2017數(shù)學建模A題

1、CT 系統(tǒng)參數(shù)標定及成像 摘要 本文根據(jù) CTCT 系統(tǒng)的成像和獲取物體信息的問題，使用主成分分析、解釋結(jié)構(gòu)模型、濾波反投影等方法，綜合分析了 CTCT 系統(tǒng)的參數(shù)標定與其成像原理，分別構(gòu)建了 ISMISM 解釋結(jié)構(gòu)模型、直接反射投影模型。然后使用 ExcelExcel、MATLAMATLA 等軟件整理數(shù)據(jù)和編寫程序，詳細的闡明了 CTCT 系統(tǒng)對未知結(jié)構(gòu)體進行掃描成像的理論，并且根據(jù)其掃描數(shù)據(jù)反推出未知物體的基本信息，充分證明了所設計方案的合理性和可操作性。 針對問題一的要求，本文首先以 CTCT 系統(tǒng)基本指標、旋轉(zhuǎn)方式以及附件一、二所給出的數(shù)據(jù)進行 CTCT 系統(tǒng)的位置及具體指標進行確認，

2、其中，運用 ExcelExcel 工具對附件一、二進行數(shù)據(jù)處理進行輔助計算和判斷。在此基礎上建立主成分分析模型對各項指標進行主成分分析，確定其中特殊位置（吸收率最大和最?。┑臄?shù)值模塊進而得出 CTCT 系統(tǒng)在正方形托盤中的位置，激光束單元之間的距離 0.2857mm0.2857mm 以及 CTCT系統(tǒng)旋轉(zhuǎn) 180180 次所轉(zhuǎn)過的角度為 180180。 針對問題二、三的要求，為了了解未知介質(zhì)的位置、幾何形狀、吸收 率。我們可以運用直接反射投影法，建立直接反射投影模型，即利用 MALABMALAB 工具對ExcelExcel 表格數(shù)據(jù)進行導入，編寫反投影對應的程序，得出其幾何圖形。并且結(jié)合問題一

3、中的 CTCT 系統(tǒng)基本信息，我們通過衰變公式結(jié)合附件三、五的吸收率數(shù)據(jù)推出其在托盤中的位置，通過未知物體的位置從而給出 1010 個規(guī)定位置的點的吸收率為： 附件三 0.18170.2153 0.2410 0.4254 0.3050 0.3522 0.3911 0.2873 0.2552 0.3757 附件五 0.29210.3396 0.3735 0.6688 0.4765 0.6624 0.7254 0.4117 0.3577 0.4699 針對問題四的要求，問題一中 CTCT 系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性存在缺陷，在探測器上512512 個等距單元之間存在一定的距離，此等距單元間距會存在一定的誤

4、差，并且我們在對附件二的數(shù)據(jù)進行圖表分析的時候發(fā)現(xiàn)其折線圖存在著突變，即得出其穩(wěn)定性和精度存在一定的缺陷，我們針對已有的問題，建立新的優(yōu)化模型加以改進即垂直 X X 軸為初始位置，以（50,5050,50）為旋轉(zhuǎn)中心進行斷層掃描。 本文給出了此 CTCT 系統(tǒng)在不破壞樣品的情況下，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進行斷層成像，由此獲得樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息的特點。并通過對幾個未知樣品的分析來驗證此 CTCT 系統(tǒng)的功能 和作用。且在后續(xù)的論述中我們對此 CTCT 系統(tǒng)的不足進行了改進和更新，解決了此CTCT 系統(tǒng)在標定精度和穩(wěn)定性的缺陷，使得此系統(tǒng)更加的完善。 關(guān)鍵字：斷層成

5、像；吸收率；直接反射投影；PCAExcelPCAExcel; ;MATLABMATLAB 11 問題的重述 一、背景知識 1 1 .背景的介紹 隨著醫(yī)療和工業(yè)的發(fā)展，CTCT 技術(shù)在我們的生活中日益推廣，在疾病更加復雜，設計更加深奧的情況下，人們的探索也越來越深刻，于是隨之而誕生的一項新技術(shù)-CTCT 成像誕生了，隨著許多年來人們對 CTCT 成像的不斷探索，我們所掌握的技術(shù)也越來越高級，對于許多未知的事物探索也越來越廣泛，于是這項技術(shù)被應用于各個鄰域，尤為顯得突出的是醫(yī)學領域和工業(yè)領域。在醫(yī)學領域中，對病人全身的身體狀況進行探索， 對各種人眼難以判斷和簡單儀器難以探測的部位可以采用 CTlf

