相互獨立的隨機變量課件

1、相互獨立的隨機變量1,),()(1 xxjijXipxFxF1、離散型、離散型1,1,2,iijijP Xxppi1,1,2,jijjiP Yyppj,ijjipyYxXP ;, 2 , 1, ji( , ),.ijijxxyyF x yP Xx Yyp(,)(, ) ijijx yGPX YGpjiyYxXP ), 2 , 1( i,jjiyYPyYxXP jijpp )|(|jYXyxF|iijxxP Xx Yy|ijP Xx Yy.|iiijijxLxLjpP Xx Yyp|jP XL Yy相互獨立的隨機變量2( )( ,)( , )d d ,.xXFxF xf x yyx 2、連續(xù)型.

2、d),()( xyxfyfY( )( , )dXfxf x yy(, ) ( , )( , ) d d .yxX YF x yf u vu v GyxyxfGYXPdd),(),( , )x( )0()( )Y XXXf x yfxfy xfx對于固定的 ，時，()Y XFy xP Yy Xx()d .yY Xfy xyP YL Xx()dY XLfy xy相互獨立的隨機變量3第三章第三章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布第四節(jié)第四節(jié) 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量一、兩個隨機變量的相互獨立性一、兩個隨機變量的相互獨立性二、二、 n 個隨機變量的相互獨立性個隨機變量的相互獨立性相

3、互獨立的隨機變量4一、兩個隨機變量的相互獨立性XY隨機變量與相互獨立，實際上是指：xyXxYy對任意 ，隨機事件與相互獨立51、()( ),( ,)Y XYfy xfyx yR()( ),( ,)X YXfx yfxx yR6XY和相互獨立ijijppp,1,2,.i j ,()( )3.XYf Xg Y和相互獨立 則和也相互獨立2、jiP Yy Xx, ,1,2,.jP Yyi jijP Xx Yy, ,1,2,.iP Xxi j7.),(,),(,2的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度求求上上服服從從均均勻勻分分布布在在服服從從并并且且相相互互獨獨立立和和設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量YXbbYaNXYX

4、例例1)()(),(yfxfyxfYX 所所以以解解而而X 與與Y 相互獨立相互獨立,22()21( ),;2x aXfxex ., 0,21)(其其它它bybbyfY22()211,220 , elsex aexbybb 8例例 2 2 （P73P73有類似例題）有類似例題）的聯(lián)合分布律為，設(shè)二維離散型隨機變量YX Y X12316191181231相互獨立與使得隨機變量，試確定常數(shù)YX解：的邊緣分布律為與由表，可得隨機變量YXXY和相互獨立ijijppp,1,2,.i j 9相互獨立，則有與如果隨機變量YXjiijppp32121，；，ji由此得2191YXP，299131 21YPXP3

5、1181YXP，1918131 31YPXP10 Y X123 ip1619118131231929132jp213161可以驗證，此時有jiijppp32121，；，ji相互獨立與時，因此當YX919211 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxfP73P73例例32121()211( ),2x Xfxe2222()221( ).2x Yfye重要結(jié)論：重要結(jié)論：“二維正態(tài)變量二維正態(tài)變量X,Y獨立獨立 ”( , )( )( )x,yXYf x yfx f y/ 若 =0，易得對所有成立，故X,/Y獨立；x,y ( , )( )( ),XY

6、f x yfx f y12若X,Y獨立,則對所有有成立, 特別，x=y=由上式易得/=0.012例例4 一負責人到達辦公室的時間均勻分布在一負責人到達辦公室的時間均勻分布在812時時,他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在他的秘書到達辦公室的時間均勻分布在79時時,設(shè)他們兩人到達的時間相互獨立設(shè)他們兩人到達的時間相互獨立, 求他們到達辦求他們到達辦公室的時間相差不超過公室的時間相差不超過 5 分鐘的概率分鐘的概率. 解解,達辦公室的時間達辦公室的時間書到書到分別是負責人和他的秘分別是負責人和他的秘和和設(shè)設(shè)YX的概率密度分別為的概率密度分別為和和由假設(shè)由假設(shè)YX , 0,128,41)(其其它它xx

