時間序列整理資料

1、考試題型：1.判斷題（10分）；2.計算題（5題，75分）；3.分析題（1題15分） 鄭重聲明：此資料僅供參考（還有標(biāo)注為考點，只是我個人的觀點，僅供參考） 第2章時間序列的預(yù)處理1. 計算序列的樣本自相關(guān)系數(shù) 。（考點）n _k_（ Xt -'X” xt k x）（k） = （ 1）基于全體觀察樣本計算出來的延遲K自協(xié)方差函數(shù)的估計值。n -kn_瓦（xt -x）2（0） -（ 2）總體方差的估計值。n _1合 ?（k）POwk < n 延遲K自相關(guān)系數(shù)的估計值。:'k :細(xì)）當(dāng)延遲階數(shù)K遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于樣本容量 n時，n _k_送（xt x）（xt*x）A .G =亠一n0

2、: k : n二：（xt _ x）2t呂2. 平穩(wěn)性的檢驗。對序列的平穩(wěn)性有兩種檢驗方法，一種是根據(jù)時序圖和自相關(guān)圖顯示的特征做出判斷 的圖檢驗方法；一種是構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進(jìn)行假設(shè)檢驗的方法。圖檢驗方法：（1）時序圖檢驗：如果觀察序列的時序圖顯示出該序列有明顯的趨勢性或周期性，那它通常不是平穩(wěn)序列。（2）自相關(guān)圖檢驗：平穩(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性。該性質(zhì)用自相關(guān)系數(shù)來描述就是隨著延遲期數(shù) K的增加，平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù)：.-k會很快地衰減向零。反之，非平穩(wěn)序列的自相關(guān)系數(shù) ;；衰減向零的速度通常比較慢，這就是我們利用自相關(guān)圖進(jìn)行平穩(wěn) 性判斷的標(biāo)準(zhǔn)。3. 純隨機序列首先并不是所有的平穩(wěn)序列都值得建模

3、，只有那些序列值之間具有密切的相關(guān)關(guān)系， 歷史數(shù)據(jù)對未來的發(fā)展有一定影響的序列，才值得我們花時間去挖掘歷史數(shù)據(jù)中的有效信息，用來預(yù)測序列未來的發(fā)展。純隨機序列：該序列值彼此之間沒有任何相關(guān)性，也就是一個沒有記憶的序列，過去的 行為對將來的發(fā)展沒有絲毫影響。我們稱之為純隨機序列。也稱為白躁聲序列。簡記為：xtWN（h2）。4. 純隨機序列檢驗（1）假設(shè)條件 由于序列值之間的變異是絕對的，而相關(guān)性是偶然的，所以假設(shè)條件如下： 原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間相互獨立。備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間有相關(guān)性。該假設(shè)條件用數(shù)學(xué)語言描述即為:Ho： Pi 二 P2 二二 Pm =

4、 0, f H 1 :至少存在某個P k = 0, -皿1，K 乞 m（2）檢驗統(tǒng)計量m 2Q=n；k （m）在大樣本場合（n很大的場合）檢驗效果好，在小樣本場合就不太精確。k=12mLB = n（n 2p （ k ） （m）（適合小樣本場合）k4 n -kLB統(tǒng)計量就是Q統(tǒng)計量的修正，其中 n為序列觀測期數(shù)；m為指定延遲期數(shù)。在各種檢驗場合普遍采用的Q統(tǒng)計量通常指的都是 LB統(tǒng)計量。當(dāng)統(tǒng)計量大于 2 （ m）分位點，或該統(tǒng)計量的p值小于a時，則可以拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該1-a序列為非白噪聲序列；否則，接受原假設(shè)，認(rèn)為該序列為純隨機序列。2.3習(xí)題1. 考慮序列123,4,5，,20（1）判斷該序

5、列是否平穩(wěn)（2） 計算該序列的樣本自相關(guān)系數(shù)幾（k=1,2.，6）（考點）（3）繪制該樣本自相關(guān)圖，并解釋該圖形。解：（1）因為序列具有明顯的趨勢，所以序列非平穩(wěn)。（2）樣本自相關(guān)系數(shù)：n ±(k)(0)Xt = 1 (12 3， 吃0) =10.520 (Xt - X )( Xt -k - x)nx (Xt -X)2t 土1 20 F(x"351 19 _ _(1)= 1929.75. 1 18 _ _(2)(xt - x)(xt 2 -x) =25.916718 t#(4) =17.25(5)=12.41671=0.85( 0.85)2 =0.7405( 0.702).