6、CTlf型技術(shù)對此進行處理；在工業(yè)中，我們通過 CTCT 技術(shù)對一些位置物體的內(nèi)部情況或者在不破壞其結(jié)構(gòu)的情況下，對其進行斷層成像，便于人們的技術(shù)研究。 2 2 .問題的產(chǎn)生 在工業(yè)中，我們對一個未知物體進行 CTCT 掃描處理，會得到許多的數(shù)據(jù)信息，在這個數(shù)據(jù)信息分析的同時，我們要確定此未知物體的幾何形狀介質(zhì)分布情況以及許多未知的信息。在許多 CTCT 系統(tǒng)中，大多數(shù) CTCT 系統(tǒng)均采用的是光線穿透法，通過穿透率強的幾種光線來對物體內(nèi)部的結(jié)構(gòu)進行判定，于是我們需要根據(jù)對許多組數(shù)據(jù)的處理和計算才能得出物體的基本信息。 3 3 . .已有的對策 我們通過查閱資料和閱讀文獻可以知道，在 CTCT

7、 系統(tǒng)斷層成像的過程中，我們可以認為的控制其掃描位置以及其掃描角度，并且對掃描過程中的能量吸收率有一個具體的數(shù)值計算。我們可以根據(jù) CTCT 探測器的基本已知指標和所測得的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析即可得出結(jié)論，接下來進行具體分析。 二、題目重述 CTCT 可以在不破壞樣品的情況下，利用樣品對射線能量的吸收特性對生物組織和工程材料的樣品進行斷層成像，由此獲取樣品內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。一種典型的二維CTCT 系統(tǒng)如圖 1 1 所示，平行射入的 X X 射線垂直于探測器平面，每個探測器單元看成一個接收點，且等距排列。X X 射線的發(fā)射器和探測器相對位置固定不變，整個發(fā)射- -接收系統(tǒng)繞某固定的旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)

8、180180 次。 對每一個 X X 射線方向， 在具有 512512個等距單元的探測器上測量經(jīng)位置 固定不動的二維待檢測介質(zhì)吸收衰減后的射線能量，并經(jīng)過增益等處理后得到 180180組接收信息。 三、待解決的問題 1 1 . .在正方形托盤上放置兩個均勻固體介質(zhì)組成的標定模板，模板的幾何信息如圖 2 2 所示，相應的數(shù)據(jù)見附件 1,1,其中每一點的數(shù)值反映了該點的吸收強度，這里稱為“吸收率”。對應于該模板的接收信息見附件 2 2。請根據(jù)這一模板及其接收信息，確定 CTCT 系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置、探測器單元之間的距離以及該 CTCT 系統(tǒng)使用的 X X 射線的 180180 個方向

9、。 2 2 .附件 3 3 是利用上述 CTCT 系統(tǒng)得到的某位置介質(zhì)的接收信息。利用（1 1）中得到的標定參數(shù)，確定該未知介質(zhì)在正方形托盤中的位置、幾何形狀和吸收率等信息。另外，請具體給出圖 3 3 所給的 1010 個位置處的吸收率，相應的數(shù)據(jù)文件見附錄 4.4. 3 3 .附件 5 5 是利用上述 CTCT 系統(tǒng)得到的另一個未知介質(zhì)的接收信息。利用（1 1）中得到的標定參數(shù)，給出該未知介質(zhì)的相關(guān)信息。另外，請具體給出圖 3 3 所給的 1010個位置處的吸收率。 4 4 . .分析（1 1）中參數(shù)標定的精度和穩(wěn)定性。在此基礎上自行設計新的模板、建立對應的標定模型，以改進標定精度和穩(wěn)定性，