7、fX1 2, 79,( )0,Yyfy其它,相互獨立相互獨立由于由于YX)()(),(yfxfyxfYX ., 0, 97 ,128,81其其它它yx)()(),(yfxfyxfYX ., 0, 97 ,128,81其其它它yx13121 YXP Gyxyxfdd),().(81的的面面積積G Oxy 8 1279ABB CC G)()(),(yfxfyxfYX ., 0, 97 ,128,81其其它它yx.61 GABCAB C 的面積的面積的面積22121121121321 14.,21為為任任意意實實數(shù)數(shù)其其中中nxxx,),(221121nnnxXxXxXPxxxF 1.分布函數(shù)分布函

8、數(shù)的的分分布布函函數(shù)數(shù)維維隨隨機機變變量量),(21nXXXn二、n個隨機變量的相互獨立性P7515有有實實數(shù)數(shù)使使對對于于任任意意若若存存在在非非負負函函數(shù)數(shù)nnxxxxxxf,),(2121.),(),(2121度度函函數(shù)數(shù)的的概概率率密密為為則則稱稱nnXXXxxxf nnxxxnnnxxxxxxfxxxF11,ddd),(),(2121212.概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)16.),(121分分布布函函數(shù)數(shù)邊邊緣緣的的關(guān)關(guān)于于維維隨隨機機變變量量稱稱為為XXXXnn. ),( ),(2121邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)的的關(guān)于關(guān)于維隨機變量維隨機變量稱為稱為XXXXXnn 其它依次類推其它依次類

9、推.),()(111 xFxFX),(),(2121,21 xxFxxFXX3.邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)17.)1(),(21率率密密度度維維邊邊緣緣概概的的同同理理可可得得nkkXXXn 1212( ,)(,),nnf x xxXXX若是的概率密度 則,ddd),()(322111nnXxxxxxxfxf .ddd),(),(432121,21nnXXxxxxxxfxxf 4.邊緣概率密度函數(shù)邊緣概率密度函數(shù)185. 相互獨立性相互獨立性有有若若對對于于所所有有的的nxxx,21.,21是是相相互互獨獨立立的的則則稱稱nXXX有有若對于所有的若對于所有的nmyyyxxx,2121),()()

10、(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFn ),(),( ),(2122112121nmnmyyyFxxxFyyyxxxF ,),(),(),(,2121212121的的分分布布函函數(shù)數(shù)和和依依次次為為隨隨機機變變量量其其中中nmnmYYYXXXYYYXXXFFF.),(),(11相相互互獨獨立立與與則則稱稱隨隨機機變變量量nmYYXX19.),(),(,.), 2 , 1(), 2 , 1(,),(),(21212121相相互互獨獨立立和和則則是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)若若又又相相互互獨獨立立和和則則立立相相互互獨獨和和設(shè)設(shè)nmjinmYYYgXXXhghnjYmXYYYXXX 定定理理

11、6.重要結(jié)論重要結(jié)論作業(yè)：作業(yè)：P86 14， 16(2) , 20 （練習：（練習：17）20三、小結(jié)則則有有邊邊緣緣概概率率密密度度分分別別為為的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量),(),(),(),(. 2yfxfyxfYXYX)()(),(yfxfyxfYX .,jijiyYPxXPyYxXP 相互獨立相互獨立和和YX.)()(,. 3也也相相互互獨獨立立和和則則相相互互獨獨立立和和YgXfYX相互獨立相互獨立和和YX1. 若離散型隨機變量若離散型隨機變量 ( X,Y )的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為., 2 , 1, jipjYiXPij21解解, 1dd

12、),()1( yxyxf因因為為xyxCyxdd)1(100 yxyxfdd),( 可得可得.,)3(;,)2(;)1(., 0.0 , 10),1(),(),(的獨立性的獨立性判斷判斷的邊緣概率密度的邊緣概率密度關(guān)于關(guān)于求關(guān)于求關(guān)于的值的值求求其它其它設(shè)設(shè)YXYXCxyxxCyyxfYX 作業(yè)：作業(yè)：xy oxy1 x作業(yè)：作業(yè)：P86 14， 16(2) , 20 （練習：（練習：17）124d2)1 (210 CxxxC.24 C22 ., 0.0 , 10),1(24),(其其它它故故xyxxyyxfyxyyyxfxfxXd)1(24d),()(0 ).1(122xx ,10時時當當 x,1, 0時時或或當當 xx.0d),()( yyxfxfXxy oxy1 x ., 0, 10),1(12)(2其它其它xxxxfX于是于是23xyxfyfYd),()( .)1 (122yy xxyyd)1(241 ,10時時當當 yxy oxy1 x ., 0, 10,)1(12)(2其其它它因因而而得得yyyyfY),()(),()3(yfxfy