6、 1 17 _ _(3)(Xt - X)(Xt 3 - X)二 21.7517 t#(6)=7.253=0.6214( 0.556)4 =0.4929( 0.415)?5 =0.3548( 0.280)?6 =0.2071( 0.153)注：括號內(nèi)的結(jié)果為近似公式所計算。（3）樣本自相關(guān)圖（已省略圖）：該圖的自相關(guān)系數(shù)衰減為 0的速度緩慢，可認(rèn)為非平穩(wěn)。4.若序列長度為100,前12個樣本自相關(guān)系數(shù)如下：（考點）嘉=0.05；?6=0.01：6=0.01p7 =°12A:-_0, 068A=0.089該序列能否視為純隨機序列？=0.02；-2 =0.053=0.10嘉=-0.02m2

7、p =_0.05£ =0 0 2 f =-0. 0 510 11 12解:LB2八k三ln:?LB(6)=1.6747, LB(12)=4.989520.05 (6)=12.59yt二人則 yt為 Xt的中心化序列。230.05 （12）=21.0（此時的分位值是從右邊看的）顯然，LB統(tǒng)計量小于對應(yīng)的臨界值，接受原假設(shè)，認(rèn)為該序列為純隨機序列。第3章平穩(wěn)時間序列分析1. 一個序列經(jīng)過預(yù)處理被識別為平穩(wěn)非白噪聲序列，那就說明該序列是一個蘊含著相關(guān) 信息的平穩(wěn)序列。 ARMA模型是目前最常用的平穩(wěn)序列擬合模型。2 了解P階差分、K步差分、延遲算子、還有用延遲算子表示差分運算。（42頁）用

8、延遲算子表示差分運算：p（1）p 階差分：i pXt = （1 - B） p Xt 二 '、（- 1），C Pxt_ii 9k（2）K步差分：' kXt 二 Xt - X k =（1 一 B ） Xt3. ARMA模型的全稱是自回歸移動平均模型，它是目前最常用的擬合平穩(wěn)序列的模型。 它又可以細(xì)分為 AR（自回歸）模型、 MA （移動平均）模型、 ARMA模型。4 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為 P階自回歸模型，簡記為 AR（ P）：（45頁）Xt =01人2人上 pXt_p ；t （3.5）當(dāng)0=0時，自回歸模型又稱為中心化AR（ p）模型。AR（ p）系列。非中心化AR（ p）序列都

9、可以通過下面的變換轉(zhuǎn)化為中心化引進(jìn)延遲算子，中心化AR（ p ）模型又可以簡記為：G （B）xt=-；：t式中，:：J（B） =1 - ；B2 -'pBp，稱為P階自回歸系數(shù)多項式。還有模型的均值與方差（49頁）但并非所有的AR模5. AR模型平穩(wěn)性判別：AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一,型都是平穩(wěn)的。而判別的方法有兩種：(1)擬合該序列的序列值，并繪制時序圖。這種圖示法只是一種粗糙的直觀判別方法，(2)特征根判別和平穩(wěn)域判別。特征根判別：AR( P)模型平穩(wěn)的充要條件是它的P個特征根都在單位圓內(nèi)。根據(jù)特征根和自回歸系數(shù)多項式的根成倒數(shù)的性質(zhì)，AR模型平穩(wěn)的等價判別條件是該AR模