10、并說明理由。 圖1.CT系統(tǒng)示意圖 問題的總分析 二、對問題的具體分析 1 1 .對問題一的分析 本題要求我們確定 CTCT 系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心在正方形托盤中的位置、探測器單元之間的距離以及該 CTCT 系統(tǒng)使用的 X X 射線的 180180 個方向。我們從探測器單元距離入手， 通過 ExcelExcel 數(shù)據(jù)分析得到圖二右邊物體的小球直徑和光線射數(shù)的比值即為單元距離。 從而通過單元距離判定吸收率最大處的射入光線的編號從而找到其入射的 180180 個角度，在進而計算出其在托盤中的位置。 2 2 . .對問題二、三的分析 兩題要求我們根據(jù)問題一所得的CTCT系統(tǒng)的具體參數(shù)從而對放在正方形托盤上的未

11、知物體的位置、幾何形狀、吸收率進行求解，并且還要給出規(guī)定的 1010 處位置的吸收率。 我們需根據(jù)問題一求出其能量變化方程， 通過直接反射投影法用 2問題的分析 CT系統(tǒng)參考系數(shù)標定及成像 對探測器單元 距離進行談探 得出能量吸收 方程 從精度和穩(wěn)定性 確定改進方案 通過單元距離算出其他數(shù)值 MATLAB得出圖形形狀，通過方程得出位置、吸收率 進行多層階分析 MATLAMATLA入 ExcelExcel 的數(shù)據(jù)從而得出物體的幾何圖形， 通過幾何圖形和附錄中的數(shù)據(jù)位置和值的大小通過求得的方程進行推導出物體的位置和其吸收率， 以及給出的1010 個點的吸收率。 3 3 . .針對問題四的分析 我們

12、考慮到在此給出的 CTCT 系統(tǒng)條件下，其對未知物體探索的過程中,會導致物體精度和穩(wěn)定性出現(xiàn)偏差和波動， 于是我們通過多層階分析得出物體具體的參數(shù)指標，然后我們在此分析基礎上對其進行修改建立一個新的模型。 3模型的假設 1 .假設我們收集整理的數(shù)據(jù)都是真實有效的。 2 .假設除我們選取的因數(shù)外，其余影響因數(shù)的影響效果可以忽略不計。 3 .假設物體不摻雜其他介質(zhì)。 4 .假設有條件支持我們構(gòu)建新的 CTCT 模型。 44 名詞解釋和符號說明 直接反射投影： 斷層平面中的某一點的密度值可以看做是這一平面內(nèi)所有經(jīng)過該點的射線的投影值之和。 PCAPCA 主成分分析。通過正交變換將一組可能存在相關(guān)性的

13、變量轉(zhuǎn)換為一組線性不相關(guān)的變量，轉(zhuǎn)換后的這組變量叫主成分。 符號字母 解釋說明 (,) 點對應的位置坐標 探測器單兀距離 探 探測器的總長 兩射線之間的距離 初始垠:笠的原子核數(shù) N 剩余衰變原子核的總數(shù) K 垠;笠常數(shù) t 時間 射出射線強度 入射射線強度 實用文檔 表二 55 模型建立與求解 一、對問題一的分析與求解 1 1 . .對問題一的分析 考慮到附件所給信息數(shù)據(jù)過多，于是我們通過對附件一和二數(shù)據(jù)進行篩選，在 ExcelExcel 中將空吸收率即“吸收率”為 0 0 的數(shù)據(jù)全部用空格來替換掉， 再對整體視圖進行縮小，即可大致看出其幾何圖形和掃描成像。根據(jù)題目要求，我們需要確定 CT

14、系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心、探測器單元之間的距離以及 X X 射線的 180180 個方向。對比三個提問，我們可根據(jù)縮小視圖大致推斷出其為中心旋轉(zhuǎn)半周的工作期，并且在工作期中，每一次都有單元射線入射進兩個物體，于是我們可運用主成分分析法對吸收強度最大和最小的情況進行分析即可得出兩探測器之間的單元距離， 隨后利用逆推法得出其初始值，并計算出旋轉(zhuǎn)中心。 2 2 . .對問題的求解 1)1) 模型的建立 我們根據(jù)題目所給要求，確立所需求得的變量，系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)中心 (,)，探測器單元之間的距離，射線的 180180 個方向(1,2,3180)(1,2,3180)。 第一步：我們首先對探測器單元之間的距離進行求解。根據(jù)縮

