2020年中考數(shù)學(xué)必考考點專題20矩形(含解析)

1、專題20矩形專題知識回顧1 .矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。2 .矩形的性質(zhì)：（1）矩形的四個角都是直角；（2）矩形的對角線平分且相等。3 .矩形判定定理：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形;（3）有三個角是直角的四邊形是矩形。4 .矩形的面積：S矩形=長*寬=ab專題典型題考法及解析【例題1】（2019廣西桂林）將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，BE, EG , FG為折痕，若頂點A, C,D都落在點。處，且點B, O, G在同一條直線上，同時點 E, O, F在另一條直線上，則 處的值為（ AB）A. 6B. .2C. 3D. 3

2、5 2【答案】B【解析】由折疊可得，AE OE DE , CG OG DG ,E , G分別為AD , CD的中點，設(shè) CD 2a , AD 2b,貝U AB 2a OB , DG OG CG a , BG 3a , BC AD 2b ,Q C 90 ,Rt BCG 中，CG2 BC2 BG2 , 2_22即 a (2b)(3a),2 一 2b 2a ,即 b 72a , b 22 ,AD 的值為 22aAB【例題2】（2019貴州省安順市）如圖，在RtABC中，/ BAC= 90° , AB= 3, AC= 4,點D為斜邊的一個動點，過 D分別作DML AB于點M彳DNL AC于點

3、N,連接MN則線段 MN的最小彳1為BC上【答案】 一5【解析】連接AD即可證明四邊形 AMDht矩形；由矩形 AMDNI出MN= AD再由三角形的面積關(guān)系求出的最小值，即可得出結(jié)果.連接AD如圖所示：AD. DML AR DNL AC,./AM& Z AND= 90 ,又. / BAC= 90 , .四邊形 AMDNI矩形；. MN= AQ /BAC= 90 , AB= 3, AC= 4, . BG= 5,當(dāng) ADL BCM, AM短,11此時 ABC勺面積= BC?AD= AB?AC2AB AC1- AD的取小值=BC2125，, 一 12線段MN勺最小值為 5。專題典型訓(xùn)練題一、

4、選擇題1. （2019?廣東廣州）如圖，矩形ABCDK 對角線AC的垂直平分線 EF分另交BQ AD于點E, F,若B&3,AF= 5,則AC的長為（）A. 4 二B. 4 二C.10D. 8【答案】A【解析】連接 AE由線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA= OC AE= CE證明 AO段 COE導(dǎo)出AF= CE= 5,得出AE= CE= 5, BC= BECE= 8,由勾股定理求出 AB=A£?_gE2 = 4,再由勾股定理求出 AC即可. 連接AE如圖： EF是AC的垂直平分線， OA= OC AE= CE .四邊形ABC/矩形， ./ B= 90° , AD/ BC

5、 ./ OAF= / OCErZA0F=ZC0E在 ao麗4co舁，DAOC , ZOAZOCE. AO自 COE (ASA,AF= CE= 5,AE= CE= 5, BC= BECE= 3+5=8,AB= 7ae2-be2=也2-m=4，AC= 7ab2+bc2=山?+講=4氐故選：A.2. （2019須州省銅仁市） 如圖為矩形 ABCD 一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內(nèi)角和分別為a和b,則a+b不可能是（）Ai5fA. 360°B. 540°C. 630°D. 720°【答案】C.【解答】一條直線將該矩形 ABCD割成兩個多邊形，

6、每一個多邊形的內(nèi)角和都是180。的倍數(shù)，都能被180整除，分析四個答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630° .3. （2019?山東泰安） 如圖，矩形ABC由，AB= 4, AD= 2, E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點,連接PB,則PB的最小值是（）A. 2B. 4C.二D. .'：【答案】D【解析】根據(jù)中位線定理可得出點點P的運動軌跡是線段 PB,再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)BP! P1P2時，PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BPXRP2,故BP的最小值為 BP的長，由勾股定理求解即可.如圖：當(dāng)點F與點C重合時，點P在Pi處，C