10、型的自回歸系數(shù)多項式的根，即G(u)二0的根，都在單位圓外。平穩(wěn)域判別：對于一個 AR( P)模型而言，如果沒有平穩(wěn)性的要求，實際上也就意味著對參數(shù)向量(廠2 . - p)'沒有任何限制，它們可以取遍 P維歐式空間的任意一點，但是如果加上了平穩(wěn)性限制，參數(shù)向量(. -p)'就只能取P維歐式空間的一個子集， 使得特征根都在單位圓p|特征根都在單位圓內(nèi)被稱為AR( P)模型的平穩(wěn)域。II： 1AR（ 2）模型的平穩(wěn)域。(考點)(1) AR( 1)模型的平穩(wěn)域。(考點)AR (1 )模型為：Xt = Xt d t其特征方程為：，-=0特征根為：，=根據(jù)AR模型的平穩(wěn)的充要條件| &#

11、39;卜：1，容易推出AR (1)模型平穩(wěn)的充要條件是:所以，AR ( 1)模型的平穩(wěn)域就是 | -1 ： < 1 oAR（ 2）模型為：x 1Xt J2Xtt 其特征方程為:特征根為:根據(jù)AR模型的平穩(wěn)的充要條件，AR (2 )模型平穩(wěn)的充要條件是| ' 1卜：1且| ' 2卜：1 o根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)和AR (2)模型的平穩(wěn)條件，有：12二1 ,'1 '2二-2 ,且| '訂叮，| '2卜：1,可以推導(dǎo)出：(1) | 2F|t2 卜：1(2) 21= 一 1 ' 2 川J 川九 2= 1- (1-' 1 )(1-2

12、)： 1(3) 2一1=一1'2"1九2=1'(11)(1，2)：1計算題可看(49頁，例3.1)(考點)6. 求平穩(wěn)模型 AR( p)的均值(49頁)，與AR( 1)模型的方差(51頁，例3.2)(考點)7 平穩(wěn)AR( P)模型的自相關(guān)系數(shù)有兩個顯著的性質(zhì)：一是拖尾性；二是呈負(fù)指數(shù)衰減。(自相關(guān)性以指數(shù)衰減的性質(zhì)就是第2章利用 自相關(guān)圖判斷平穩(wěn)序列所說的“短期相關(guān)”性。它是平穩(wěn)序列的一個重要特征。這個特征表明對平穩(wěn)序列而言通常只有近期的序 列值對現(xiàn)時值的影響比較明顯，間隔越遠(yuǎn)的過去值對現(xiàn)時值的影響越小。)8. 滯后K偏自相關(guān)系數(shù)實際上就等于K階自回歸模型(55頁,(

13、3.21)式)第K個回歸系數(shù)9.kk的值。根據(jù)這個性質(zhì)容易計算偏自相關(guān)系數(shù)的值。偏自相關(guān)系數(shù)的截尾性：平穩(wěn) AR( P)模型的偏自相關(guān)系數(shù)具有p步截尾性，所謂 p步截尾性是指，- kk =0(-K P)。10.AR ( p)模型自相關(guān)系數(shù)拖尾性和偏自相關(guān)系數(shù)的P步截尾性是 AR( P)模型重要的識別依據(jù)。11.平穩(wěn)AR( 1)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:ik , k 一 0平穩(wěn)AR( 2)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:1,k=0電- k二 11-2；1k-2'k 二k推 導(dǎo) 過 程：E(Xt,xtA iE(xtJ1xtAr 2E(xt,xtA) E( ；tlxtA)= l'k_

14、'心)(考點)12 平穩(wěn)AR (1)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為:平穩(wěn)AR (2)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為:'啊 1 _ ©2，kk =2 ，0,計算題看(57頁，例3.5)(考點)與(以上兩個公式的證明在56頁)13 具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為q階移動平均模型，簡記為 MA (q)： (59頁)Xt 一；t 一 K ；t一屯；t/ 一 Jq ；u ( 3.33)當(dāng)二-0時，移動平均模型又稱為中心化 MA (q)模型。非中心化MA (q)序列都可以通過下面的變換轉(zhuǎn)化為中心化MA (q)系列。yt = Xt -就可以轉(zhuǎn)化為中心化 MA （q）模型。使用延遲算子，中心化 MA （q）模型

