全國高考理科數學試題含標準答案(新課標卷)

1、2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學第I卷、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求(1)復數"22的共腕復數是()1 2i(A)3i(B) 3i(C) i(D) i55(2)下列函數中，既是偶函數又在(0,+ )單調遞增的函數是()(A) y x3(B) y |x 1(C) yx2 1(D) y 2lx(3)執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的N是6,那么輸出的p是()(A) 120(B) 720(C) 1440(D) 5040(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參

2、加同一個興趣小組的概率為()(A)1(B)1(C)2(D)33234(5)已知角 的頂點與原點重合，始邊與 x軸的正半軸重合，終邊在直線 y 2x上，則cos2 =()2011年全國1卷數學理試題和答案第11頁共10頁(B)(D)(6)在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如左圖所示，則相應的側視圖可以為()匕胃網圖：'(7)設直線L過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，L與C交于A ,B兩點，AB為C的實軸長的2倍，則C的離心率為()(B) 73(C) 2(D) 3(8) x a 2xx51的展開式中各項系數的和為2,則該展開式中常數項為 x(A) -40(B) -20(C)

3、 20(D) 40(9)由曲線y7x,直線y x 2及y軸所圍成的圖形的面積為(B) 4(10)已知a與b均為單位向量，其夾角為© 136,有下列四個命題(D) 6P3: a b0,3P2: aP4: a其中的真命題是(A) P,P4(B)凡P3(C)P2,P3(D) P2,P4(11)設函數f(x)sin( x )cos()(0,一)的最小正周期為2，且 f( x) f(x),則(C)f(x)在0,一單調遞減2(B)f(x)在73r單調遞減f(x)在0,單調遞增f(x)在了Y單調遞增(12)函數y1 ,的圖像與函數y1-x2sinx(2 x 4)的圖像所有交點的橫坐標之和等于()(

4、A) 2(B) 4(C) 6(D)8第R卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第 13題第21題為必考題，每個試題考生都必須做答。第 22題第24題為選考題，考生根據要求做答。、填空題：本大題共4小題,每小題5分。3 2x y 9(13)若變量x,y滿足約束條件3 2x y 9,則z x 2 y的最小值為6 x y 9,(14)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點FF2在x軸上，離心率為 -o過Fi的直2線L交C于A,B兩點，且慶852的周長為16,那么C的方程為(15)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為 4的球。的球面上，且AB 6, BC 2曲,則棱錐O ABCD的體積為 o(16)

5、在 VABC 中，B 60o, AC J3 ,則 AB 2BC 的最大值為。三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)等比數列 an的各項均為正數，且 2a1 3a2 1,a32 9 a2a6.(i )求數列an的通項公式；1(H )設 bn 10g3al log3 a2 10g3 an,求數列 一 的刖 n 項和.bn(18)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，/ DAB=60 ,AB=2 AD,PDL底面 ABCD.(I)證明：PAXBD;(II)若PD=AD,求二面角 A-PB-C的余弦值。(19)(本小題滿分

6、12分)某種產品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，且質量指標值大于或等于102的產品為優(yōu)質品，現用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產了 100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面試驗結果:A配方的疚數妙也衰J指標值分組90. 94)(94. 98)98, 102)(102, 106)口慎1 0204222SB專方的技數分布混 - r指株值分第(90, 94)(94, 98)F 102)(102.-(106. 1 ID4 1124?3210(I )分別估計用 A配方，B配方生產的產品的優(yōu)質品率；(n)已知用 B配方生成的一件產品的利潤 y(單位：

7、元)與其質量指標值t的關系式為94工/4102., 02.從用B配方生產的產品中任取一件，其利潤記為 X (單位：元)，求X的分布列及數學期望.(以試驗結果中質量指標值落入各組的頻率作為一件產品的質量指標值落入相應組的概率)(20)(本小題滿分12分)uuu uur在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1) , B點在直線y = -3上，M點滿足MB/OAuuu uur uuu MA AB MBuirBA,M點的軌跡為曲線Co(I )求C的方程;(n) p為C上的動點，1為C在P點處得切線，求 O點到l距離的最小值。(21)(本小題滿分12分)已知函數f (x)即nx x 1b,曲線y f

8、 (x)在點(1,f(1)處的切線方程為x 2y 3 x0。(n)如果當請考生在第b的值;1時，f (x) -lnx k,求k的取值范圍。x 1 x22、23、24題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分。做答時請寫清題號。(22)(本小題滿分10分)選修4 - 1:幾何證明選講如圖，D,E分別為 ABC的邊AB,點重合。已知 AE的長為m、AC的長為n ,2x 14x mn 0的兩個根。(I)證明：C , B, D , E四點共圓;(n)若 A 90,且 m 4,n 6,求 C頂程(23)(本小題滿分10分)選彳4-4 :坐標系與參數方程在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為x

9、2cos2sin( 為參數)uuvuuivM是C1上的動點,P點滿足OP 2OM ,P點的軌跡為曲線 C2(I )求C2的方程(n)在以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線一與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于3極點的交點為B,求AB .(24)(本小題滿分10分)選彳4-5:不等式選講設函數f(x) x a 3x,其中a0。(i)當a 1時，求不等式f (x)3x 2的解集;(n)若不等式f(x) 0的解集為x| x 1 ，求a的值。2011年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數學試卷參考答案、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)(1) C (2)B (3)(4) A

10、(5) B(6) D B (8)D (9)(10) A(11) A(12) D二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)(13)-62(14) 16(15) 873(16) 2百三、解答題(17)解:(本小題滿分12分)(I )設數列an的公比為q,由2 一一 2-2 .2a3 9a2a6 得 出 9a4 所以 q由條件可知a>0,故q由 2al 3a2 1 得 2alc13a2q 1,所以 a1 -故數列an的通項式為1an= F" °3n(n) bnlog 3 a1log 3 a2 . log 3 an(1 2 . n) n(n 1)2故bn2n(n 1)