7、P=DP,當(dāng)點F與點E重合時，點P在P2處，EB=DP, PiF2/ CEM RF2=-i-CE當(dāng)點F在EC上除點C E的位置處時，有 DP= FP由中位線定理可知： PiP/ CE且RP=CF.點P的運動軌跡是線段 PP2, 當(dāng)BPL RP2時，PB取得最小值 矩形ABC珅，AB= 4, AD= 2, E為AB的中點， .CBE ADIE BCI%等腰直角三角形，CP= 2 ./ADE= Z CDE= / CPB= 45 , / DEC= 90DPR = 90 / DPP2=45 ./ P2PiB= 90 ,即 BP±PiP2, .BP的最小值為BP的長在等腰直角 BCP中，CP=

8、BC= 2BP=2 百 PB的最小值是2 .4. （2019湖北荊州）如圖，矩形 ABCD勺頂點A, B, C分別落在/ MON勺邊OM ON±,若OA= OC要求只 用無刻度的直尺作/ MON勺平分線.小明的彳法如下：連接 AC BD交于點E,作射線OE則射線OFF分/ MON有以下幾條幾何性質(zhì)：矩形的四個角都是直角，矩形的對角線互相平分，等腰三角形的“三線C.D.【解析】四邊形ABCD;矩形, . AE= C耳而 OA= OC.OE為/ AOC勺平分線.二、填空題5. （2019重慶）如圖，在矩形ABC珅，AB 3 , AD 2,以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交AB于點E, 圖

9、中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留 ）.DCAE B【答案】6【解析】與 2 3- 90 ? ?22 63606. （2019湖南婁底）如圖，要使平行四邊形ABCD矩形，則應(yīng)添加的條件是 （添加一個條件即可）.【答案】/ ABB90或AC=BD【解析】解：根據(jù)矩形的判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形；故添加條件：/ AB（=90或 AC=BD故答案為：/ ABO90或AC=BD7. （2019黑龍江省龍東地區(qū)） 如圖，矩形ABCW, AB= 4, BC= 6,點P是矩形ABC的一動點，且以paa 12Sa pcd則PC PD的最小值是,BC【答案】4 5 .【

10、解析】結(jié)合已知條件，根據(jù)軍PAA 1 Sa PCD可判斷出點P在平彳T于AB,與AB的距離為2、與CD的距離為24的直線上，再根據(jù)“將軍飲馬問題”的解法解之即可過點P作直線l /AB,作點D關(guān)于直線l的對稱點 D,連接CD,二矩形ABC珅，AB= 4, BO 6,CD=4,DD=8,在RtCDD中，由勾股定理得 CD=4j5,，PO PD的最小值是4，5.8. （2019內(nèi)蒙古通遼） 如圖，在矩形 ABCW, AD= 8,對角線 AC與BD相交于點 Q AE! BD垂足為點 E, 且AE平分/ BAC則AB的長為 .【解答】:四邊形 ABCD1矩形. AO= CO= B0= DQ. AE 平分

11、/ BAO ./ BAE= / EAQ 且 AE= AE, / AEB= / AEQ . ABE AOE (ASA . AO= AR 且 AO= OB. AO= AB= BO= DOBD= 2AB. AC2+Al=BD,-.64+A = 4AB!,A入哂一 AB=39. （2019?胡北省咸寧市） 如圖，先有一張矩形紙片 ABCD AB= 4, BC= 8,點M N分別在矩形的邊 AD BC上，將矩形紙片沿直線MNUf疊，使點C落在矩形的邊AD上，記為點P,點D落在G處，連接PC交MNF點Q連接CM下列結(jié)論： CQ= CD四邊形CMPNI菱形；P, A重合時，MN= 2后, PQM勺面積S的取