15、又可以簡記為：xt - v（B）；t式中，二（B） =1 -“B -B2 - -Bq，稱為q階移動平均系數(shù)多項式。14. 懂求MA（q）模型的均值和方差（59頁）（考點）Ex =E(，t T ii-2 i2 "q 乜)“ 宀2 * 二220,如果該模型為中心化 MA（ q）模型，該模型均值為零。2 2Var(K)二Var(亠 4 - 訪；t- 2 '' -q 心 一 J 匸 '-q15.MA(q)模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾，自相關(guān)系數(shù)q階截尾。16.MA(1)模型自相關(guān)系數(shù)為:?k1,71 20,1,日t +6217.MA(2)模型自相關(guān)系數(shù)為:?k1 * R2

16、* 6218.MA(q)模型的可逆性條件（63頁）19.MA （1）模型可逆的條件是： 已卜：1MA（2）模型可逆的條件是:戸2卜：1門2 - ： 120.計算看（64頁，例3.6）（考點）21.MA （ q）模型的逆函數(shù)和逆轉(zhuǎn)形式（64頁）具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱為自回歸移動平均模型，簡記為ARMA( P, q)： ( 66 頁)回憶AR （1）模型平穩(wěn)域:1卜：1 AR（ 2） | ；卜:1，2 - : 1 （考點）Xt = %+%X4 + '"pXrt曰1%_( 3.38)右0=0時，該模型又稱為中心化 ARMA （ p，q）模型。中心化 ARMA （ p，q）簡寫為:引進(jìn)

17、延遲算子，中心化 ARMA （ p, q）模型又可以簡記為：G（B）Xt - v（B）；t也可以表示為：甞式中，（B）4宀'I - pBP，稱為P階自回歸系數(shù)多項式。r（B） =1 -yB -tB2 - -VqBq，稱為q階移動平均系數(shù)多項式。顯然，當(dāng)q=0時，ARMA（ p, q）模型就退化成了 AR（ p）模型；當(dāng)p=0時，ARMA（ p，q）模型就退化成了 MA（ q）模型；所以，AR（ p）模型和MA（ q）模型實際上是 ARMA（ p，q）模型的特例，它們都統(tǒng)稱 為ARMA模型。其次ARMA（ p，q）模型的平穩(wěn)條件與可逆條件也就是AR（ p）模型的平穩(wěn)條件和 MA（q）模型

18、的可逆條件。23 假如某個觀察值序列通過序列預(yù)處理，可以判定為平穩(wěn)非白噪聲序列，我們就可以利用模型對該序列建模。建模的基本步驟如圖3-8所示。（69頁）24. 參數(shù)估計（76頁），還有77頁例3.10，例3.11.25. ARMA模型定階的基本原則。樣本自相關(guān)系數(shù)樣本偏相關(guān)系數(shù)模型定階拖尾p階截尾AR(p)模型q階截尾拖尾MA(q)模型拖尾拖尾ARMA(p，q)模型26.序列預(yù)測：（考點）（1） AR（p）序列預(yù)測（93頁，例3.14） ；（ 2） MA（ q）序列預(yù)測（95頁，例3.15）（3） ARMA（ p，q）預(yù)測（97 頁，例 3.16） ；（ 4）修正預(yù)測（99 頁，例 3.14）

19、。習(xí)題3.5 （考點）21.已知 AR（ 1 ）模型為：X t 一 0.7 x t _1；t, ；t WN （0,二）。求E （ xt） ，Var （xt） ， 2 和 22。解：（1）因為1=0.7 <1，所以AR（ 1）是平穩(wěn)的。因此 E（xD 二丄，一T，所以 E（xJ 二 E（xt）。又因為 E（ =0，所以 E（x=0.7* E（XtJ E（ ；J （1 0.7）E（Xt） =0 所以 E（Xt）=0（2）原模型可變?yōu)椋? -0.7B） xt二；t呂00°°Xt'(0.7B)j；t=，0.7j；t_jGree函數(shù)為 Gj 二 T,j=0,1,21 0