15、小視圖進行分析可知，在旋轉(zhuǎn)過程中均有射線射過右側(cè)圖形，并且每次射入的光束數(shù)量大致相等，結(jié)合附件一視圖，可以推論出其為圓形，且每一個角度光束均穿過其直徑。可得如下公式： 小球直徑 入射光線的數(shù)量 第二步：我們確定了值以后可以通過圖 2 2 所給距離長度推出在最大值時探測器的對應旋轉(zhuǎn)次數(shù)，從而通過順時針旋轉(zhuǎn)此次數(shù)即為初始位置，即可得出 180180 組方向。 第三步：通過前兩步確定的值算出探測器長度和相對正方形托盤的位置以吸收率最大的光束對應的光束編號來推測中間光束的位置，然后順時針旋轉(zhuǎn) 9090,兩條中心光束的交點即為旋轉(zhuǎn)中心。 2)2) 模型的求解 先對附件一和附件二進行“吸收率”為 0 0

16、的值得替換處理， 并進行視圖放縮，可以得到如下兩組視圖： 通過圖分析可知，其左側(cè)圖形大致為橢圓形圖形，于是可以實行模型建立中第一步求間距，在對圖分析值，其代表右側(cè)圖形的視圖顯示，經(jīng)過其內(nèi)部的射線條數(shù)大致為固定值，我們進行數(shù)據(jù)分析得射線個數(shù)為眾數(shù) 而由圖 2 2 知，小球直徑為 8 8。所以可得： 由此可以繼續(xù)討論第二步證明 我們通過 ExcelExcel 進行分析，找出吸收率最大的值，確定其位置為 (,),可知在最大吸收率處，旋轉(zhuǎn) ESES 次后第 222222 個單元射線射入橢圓長軸，即此時探測器接收板與正方形托盤下側(cè)平行，即為 S S 處。我們將 ES轉(zhuǎn)換為數(shù)字得 即系統(tǒng)逆時針旋轉(zhuǎn) 149

17、149 次到達了處，我們通過數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)置大致得到下圖 圖 5 5 圖 6 6 圖 7 7 可以看出此為對稱圖形，即可以得到此 CTCT 系統(tǒng)大致旋轉(zhuǎn)了 180180,即每一次大約旋轉(zhuǎn) 11,即初始位置如圖，第 222222 條射線在左上角與橢圓形短軸左側(cè)成 6060 角處，即可確定 1 18080 次旋轉(zhuǎn)角度為從初始位置開始，逆時針以每一度開始旋轉(zhuǎn) 180180次。 500 -50 -1OO -300-250-200-150-100-50050100150 我們再來探討第三步，已知探測器由 512512 個等距單元，可以求得探測器的長度： 探 探 所以可知探測器必定超出正方形木板邊緣，我們找到探測

18、器板正中間射線 編號為 512/2+1=257512/2+1=257 d=(257d=(257- -222)*222)*- -=10mm=10mm 經(jīng)過順時針旋轉(zhuǎn) 9090 可以得到探測板與正方形木板左側(cè)平行位置，此時 257257 編號距托盤上側(cè)距離為 40mm40mm 我們以橢圓中心為原點建立直角坐標系，可以得到中心旋轉(zhuǎn)的位置為(- -10,1010,10) )處。 二、對問題二，三的求解 1,1,對問題二、三的分析 我們對問題二、三進行分析，兩個提問大體上都要我們通過第一問求出來的 CTCT系統(tǒng)的已知位置和基本標量對兩個未知物體進行掃描判斷出其幾何形狀，托盤中所處的位置以及其吸收率。并且

19、也額外給出 1010 個已知坐標的點 求這些點的吸收率。通過對問題的對比，我們大致可以看出在圖形的生成和內(nèi)部結(jié)構(gòu)上存在較大的差異。接下來進行問題的求解。 2,2,對問題二、三的求解 1)1) 模型的建立 在問題一的基礎上，我們已知 CTCT 系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)方式和基本指標。通過其掃描此未知介質(zhì)可以得到其斷層信息，在附件三、五中顯示的是此兩個未知物體的接收信息數(shù)據(jù)，我們通過 MAMATLATLA 瞅件導入此兩組數(shù)據(jù)以 repmatrepmat 和 floorfloor 編寫程序生成二維幾何圖顯示此兩者未知物體的幾何形狀然后我們通過矩陣降維將此512*180512*180 的矩陣減低成 256*2562