12、值范圍是3WSW 5.其中正確的是 （把正確結(jié)論的序號都填上）.【答案】.【解析】先判斷出四邊形 CFH里平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CN= NP然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明， 判斷出正確； 假設(shè)CQ= CD得RtCMQCMD進而彳導(dǎo)/ DCIM= / QCMt Z BCP= 30° , 這個不一定成立，判斷錯誤；點P與點A重合時，設(shè) BN= x,表示出AN= NC= 8-x,利用勾股定理列出方程求解得x的值，進而用勾股定理求得 MN判斷出正確；當(dāng) MNi D點時，求得四邊形 CMPN勺最小面 積，進而得S的最小值，當(dāng)P與A重合時，S的值最大，求得最大值便可.如圖1,0

13、1 PM/ CN .Z PMN= / MNC / MNC / PNM / PMM / PNM P陣 PN. NC= NP P陣 CN MP/ CN 四邊形CNP槌平行四邊形， CN= NP .四邊形CNP睡菱形，故正確；. CPI MN / BCP= / MCP ./ MQCZ D= 90 ,. CP= CP若 CQ= CD 則 RtACMQi CMDDC隨/ QC端/ BCP= 30 ,這個不一定成立,故錯誤；點P與點A重合時，如圖2,設(shè) BN= x,則 AN= NC= 8-x,在 RtAABM3, A+BNUaN,即 42+x2= ( 8 x) 2,解得x=3,CN= 8-3=5, AC=

14、 Jab'+bc，二4IT 二二二二二一 1- - MN= 2QN= 2V5.故正確； 當(dāng)MN過點D時，如圖3,£3此時，CNl短，四邊形 CMPN1面積最小，則 S最小為S=4隙開如呷4 x q=q ,當(dāng)P點與A點重合時，CNt長，四邊形 CMPNJ面積最大，則 S最大為S=1x 5X4=5， q，4W S<5,故錯誤.故答案為：.10. （2019 貴州貴陽） 如圖，在矩形 ABC珅，AB= 4, / DCA= 30° ,點F是對角線 AC上的一個動點，連接DF,以DF為斜邊作/ DF& 30。的直角三角形 DEF使點E和點A位于DF兩側(cè)，點F從點

15、A到點C的運 動過程中，點 E的運動路徑長是 .3【解析】E的運動路徑是 EE的長;AB= 4, / DCA= 30° ,S;；當(dāng)F與A點重合時, DE273T在 RtADE中，AD=,D DAE =30 , / ADE = 60 ,3當(dāng)F與C重合時，/ EDC= 60° ,EDE = 90 , / DEE = 30 ,在 RtDEE中，EE= JE11. （2019?山東濰坊） 如圖，在矩形 ABCM, AD= 2.將/A向內(nèi)翻折，點 A落在BC上，記為A',折痕【答案】Vs為DE若將/ B沿EA向內(nèi)翻折，點 B恰好落在DE上，記為B',則AB=【解析】利

16、用矩形的性質(zhì)，證明/ AD號/ A DE= / A' DC= 30° , / C= / A' B D= 90° ,推出 DCA, CD= B'D,設(shè)AB= DC= x,在RtADE中，通過勾股定理可求出 AB的長度.四邊形ABCDMl矩形， ./ADC= / C= Z B= 90 , AB= DC由翻折知， AED AA' EQ A BE AA' BE, / A B E= / B= / A B D= 90 ,/ AED= / A ED / A' EB= / A EB , BE= BE,，/AED= /AED= /AEB=X 1

17、80 = 60 ,3 ./ADE= 90° -Z AED= 30 , / A DE= 90° -Z A EB= 30 , ./ADE= /ADE= /A'DC= 30 ,又. / C= /ABD= 90° , DA = DA, . DBA'，DCA (AAS, . DC= DB,在 RtAAED, /ADE= 30 , AD= 2,AE=設(shè) AB= DC= x,則 BE= B' E= x-型5 a+aD= dE,解得，Xi =（負值舍去），x2=Jg2+22= ( x+x -212. （2019北京市）在矩形ABC邛，M,N, P,Q分別為