20、.7 Bj _0j _0所以平穩(wěn)AR( 1)模型的方差為：Var(xt)八GjParCt)八l2j；2 j=0j=02%仁I2-2所以：如小丁.72-2=濟 十62看課本(51頁，例3.2 )求平穩(wěn)AR (1)模型的方差。(考點)(3)平穩(wěn)AR (1)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:所以 e=1 =0.7 =0.049(4)平穩(wěn)AR( 1)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為:kk所以t WN (0,2.已知某 AR (2)模型為： Xt = 1 Xt j 2 Xt _2 "且1 = 0.5， j = 0.3，求 1，2 的值。解：對于AR(2)模型：(推導(dǎo)過程：(人必丄)=店(人，焉丄)2E(Xt2X

21、tJJ E( ；t,xtJJ邸 1 =7/15聽=1/15> kk2 2 U D=0.5 (因為匕叩)解得:卩2 =曾匕+鴨P° “匕+2 =0.323.已知某 AR(2)模型為 U -O.SBX1 -0.3B)Xt 二；t, ；t WN(0，匚)，求 E ( xt)，Var (xt)，5，瓜，其中 k=1,2, 3.解：原模型可變?yōu)椋簒t =0.8xt-0.15xt, ；t1 =0.8, 2 工0.15，| 2 戶0.15 <1，21 =0.65 ： 1，2 一 1 =0.95 ：1所以該模型平穩(wěn)。因此 E(xt)二'-r T，所以E(Xt)二E(x J = E

22、(Xtd)。又因為 E( ；J =0，所以 E(xJ =0.8E(Xt4)0.15E(Xtm) 0 ,因此 E(xJ =0。Var (Xt)122(1 +2)(1 - 一 憶)(1 + W - 2)(10.15)平穩(wěn)AR( 2)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:1,11譏一1+忖2,1k _2平穩(wěn)AR (2)模型的偏自相關(guān)系數(shù)為:kk0,1 /(1 - 2)=0.6957 P2 =$1耳 +<|>2卩0 =0.4066P3 =電 P2 +% R =0.2209爲(wèi)=4 =0.6957« ©22 = ©2 = 0.15°33 = 04. 已知AR (2

23、)序列為Xt二XtJ Cxt2，；t，其中；t為白噪聲序列。確定 C的取值范圍，以保證 Xt為平穩(wěn)序列，并給出該序列 k的表達(dá)式。2解：原模型可變形為：(1-B -cB )xt二；t(1)由其平穩(wěn)域判別條件知：當(dāng) 2 I",: 1且 - 1 : 1時，模型平穩(wěn)。由此可知c應(yīng)滿足：|c|：1， c-1 ：1且c 1 ：1即當(dāng)一1<c<0時，該AR(2)模型平穩(wěn)。(2) 由平穩(wěn)AR(2)模型的自相關(guān)系數(shù)遞推公式為:k =0k=1k _2I 1k = 0且 =1, %=c，所以得到：珥=* 1/(1-c)k = 1二 +cPk,心7. 已知某中心化 MA (1)模型1階自相關(guān)系

24、數(shù)，求該模型的表達(dá)式。2 2 0 =1.9823 cr(1 -0.15)(1 -0.8 0.15)(10.8 - 0.15)解：由MA ("模型自相關(guān)系數(shù)為：1,-01i2所以：宀=-11 -4 ： 1 j , MA(1)模型的表達(dá)式為:1 E2Xt-1 t _。9.已知 MA (2)模型為：Xt ；:t-0.7 ；td 0.4 ；t/ ,。求 E(xJ ,Var(xJ，及?k(k _1)。由E( ；t) =0顯然E(x=0已知R = 0.7 , y2 - -0.4。11.(1)(3)(5)Var (xj = (1 二；二由MA (2)模型自相關(guān)系數(shù)為:)二221.65 二1,日1

25、+01日21 +盯M日21 R2 時0,二 0得:-0.980.5939 1.650.40.2424-0, k _3檢驗下列模型的平穩(wěn)性與可逆性，其中；t為白噪聲序列:XtXtXt(2)(3)= 0.5xt 1 1.2xtt=；t 一 0.9 ；t j 0.3 ；t_2= 0.7xt十 ® 0.6gt2 1 = 1.21，模型非平穩(wěn);| 2 卜03：1，21=0.8 1戸21 = 03 ： 1, 1 弓=0.6 ：1，(6)Xt=1.1 xt- 0.3 xt_2；txt = ； t 1.3 ； t_1 - 0.4 ； t_2xt = -0.8xt0.5Xt 4t _ 1.1 ;t j