20、56*256 的正方形矩陣。通過吸收數(shù)值與空值來確定其在托盤中的位置。 2)2) 模型的求解 首先對附件三進行分析，我們將其導入 MATLABKMATLABK 通過直接反投影函數(shù)得出其初始基本形狀如下： 圖9 我們可以看出附件三給出的未知介質(zhì)的基本圖形大體上看為一個橢圓 且在一邊有空缺。我們通過對附件三進行降維處理，將此 512*180512*180 的矩陣 降階成 256*256256*256 的正方形矩陣，然后將其成比例的映射到正方形托盤上， 按照做盤邊緣建立二維坐標系，得到下圖： 2040E0100 圖 1010 根據(jù)如圖所示的坐標刻度和其圖形在坐標軸中占的位置可以描述出具 在正方形托盤

21、中的位置。 同理，對第三問進行處理。我們將附件五導入 MATLAB,MATLAB,通過直接反 投影函數(shù)得出其初始基本形狀如下： 圖 1111 我們大致可以看出，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)網(wǎng)面狀，初略表示為海綿體的內(nèi)部 結(jié)構(gòu)。同樣的，我們將之進行維度降維處理。然后將其成比例的映射到正方形托盤上，按照做盤邊緣建立二維坐標系，得到下圖： 根據(jù)如圖所示的坐標刻度和其圖形在坐標軸中占的位置可以描述出具在正方形托盤中的位置。同樣的，我們在對附件三和附件五進行矩陣維度處理的同時，我們將其變成 256*256256*256 的矩陣，此換成的表格數(shù)據(jù)對應的值即為未知物體的吸收率。（見文件 problem2.xlsprobl

22、em2.xls 和 problems3.xlsproblems3.xls）另外的，題目給出了 1010 個已知點的坐標位置，我們根據(jù)附錄四和圖三可以建立如下坐標圖： 我們根據(jù)衰變公式可以知道，放射性物質(zhì)的原子核改變速度 dN/dt 與當時的剩余的衰變原子核的總數(shù) N成正比，即 對原式進行積分 代入得 為剩余的衰變原子核數(shù)，為初始衰變原子核數(shù)，為衰變常數(shù)，t 為時間。若我們將物體均勻分為多段，各段物體的線性衰減系數(shù)分別 為(，)，其每段線段的長度分別為，則 () N 上式可化為巨=()J1 更一般地，如果物體在平面內(nèi)都不均勻，衰減系數(shù)分布為 f(x,y)。 在某一方向路徑 L的射線變化強度為：

23、通過以上推導出的公式，我們根據(jù)每個點的對應坐標可以得到其吸收率如下圖: 第二問10個點的吸收率 對應點的編號 吸收率 1 1 0.18170.1817 2 2 0.21530.2153 所以 圖 1313 3 3 0.24100.2410 4 4 0.42540.4254 5 5 0.30500.3050 6 6 0 0.3522.3522 7 7 0.39110.3911 8 8 0.28730.2873 9 9 0.25520.2552 1010 0.37570.3757 表二 第三問 1010 個點的吸收率 對應點的編號 吸收率 1 1 0.29210.2921 2 2 0.33960.

24、3396 3 3 0.37350.3735 4 4 0.66880.6688 5 5 0.47650.4765 6 6 0.66240.6624 7 7 0.72540.7254 8 8 0.41170.4117 9 9 0.35770.3577 1010 0.46990.4699 表四 三、對問題四的求解 1 1 . .對問題四的分析 在對上三問探討的過程中，我們發(fā)現(xiàn)在進行成像還原的同時，會出現(xiàn)部分圖像丟失的情況，于是我們在對其精度的要求上加以改進，以保證其在降維過程中不會出現(xiàn)物體投像超出儲存單元的情況。并且我們在對此 CTCT 系 統(tǒng)的穩(wěn)定性加以分析的同時，對附件二進行處理，對其所有平均值

