線互相垂直平分彳4到DF=BF，然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題證明：連結(jié)BD、 DF.因?yàn)锳G BD是菱形的對(duì)角線，所以 AC垂直BD且平分BD,所以 BF=DF,所以 EF+BF=EF+DIDE,當(dāng)且僅當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到DE與AC的交點(diǎn)G處時(shí)，上式等號(hào)成立，所以EF+BF的最小值恰好等于 DE的長(zhǎng).圖6說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計(jì)算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有： （ 1）作菱形的高； （ 2 ）連結(jié)菱形的對(duì)角線.三、 與 矩形有輔助

15、線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種： （ 1 ）計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；（ 2 ）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題. 和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6 如圖7,已知矩形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的長(zhǎng).分析：要利用已知條件，因?yàn)榫匦?ABCD可過P分別作兩組對(duì)邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題 .解：過點(diǎn)P分別作兩組對(duì)邊的平行線EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于點(diǎn)H,交AD于G.因?yàn)樗倪呅蜛BCDM矩形，所以 PF2=CH2=PC2-PH2, DF2=AE2=AP2-E

16、P2, PH2+PE2=BP2, 所以 PD2=Pd-PH2+AP2-EP2=PC2+AP-PB2=52+32-4 2=18,所以PD=3 2 .圖7說明：本題主要是借助矩形的四個(gè)角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個(gè)小矩形，然后根據(jù)對(duì)角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PB、PC之間的關(guān)系，進(jìn)而求到 PD的長(zhǎng).四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔助線2例7如圖8,過正方形 ABCD勺頂點(diǎn) B作BE/AC,且 AE=AC又CF/AE.求證：/ BCF=2 / AEB.分析：由BE/AC , CF/AE , AE=AC可知四邊形 AEFC是菱形，作 AH± BE于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)可1知四邊形 AHBQM正方形，從 AH=OB=2AC,可算出/ E=/ ACF=30° , / BCF=15° .證明：連接 BD交AC于O,彳AH± BE交BE于H.在正方形 ABCD中，AC± BQ