18、邊AB,BC,C口DA上的點（不與端點重合）.對于任意矢I形ABCD下面四個結(jié)論中, 存在無數(shù)個四邊形 MNPQ1平行四邊形；存在無數(shù)個四邊形 MNPQ1矩形；存在無數(shù)個四邊形 MNPQ1菱形；至少存在一個四邊形 MNPQI正方形.所有正確結(jié)論的序號是 .【答案】【解析】 如圖，O為矩形ABCD寸角線的交點,用16T圖中任過點。的兩條線段PM QN則四邊形MNPQi平行四邊形；顯然有無數(shù)個 .本結(jié)論正確.圖中任過點。的兩條相等的線段 PM QN則四邊形 MNPQ1矩形；顯然有無數(shù)個.本結(jié)論正確.圖中任過點 。的兩條垂直的線段 PM QN則四邊形 MNPQ1菱形；顯然有無數(shù)個.本結(jié)論正確.圖中過

19、點。的兩條相等且垂直的線段 PM QN則四邊形MNPQI正方形；顯然有一個.本結(jié)論錯誤.故填：.13. （2019遼寧本溪）如圖，BD是矩形ABCD勺對角線，在 BA和BD上分別截取BE BF,使BE=BF分別以E, F為圓心，以大于 EF的長為半徑作弧，兩弧在/ ABD內(nèi)交于點G,作射線BG交AD于點P,若AP=3,2則點P到BD的距離為.【答案】3.【解析】 過點P作PQL BDD垂足為Q, 根據(jù)題意可得 BP平分/ ABD.四邊形ABCM矩形,.ZA=90° ,PA=PQ. . PA=3PQ=3故答案為3.14. （2019遼寧撫順）在矩形ABCD, AEB= 6, AD= 3

20、, E是AB邊上一點，AE= 2, F是直線CD上一動點,將 AEF沿直線EF折疊，點A的對應(yīng)點為點 A ,當(dāng)點E、A'、C三點在一條直線上時，DF的長度為【解析】在旋轉(zhuǎn)過程中 A有兩次和E C在一條直線上，第一次在EC線段上，第二次在CE線段的延長線上,利用平行的性質(zhì)證出 CF= CR即可求解;如圖1: 將4AEF沿直線EF折疊，點A的對應(yīng)點為點 A,AE展 / EAF, AE= A' E,. AB/ CD.Z AEF= / CFE. CF= CEAB= 6, AD= 3, AE= 2,.CF= CE= 6- DF A' E= 2, BE= 4, BC= 3,EC=

21、5, -6- DF= 5, .DF= 1;如圖2:由折疊/ FEA = / FEA. AB/ CD ./ CFE= / CEF. CF= CECF= 5,DF= 11;故答案為1或11;三、解答題15. (2019湖南懷化) 已知：如圖，在？ABCW, AE1BC CF±AD E, F分別為垂足.(1)求證： ABEACDF(2)求證：四邊形 AECF矩形.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）證明：二四邊形 ABC國平行四邊形，. ./ B= / D, AB= CD AD/ BCAE! BC Ca AD,/ AEB= / AEC= / CFD= / AFC= 90 ,

22、irZB=ZD在AB討口CDF, < ZAEB=ZCFD ,、AB=CD AB眸 CDF （AAS;（2）證明：AD/ BC/ EAF= / AEB= 90 , ./EAF= /AEC= Z AFC= 90 ,四邊形AECF矩形.16. （2019湖南郴州）如圖1,矩形ABCD,點E為AB邊上的動點（不與 A, B重合），把ADEgDE翻折，點A的對應(yīng)點為 A,延長EA交直線DW點F,再把/ BEFW疊，使點B的對應(yīng)點B落在EF上，折痕EH交直線BC于點H.（1）求證： AD殍 B1EH（2）如圖2,直線MN矩形ABCD勺對稱軸，若點 A1恰好落在直線 MNk,試判斷 DEF的形狀，并說