25、進行分析得到下列的折線圖： 242200 圖 1414 由圖可知，在一定的變換角度時，會出現(xiàn)較大的波動變化，這說明此種 掃描穩(wěn)定性存在一定的缺陷。我們需要尋找一種新型的掃描的 CTCT 系統(tǒng)來確 保在人工可控的范圍內(nèi)進行圖像成像，來優(yōu)化此類算法。 2 2 . .對問題四的求解 1 1） 模型的建立 我們根據(jù)圖 1414 看出，此 CTCT 系統(tǒng)掃描出來的圖像的值十分不穩(wěn)定，波動性較大，于是我們在此基礎上不變的情況下我們改變探測板的位置，即探測板中心對應的照應于正方形托盤的中心， 然后我們使此系統(tǒng)圍繞正方形托盤中心進行旋轉(zhuǎn)，可以提高此模型的精度和穩(wěn)定性。 2 2） 模型的求解 我們對附件二的數(shù)據(jù)

26、進行分析，我們對其數(shù)據(jù)進行壓縮，并假定第 256256 個射線掃描點對應直射入正方形托盤的中心。即 R256R256 對應射于（50,5050,50） 的位置，然后我們以垂直 X X 軸為初始位置，以（50,5050,50）為旋轉(zhuǎn)中心進行斷層掃描得到一組新的大數(shù)據(jù)，然后我們繼續(xù)求此 180180 組數(shù)據(jù)的平均值然后 形成折線圖得到如下的圖形。 圖 1515 可以看出，圖 1515 相比于圖 14,14,期穩(wěn)定性得到了明顯的改進,并且精度更加準確，能夠更加線性的表示出數(shù)據(jù)的基本情況?？梢缘贸?，在此改進上可以使得此 CTCT 系統(tǒng)的基本性能加以提高，便于對應用上的更深入研究。 66 模型的評價及改

27、進 一、模型的評價 (1)(1)誤差分析 1 1 .收集的數(shù)據(jù)為真實數(shù)據(jù)，受到外界各方面的影響，存在一定誤差； 2 2 .為了使結(jié)果更理想，對數(shù)據(jù)進行主觀分析，進行了一些必要地處理，帶來一些誤差。 (2)(2)模型優(yōu)點 1 1 .在對問題的研究中，我們通過各種模型假設和模型方法對問題進行了討論和驗證，結(jié)果不乏嚴謹性。 2 2 .我們對基本模型進行了分析的同時給出了自己的觀點，同時在此模型不足上加以改進，建立了一個更加完整的模型，使得問題的探究更加深入，能更好的與現(xiàn)實生活結(jié)合起來。 二、模型的改進 在現(xiàn)實生活中，未知物體的形狀是多變的，并且在對物體進行掃描的同時，我們對物體構(gòu)成的介質(zhì)情況是不了解

28、的， 現(xiàn)實生活一個物體的物質(zhì)構(gòu)成是多元的，也就是說我們通過此種方法只能顯示出其大致的形狀，不能完全的反映出內(nèi)部的結(jié)構(gòu)構(gòu)造。最重要的一點是，在生活中，物體的維度是三維的，我們在對物體進行研究的時候要考慮到物體的立體特性，即在對其進行探索的時候要有一個全方位穿透的掃描。所以我們在假設條件允許我們構(gòu)建新的模型的情況下，我們對 CTCT系統(tǒng)的組成成分進行改進，具體參考問題四的解決。就對模型而言，我們通過直接反投影法對 MATLAMATLA 圖形 還原的時候，不能精確的反映具體部位的吸收情況，并且在對其生成圖像的結(jié)果中，圖形的分辨率和尺度位置都存在一定的不足。就此問題，我們需要進一步的研究，通過查閱大量資料，進行具體操作的詳細學習，從而能夠更加完善的對數(shù)據(jù)進行處理，進而做出更加滿意的問題答復。 3 3 7 7 參考文獻 11閆李磊；CTCT 圖像重建算法；科學出版社 22姜啟源，謝金星，葉?。粩?shù)學模型；高等教育出版社；2003.82003.8 33恒盛杰資訊；ExcelExcel 數(shù)據(jù)處理與處理經(jīng)典；中國青年出版社；20072007 44楊桂元；數(shù)學建模M;M;上海財經(jīng)大學出版社；20152015 55余勝威；MTALAMTALA 敢學建模經(jīng)典案例實戰(zhàn)；清華大學出版社；20142014 66吳建國；數(shù)學建模案例精編；中國水利水電出版社；20052005 77周品，趙新