26、= 1.3738， 2 = -0.87362 1 =一1.4 ： ：1,石-弓=一1.2 ：1,模型平穩(wěn)。1 = 0.6 ,匕=0.5模型可逆。=0.45 + 0.2693i ' 2 =0.45 0.2693i(4) | 可 1=04 ：1,2 弓二Q9 ：1,2 -弓=17 1,模型不可逆。1 二 0.2569， 2 =-1.5569(5) | j| = 0.7 : 1，模型平穩(wěn)； j = 0.7| 3 | = 0.6 ：: 1，模型可逆；'= 0.6(6) | 2 0-5 1 , 2-03 1, 2 - 1=13 1,模型非平穩(wěn)。1=0.4124, 2-1.2124| R

27、|=1.1 1，模型不可逆。1 =1.112ARMA (1,1)模型為：Xt二°.6xt ;t - 0.3 ;t_i確定該模型的 Green函數(shù)， 使該模型可以的等價表示為無窮MA階模型形式。解：(1 -0.6B)Xt =(1 -0.3B) ；t1 -0.3B“0.3B0.3B；tXtt = (1) ；t = ；t一1 -0.6B1 -0.6B1 -0.6BQO二；t 0.3、(0.6B)j ；tj=0QO=；t 0.3、0.6j ；t 令 i=j+1, i=1,2,3 所以：j=0QOO0=；t 0.37 0.6j * j) =；t ' 0.37 0.6iJ ；tj=0i

28、呂=；t0.3*0.6 j；t_j所以：G0 =1，Gj =0.3*0.6jJj呂13 某 ARMA(2,2)模型為：門(B ) Xt = 3 *。( B )氣，求 E ( X t).其中：；t WN(0, ；2)( B ) = (1 - 0.5 B )2 。解：EZ(B)Xt二 E3 n(B) ；JE(1-0.5B)2Xt=3(1 _0.5B)2Xt =3 0(B) l；片=焉0.25xt/ 3 0(B) 丫 所以=1， 2 = -0.25，| 2 I =0.25 : 1，21 =0.75 ： 1，2 一 1 = T.25 ： 1所以該模型平穩(wěn)，因此 E(xt) = -r T，所以E(xt)

29、二E(XtG = E(Xt)。因此 E(10.5B)2Xt =EXt -山 0.25心=3 也就得到 0.25 -：，所以 E(xt)=)=12214.證明 ARMA ( 1,1)序列 Xt =0.5X2；t - 0.25 ； tv ；tWN(0 的自相關(guān)系數(shù)為:Pk 才 0.27,°.5Pkj_k _21一刊)(1一婦1)0.25(0.5*0.25)解：證明： 訂=：訊0)/ (0)=1 ；' 122U.27(0)1 于 -2刊 11 0.25-2* 0.5*0.256 = 1 6=0.5 6 k 亠 216.對于AR( 1)模型：xt - "二1(Xt-rt，根

30、據(jù)t個歷史觀察值數(shù)據(jù)10.1,9.6已求出 =10 ,1 =0.3 ,9，求：(1) x t . 3的95%的置信之間。(2) 假定新獲得觀察值數(shù)據(jù)Xt 10.5，用更新數(shù)據(jù)求x t . 3的的95%的置信之間。解：(1)冷 -10 =0.3* (xt-10)；t，Xt =9.6XT(1) =E(xt J =E10 0.3* (xT 10)；T 訂=9.88xT(2) =E(Xt=E10 0.3* (xt 1 -10)下=9.964洱(3) = E(xt 3) = E10 0.3* (xT 2 -10)；T 3 =9.9892已知AR(1)模型的Green函數(shù)為：Gj = *， j =1,2，