11、2(1 n六)1 1b1b2bn2(12nn 111所以數列的前2nn項和為 n 1分12分(18)解：(本小題滿分12分)(I)因為 DAB 60 , AB2AD ,由余弦定理得BD J3AD從而 BD2+AD2= AB2,故 BDAD又PD 底面ABCD,可得BDPD所以BD 平面PAD.故PA BD解法二：取 AB中點為E,連接DE,因為 DAB 60 , AB 2AD ,故AD=AE , VADE是等腰三角形，;AE=EB=DE ,AED EBD BDE 2 EBD 60°，即 ADB 90°，故 BD AD又PD 底面ABCD,可得BD PD所以BD 平面PAD.

12、故PA BD(D)如圖，以 D為坐標原點,AD的長為單位長，射線 DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz,則A 1,0,0,B 0,、.3,0 ,C1八 3,0,P 0,0,1uivAB一 uuv(1, ,3,0), PB(0, .3,uuv 1),BC1,0,0)設平面PAB的法向量為n= (x,y,z),則uiu AB uirPB0,0,3y 0因此可取n=(3,1,、3)7分設平面PBC的法向量為m,則uir m PB 0, uurm BC 0,可取 m= (0, -1,百)cos m,n42.72.7711分故二面角A-PB-C的余弦值為2.7712分(19)解(本小題滿分12

13、分)的估計值為0.3。(I)由試驗結果知，用 A配方生產的產品中優(yōu)質的平率為228=0.3,所以用A配方生產的產品的優(yōu)質品率1003分, 一 一、一. 一 一 . . 、32由試驗結果知，用 B配方生產的產品中優(yōu)質品的頻率為 空10估計彳1為0.421006分0.42,所以用B配方生產的產品的優(yōu)質品率的(n)用B配方生產的100件產品中，其質量指標值落入區(qū)間90,94 , 94,102 , 102,110 的頻率分別為 0.04,054,0.42,因止匕P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,-224P0.0405442即X的分布列為X的數學期望值EX=-2

14、X0.04+2軟54+40.42=2.68(20)解：(本小題滿分12分)(I )設 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).uuouun所以 MA = (-x,-1-y) , MB =(0,-3-y),uunAB =(x,-2).UUD UUDuin再由題意可知(MA + MB ) ?AB =o,即(-x,-4-2y) Rx,-2)=0.12分解得a 1, b1o6分2011年全國1卷數學理試題和答案第13頁共10頁1-x,所以I的斜率為212X°1 9所以曲線C的方程式為y=lx2-2.41 2(n )設P(xO,y °)為曲線C: y= - x -2上

15、一點，因為y41因此直線I的方程為y y0 (xx0)，即 x°x22y 2y0 x0 0 o則O點至U I的距離d212 yo x0 |/ .乂YoXq1 2-x0 2,4所以1 2 4-Xo 4d 4 一Xo 4高)2,2當Xo =0時取等號，所以O點到I距離的最小值為2.12分(21)解：(本小題滿分12分)-In x)(I) f '(x)x(X 1)2由于直線X12y 3 0的斜率為且過點(1,1),故f(1) 1,f'(1)1,In x 1 .一(n)由(i)知f (x) 空1,所以 x 1 x2Inx k、1(k 1)(x1)、f (x) (-)2(2ln

16、 x-)x 1 x 1 xx考慮函數 h(x) 2ln x (k-"xD(x 0),則xh'(x)(k 1)(x2 1) 2x2° x(I )設 k 0,由 h'(x) k(x一1)2 (x 1)知，當 x 1 時，h'(x) 0。而 h(1) 0,故 x1當 x (0,1)時，h(x) 0,可得 2h(x) 0;1 x一、一 ，、1當 x (1, +)時，h (x) <0,可得2 h (x) >01 x從而當 x>0,且 x 1 時，f (x) - ( 1nx + ) >0,即 f (x) > JnA +k 9 分x

17、1 xx 1 x(ii )設 0<k<1.由于當 x (1,)時，(k-1) (x2+1)+2x>0,故 h' (x) >0,而1 k,11. 一h (1) =0,故當 x (1, )時，h (x) >0,可得 2 h (x) <0,與題設矛盾。 10 分1 k1 x2'.一 1, (iii)設 k 1.此時 h (x) >0,而 h (1) =0,故當 x (1, + )時，h (x) >0,可得2 h (x) <0,與題設矛1 x盾。 11分綜合得，k的取值范圍為(-,0 12分(22)(本小題滿分10分)解:(I)連接

18、DE,根據題意在 ADE和 ACB中，ADX AB=mn=AE< AC,2 分AD AE _即 .又/ DAE= / CAB,從而 ADE ACBAC AB因止匕/ ADE= / ACB所以C,B,D,E四點共圓。 5分(D)m=4, n=6 時，方程 x2-14x+mn=0 的兩根為 x1=2,x2=12.故 AD=2 , AB=12.取CE的中點G,DB的中點F,分別過G, F作AC, AB的垂線，兩垂線相交于 H點，連接DH ,因為C, B, D,E四點共圓，所以 C, B, D, E四點所在圓的圓心為 H,半徑為DH.由于/ A=900,故 GH/AB, HF / AC.從而 HF=AG=5 , DF= 1 (12-2)=5.故C,B,D,E四點所在圓的半徑為572 10分(23)(本小題滿分10分)解:2011年全國1卷數學理試題和答案第17頁共10頁(I)設P(x,y),則由條件知Md?).由于2 2M點在Ci上，所以2cos a, 22 2sin a 2x 4cosa即3分y