23、明理由；（3）如圖3,在（2）的條件下，點 G為4DE泅一點，且/ DGF= 150。，試探究DG EG FG的數(shù)量關(guān)系.【答案】（1）見解析；（2） 4DEF是等邊三角形，理由見解析；（3） DG+GF= GE.【解析】 解：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知： /DAE= / DAE= 90° , / EBH= / EBH= 90° , /AED= / AEQ/ BEH= / BiEH, / DEA+/ HEB= 90 .又HEb/ EHB= 90° , ./ DEA= / EHB,. AD&ABiEFi(2)結(jié)論： DE比等邊三角形；理由如下： 直線Mt矩

24、形ABCD勺對稱軸， 點Ai是EF的中點，即 AE= AF, . ADEAAi DF (SAJS,DE= DF, / FDA= / EDA,又ADM ADE / ADF= 90 ./ ADE= / EDA= / FDA= 30° , ./ EDF= 60 , . DEF是等邊三角形；(3) DG EG FG的數(shù)量關(guān)系是 dC+GF=GE,理由如下：由(2)可知 DEF是等邊三角形；將 DG電時針旋轉(zhuǎn)60°到 DGF位置，如解圖(1 ), .GF= GE DG=DG / GDG= 60 , . DGG是等邊三角形， .GG=DG / DGG= 60 , / DGF1 50 ,

25、 ./ GGF= 90 , .G C+GF=G F2,dG+gF= gE,17. （2019湖南益陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，矩形ABCD勺邊AB= 4, BC= 6.若不改變矩形 ABCD勺形狀和大小，當(dāng)矩形頂點 A在x軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動.(1)當(dāng)/ OAD= 30°時，求點C的坐標(biāo);(2)設(shè)AD的中點為M,連接OMMC當(dāng)四邊形OMC助面積為21T時，求OA勺長;(3)當(dāng)點A移動到某一位置時，點C到點O的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時cos / OAM值.C【答案】(1) (2, 3+2/1); (2) O

26、A= 3/2;（3）當(dāng)O M C三點在同一直線時， OC有最大值8, cos/OAD=W:5【解析】解：（1）如圖1,過點C作Cay軸于點E,Eo.矩形 ABC珅，CDL AQ ./ CDEZADO= 90 ,又 / OAD/ ADO= 90 ,/ CDB / OAR 30 ,. .在 RtACED, CE=C氏 2, DE= 7CD-CE = 2',在 RtOA碑，/ OAD= 30 , .OD= 1AD= 3,2點C的坐標(biāo)為（2, 3+26）;（2） .M為AD的中點,DM= 3, S>adcm= 6,OMCD=.:9|又S四邊形 Sa odm=2| Sa oad= 9,設(shè)

27、OA= x、OD= y,則 x2+y2= 36, 1xy= 9, 222x +y = 2xy,即 x = y,將 x= y 代入 x2+y2= 36 得 x2= 18,解得x=3,，力（負值舍去），O生3二(3) OC的最大值為8,如圖2, M為AD的中點,OM= 3, CM=立口2+D1=5,.OGc OMCM= 8,當(dāng)Q M C三點在同一直線時，OC有最大值8,連接OC則此時OCW AD的交點為 M過點O作ONL AQ垂足為N,. /CD雌 / ON陋 90 , /CMD/OMNMN生，即a=*=生OM ON MN 3解得mn=25?AN= AM MN=OA 5在0A由，0A=#）島a/ .,.cosZOAD= = -.18. (2019砌北省鄂州市) 如圖，矩形 ABC計，AB= 8, AD= 6,點O是對角線BD的中點，過點