31、eT(3) =G° ；t 3 ' G1 ；t 2 ' G2 ；t 1 =彳 3 1 ；t：2 1 ；t 1VareT(3) =(1 0.32 0.092)* 9 = 9.8829xt 3 的95%的置信區(qū)間：9.9892-1.96* ,9.8829 , 9.9892 + 1.96* - 9.8829 即3.8275,16.1509。(2)T d = xT 1 - xT (1) =10.5 - 9.88 二 0.62xT ,(1) -E(xt 2) =0.3* 0.62 9.964 =10.15xT 1(2) =E(Xt 3) =0.09* 0.62 9.9892 =1

32、0.045Varep 2(2) =(1 * 0.32)*9=9.81 Xt 3 的95%的置信區(qū)間：10.045-1.96 x 9.81 , 10.045 + 1.96*，9.81 即3.9061,16.1839第4章非平穩(wěn)序列的確定性分析1. 對平穩(wěn)時間序列的分析方法可以分解為確定性時序分析和隨機時序分析兩大類，本章 主要介紹一些常用的確定性時序分析方法。2. Wold分解定理、Cramer分解定理。（課本111頁）3 wold分解定理：對于任何一個離散平穩(wěn)過程 x，它都可以分解為兩個不相關(guān)的平穩(wěn) 序列之和，一個為確定性的，另一個為隨機性的。而ARMA（ p, q）模型的分析實際上主要是對隨

33、機平穩(wěn)序列進(jìn)行分析。4Cramer分解定理：任何一個時間序列xt，都可以分解為兩部分的疊加：其中一部分 是由多項式?jīng)Q定的確定性趨勢成分，另一部分是平穩(wěn)的零均值誤差成分。說明了任何一個序列的波動都是可以視為同時受到了確定性影響和隨機性影響的綜 合作用。平穩(wěn)序列要求這兩方面的影響都是穩(wěn)定的，而非平穩(wěn)序列產(chǎn)生的機理就在于它所受到的這兩方面的影響至少有一方面是不穩(wěn)定的。5在自然界中，由確定性因素導(dǎo)致的非平穩(wěn)，通常顯示出非常明顯的規(guī)律性，比如有顯著的趨勢或者有固定的變化周期，這種規(guī)律信息通常比較容易提取，而由隨機因素導(dǎo)致的波動則非常難以確定和分析。根據(jù)這種性質(zhì)，傳統(tǒng)的時序分析方法通常都把分析的重點放在確

34、定性信息的提取上，忽視對隨機信息的提取，通常將序列簡單地假定為：Xt二7 ；t式中， t為零均值白噪聲序列。這種分析方法就稱為確定性分析方法。6. 近年來，人們對四大因素的確定性分析做了改進(jìn)，現(xiàn)在通常把序列分解為三大因素的綜合影響：（1 ）長期趨勢波動， 它包括長期趨勢和無固定周期的循環(huán)波動（2）季節(jié)性變化，它包括所有具有穩(wěn)定周期的循環(huán)波動。（3） 隨機波動，除了長期趨勢波動和季節(jié)性變化之外，其他因素的綜合影響歸為隨機波動。7. 有些時間序列具有非常顯著的趨勢，有時我們分析的目的就是要找到序列中的這種趨勢，并利用這種趨勢對序列的發(fā)展做出合理的預(yù)測。8. 趨勢擬合法 就是把時間作為自變量，相應(yīng)的

35、序列觀察值作為因變量，建立序列值隨時間變化的回歸模型的方法。 根據(jù)序列所表現(xiàn)的線性或非線性特征，我們的擬合方法又可以具體分為線性擬合和曲線擬合。9. 平滑法：是指進(jìn)行趨勢分析和預(yù)測時常用的一種方法。它是利用修勻技術(shù)，消弱短期隨機波動對序列的影響，使序列平滑化，從而顯示出變化的規(guī)律。10. 根據(jù)所用的平滑技術(shù)的不同，平滑法又可以具體分為：移動平均法 和指數(shù)平滑法。11. 移動平均法可以分為兩類：（1）n期中心移動平均（2）n期移動平均（課本117頁）12n期移動平均還是一種常用的預(yù)測方法（課本 118頁）計算題看（118頁，例4.3）（考點）13指數(shù)平滑法可以分為兩類：（1）簡單指數(shù)平滑（2）H

