隨機(jī)過程平穩(wěn)性遍歷性正交性不相關(guān)性和獨立性

1、隨機(jī)過程1234平穩(wěn)性平穩(wěn)性遍歷性遍歷性正交性、不相關(guān)性與獨立性正交性、不相關(guān)性與獨立性正正態(tài)隨機(jī)過程的主要性質(zhì)態(tài)隨機(jī)過程的主要性質(zhì)隨機(jī)過程的平穩(wěn)性判斷判斷方法方法：平穩(wěn)性：若一個函數(shù) ，當(dāng) ，的特性不變，就稱 關(guān)于 函數(shù)是平穩(wěn)的。),(tzyxfxxx),(tzyxf),(tzyxfx實際意義實際意義： 具有平穩(wěn)性的隨機(jī)信號能夠保持一個規(guī)律的狀態(tài)，具體到信號處理這就便 于我們檢測系統(tǒng)是否混入干擾。平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。方法一： 若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，則 與時間t 無關(guān)。 方法二：若X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)，則對于任一時刻t0 ， X(t0)具有相同的統(tǒng)計特性。

2、)(tXEk隨機(jī)過程的平穩(wěn)性 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程分為嚴(yán)平穩(wěn)過程（Strictly Stationary）和弱平穩(wěn)過程（weakly Stationary）。 嚴(yán)嚴(yán)平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 也稱為狹義平穩(wěn)過程，是在固定時間和位置的概率分布與所有時間和位置的概率分布相同的隨機(jī)過程，隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性不隨事件的推移而變化。寬寬平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 數(shù)學(xué)期望和方差不隨時間和位置變化的隨機(jī)過程，即弱平穩(wěn)過程的條件是：（1）均值函數(shù)在所有時間上恒為常數(shù)；（2）對于所有時間t和和時滯k，自協(xié)方差相同。嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系： 嚴(yán)格平穩(wěn)嚴(yán)格平穩(wěn) 廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn)一定一定不一定不一定當(dāng)隨機(jī)過程滿足高斯分布時，嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等

3、價的。隨機(jī)過程的遍歷性實際意義實際意義：隨機(jī)過程的數(shù)字特征（均值、相關(guān)函數(shù)）是對隨機(jī)過程的所有樣本函數(shù)的統(tǒng)計平均，但在實際過程中很難測得大量的樣本。因此，我們想在滿足一定條件下，從一次試驗中得到來決定平穩(wěn)過程的數(shù)字特征，這就是各態(tài)歷經(jīng)性，又稱遍歷性。定義定義：假設(shè)是平穩(wěn)過程的任意一次實現(xiàn)（樣本），由于它是時間的確定函數(shù)，可以求得它的。其時間平均值和分別定義為221( )lim( )TTTax tx t dtT221( )( ) ()lim( ) ()TTTRx t x tx t x tdtT隨機(jī)過程的遍歷性221( )lim( )TTTax tx t dtT221( )( ) ()lim( )

4、 ()TTTRx t x tx t x tdtT如果平穩(wěn)過程使下式成立( )( )aaRR也就是說，平穩(wěn)過程的統(tǒng)計平均值等于它的任意一次樣本實現(xiàn)的時間平均值，則稱該平穩(wěn)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。注意：具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)過程，反之不一定成立。正交性、不相關(guān)性與獨立性 1. 正正交交性性：定義 為相關(guān)函數(shù)，若 則稱XY正交 eg:sinx與cosx 注意：相關(guān)函數(shù)為0，不是不相關(guān)，而是正交。 2.不相關(guān)不相關(guān)性性：定義 協(xié)方差函數(shù) 若 ，即相關(guān)系數(shù)為0，則稱之為不相關(guān)； 注意：不相關(guān)只是說二者沒有線形關(guān)系，但并不代表沒有任何關(guān)系。 3.獨立性獨立性：就用他們的概率分布函數(shù)或密度來表達(dá)，聯(lián)

5、合分布等于他們各自分布的乘積，獨立的定義是 ，就稱獨立。0R 0XC( , )( ) ( )F x yF x F y正交性、不相關(guān)性與獨立性三者之間的關(guān)系（1）X與與Y獨立獨立,則則X與與Y一定不相關(guān)一定不相關(guān)。例如：如果 ，則 即X,Y不相關(guān)。相反，如果如果X與與Y不相關(guān)，則不相關(guān)，則X與與Y不一定獨立不一定獨立。不相關(guān)和相互獨立一般不等價，只有當(dāng)過程為高斯過程時才成立高斯過程時才成立。相關(guān)性描述的是兩個隨機(jī)變量之間是否存在線性關(guān)系，而獨立性考察的則是兩個隨機(jī)變量間是否存在某種關(guān)系，因此獨立的條件要比不相關(guān)嚴(yán)格。( , )( )( )F x yF x F y ( ) ( )( )( )E X

6、 t Y tE X tEY t（2）若這兩個隨機(jī)過程正交正交，則 =0，兩個正交的隨機(jī)過程并非一定能推得不相關(guān)或獨立不相關(guān)或獨立的結(jié)論。僅當(dāng)數(shù)學(xué)期望Ex(t)或Ey(t)等于零的時候，這兩個正交的隨機(jī)過程才會不相關(guān)。正態(tài)隨機(jī)過程的主要性質(zhì)正態(tài)隨機(jī)過程的主要性質(zhì)性質(zhì)：性質(zhì)：1.正態(tài)過程是二階矩二階矩過程。2.一個高斯過程完全由它的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)決定，只要均值函數(shù)m(x)和協(xié)方差函數(shù)Bx(s,t)(或相關(guān)函數(shù)Rx(s,t)確定了，這個高斯過程也就完全確定了。3.高斯過程有很多與高斯變量類似的統(tǒng)計特征統(tǒng)計特征，如：高斯過程通過線性系統(tǒng)或高斯過程的線性組合仍為高斯型。如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則等價于平穩(wěn)。如果高斯過程的時間進(jìn)程中兩個不同