36、olt兩參數(shù)指數(shù)平滑14我們考慮到時間間隔對事件發(fā)展的影響，各期權(quán)重隨著時間間隔的增大而呈指數(shù)衰減。這就是指數(shù)平滑法的基本思想，也是跟移動平均法的區(qū)別 （移動平均法的權(quán)重都是1/n ）。15.簡單指數(shù)平滑：（考點）xt - ： xt 亠二（1 - :） xt亠二（1 -）2 xt_2 式中，：為平滑系數(shù)，它滿足 0 ： : ： 1。因為：Xt=xtd 亠'：（1 -<-）Xt_2 ；t（1-<-）2Xt 才所以xt又等價于 X t -X t （- -） x t -1簡單指數(shù)平滑面臨一個確定X0初始值的問題。我們有許多方法可以確定X0的初始值，最簡單的方法是指定 xo =，經(jīng)

37、驗白表明 芒的值介于0.050.3之間，修勻效果比較好。16指數(shù)平滑法也是一種常用的預(yù)測方法，XT常常作為1期預(yù)測值：（考點）Xt+1 二 Xt = ' Xt （1 一）Xt-1 r （1 -）2 XT-2 r A.XT （-）XT指數(shù)平滑2期預(yù)測值為：AAXt+2 _Xt+1+： （1 八）Xt 4=（1）2Xt-1 .AAA=- Xt +1 +（1 - -） Xt +1 = Xt +1AA容易驗證，指數(shù)平滑期預(yù)測值都具有如下關(guān)系：XT+'二XT+1， ' - 2計算題看課本120頁例4.4 （考點）17Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑（120頁）（1） 第t期的估計值就應(yīng)該等

38、于第t-1期的觀察值加上t-1期的趨勢變動值：Ax t 二 x t _1 r t _1（ 1）（2） 考慮用第t期的觀察值和第t期的估計值的加權(quán)平均數(shù)作為第t期的修勻值：xt =二 Xt （1 - :一 ） x t01=：Xt（1一 ： ）（Xtdrt4）（2）（3） 因為趨勢序列訃也是一個隨機序列，為了讓修勻序列xt更平滑，我們對"也進(jìn) 行一次修勻處理：rt 二（xt xt）（1 一）rt（3）（4） 把（3）代入（2），就能得到比較光滑的修勻序列xt。這就是Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑 法的構(gòu)造思想，它的平滑公式為：xt = ： xt （1 - ： ）（ xt _irt j）十<

39、； 八丿（4）（ 120 頁）=；，'（ xt 一 xt_i）（1 一 ）rt 式中，:-,為兩個平滑系數(shù)，也稱為兩個平滑參數(shù)，它們滿足0 ： :, ： 1。平滑系數(shù)的選擇原則和簡單指數(shù)平滑的原則一樣。（5）在此我們需要確定兩個序列的初始值：（a）平滑序列的初始值xo。最簡單的是指定X。= Xi。（b）趨勢序列的初始值ro。和確定xo 一樣，我們又許多方法確定它，最簡單的方法是：在任意指定一個區(qū)間長度n,用這段區(qū)間的平均趨勢作為趨勢初始值:r° 二X1。n（6）假定最后一期的修勻值為xt，那么使用Holt兩參數(shù)指數(shù)平滑方法，向前期的預(yù)測值為：Xt ，二 Xt rT。習(xí)題4.7 （考點）1. 使用4期移動平均作預(yù)測，求在2期預(yù)測值A(chǔ).XT彳中的xT與xT-1前面的系數(shù)分別等于多少?解：? 1Xt；)= 4(?t 14XtXT -1XT -2 )=Xt16 T 16 T 1 16x-2討5所以，在XT 2中XT與XT 4前面的系數(shù)均為一。165.2 6已知序列觀察值xt = 5.25，2. 使用指數(shù)平滑法得到 xt-1 = 5，xt 1 =xt5.5求指數(shù)平滑系數(shù)Xt = ： Xt(1 - ：)Xt_1解:代入數(shù)據(jù)得:Xt 1二：Xt 1(1 -)Xtxt=5.25 二 亠 5( 1 -)解得:5.26=5.5 很亠(1 -