云南數學中考試題研究第1部分考點研究：第二章方程(組)與不等式(組)

1、第一部分第一部分 考點研究考點研究 第二章第二章 方程方程( (組組) )與不等式與不等式( (組組) ) 第一節(jié)第一節(jié) 一次方程與一次方程組一次方程與一次方程組一次方程與一次方程與一次方程組一次方程組等式的性質等式的性質一元一次方程及解法一元一次方程及解法二元一次方程二元一次方程(組組)及解法及解法一次方程一次方程(組組)的實際應用的實際應用概念概念解法步聚解法步聚解題一般步驟解題一般步驟:審設、列、審設、列、 解、驗、答解、驗、答常見類型及關系常見類型及關系*三元一次方程組三元一次方程組(20112011版新課標選學內容版新課標選學內容) 考點精講等式的等式的性質性質1.如果如果a=b,那

2、么那么ac=_2.如果如果a=b,那么那么ac=_3.如果如果a=b(c0),那么那么 =_bcbcbcac概念概念:只含有只含有_個未知數個未知數(元元),未知數的未知數的 次數都是次數都是_,等號兩邊都是整式等號兩邊都是整式, 這樣的方程叫做一元一次方程這樣的方程叫做一元一次方程111.去分母去分母2.去括號去括號3.移項移項4.合并同類項合并同類項5.系數化為系數化為1解法步聚解法步聚二二元元一一次次方方程程(組組)及及解解法法二元一次二元一次方程方程含有含有_ _ _個未知數個未知數( (x和和y),),并且含有未知數并且含有未知數的項的次數都是的項的次數都是1 1的整式方程叫做二元一

3、次的整式方程叫做二元一次方程方程二元一次二元一次方程組方程組方程組中有方程組中有_ _ _個未知數個未知數, ,含有每個未知數含有每個未知數的項的次數都是的項的次數都是_ _,_,并且一共有兩個方程并且一共有兩個方程, ,像這樣的方程組叫做二元一次方程組像這樣的方程組叫做二元一次方程組二元一次二元一次方程的解方程的解一般地一般地, ,使二元一次方程兩邊的值相等的兩使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值個未知數的值, ,叫做二元一次方程的解叫做二元一次方程的解兩兩兩兩1二二元元一一次次方方程程(組組)及及解解法法二元一二元一次方程次方程組的解組的解二元一次方程組的兩個方程的公共解二元一次方程

4、組的兩個方程的公共解, ,叫做二元叫做二元一次方程組的解一次方程組的解二元一二元一次方程次方程組的解組的解法法代入代入消元消元法法把二元一次方程組中一個方程的一個未把二元一次方程組中一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來知數用含另一個未知數的式子表示出來, ,再再_另一個方程另一個方程, ,實現消元實現消元, ,進而求進而求得這個二元一次方程組的解得這個二元一次方程組的解加減加減消元消元法法當二元一次方程組的兩個方程中同一未當二元一次方程組的兩個方程中同一未知數的系數相反或相等時知數的系數相反或相等時, ,把這兩個方程把這兩個方程的兩邊分別的兩邊分別_或相減或相減, ,就能消去這就

5、能消去這個未知數個未知數, ,得到一個一元一次方程得到一個一元一次方程代入代入相加相加常見類型常見類型及關系及關系1.利潤問題利潤問題:售價售價=標價標價折扣折扣; 銷售額銷售額=售價售價銷量銷量 利潤利潤=售價售價-進價進價; 利潤率利潤率= 100%2.工程問題工程問題:工作量工作量=工作效率工作效率 _3.行程問題行程問題利潤進價11 11 工作時間工作時間行程問題行程問題基本量之間的關系基本量之間的關系:路程路程=速度速度時間時間相遇問題相遇問題:全路程全路程=甲走的路程甲走的路程 _乙走的路程乙走的路程追及問題追及問題+12 12 同地不同時出發(fā)同地不同時出發(fā):前者走的路程前者走的路

6、程 =追者走的路程追者走的路程同時不同地出發(fā)同時不同地出發(fā): 前者走的路程前者走的路程+兩地間距離兩地間距離 =追者走的路程追者走的路程 *三三元元一一次次方方程程組組概念概念:一個方程組含有三個未知數一個方程組含有三個未知數,每個方程中含每個方程中含 未知數的項的次數都是未知數的項的次數都是1,并且一共有三個并且一共有三個 方程方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組像這樣的方程組叫做三元一次方程組解三元一次方程組的思路解三元一次方程組的思路: 三元一次方程組三元一次方程組 二元一次方程組二元一次方程組 一元一次方程一元一次方程消元消元消元消元 一次方程一次方程( (組組) )的實際應用的實際

7、應用( (高頻) )例例 (20152015大理九下期中卷大理九下期中卷)為了更好治理洱海水質為了更好治理洱海水質,保保護環(huán)境護環(huán)境.市治污公司決定投資市治污公司決定投資108萬元購買萬元購買A、B兩種兩種型號的污水處理設備共型號的污水處理設備共10臺臺,已知購買一臺已知購買一臺A型號設型號設備需備需12萬元萬元,購買一臺購買一臺B型號設備需型號設備需8萬元萬元,則則A 、 B兩兩種型號的設備各買了多少臺？種型號的設備各買了多少臺？ 重難點突破【信息梳理信息梳理】設購買設購買A型號的設備型號的設備x臺臺,B型號的設備型號的設備y臺臺,原題信息原題信息整理后的信息整理后的信息一一購買購買A、B

8、兩種型號的污水處兩種型號的污水處理設備共理設備共1010臺臺x+y=10二二購買一臺購買一臺A A型號設備需型號設備需1212萬元萬元, ,購買一臺購買一臺B B型號設備需型號設備需8 8萬元萬元, ,市治污公司決定投資市治污公司決定投資108108萬元萬元12x+8y=108解解：設購買設購買A型號的設備型號的設備x臺，臺，B型號的設備型號的設備y臺臺，由題意得由題意得解得解得答：購買答：購買A型號的設備型號的設備7臺，臺，B型號的設備型號的設備3臺臺. .x+y=1012x+8y=108，x=7y=3.【一題多解一題多解】設購買】設購買A型號的設備型號的設備x臺臺, ,則則B型號的設備型號

9、的設備(10-(10-x) )臺，臺，由題意得由題意得1212x+8(10-+8(10-x)=108,)=108,解得解得x=7=7，B型號的設備為型號的設備為10-710-73(3(臺臺).).答：購買答：購買A型號的設備型號的設備7 7臺，臺，B型號的設備型號的設備3 3臺臺. .1. 在一次方程在一次方程(組組)的實際應用問題中的實際應用問題中,應從以下方面應從以下方面尋找等量關系尋找等量關系:(1)熟記數量關系熟記數量關系,根據數量關系找等量關系如根據數量關系找等量關系如:價格問價格問題題,工程問題工程問題,行程問題等行程問題等.(2)根據公式來找等量關系根據公式來找等量關系,如周長如

10、周長、面積面積、體積等相體積等相關問題關問題.(3)在有倍數在有倍數、和差關系的應用題中和差關系的應用題中,應抓住兩種關系應抓住兩種關系,建立等量關系建立等量關系,這類題目中常有這類題目中常有“一一共共是是”,“比比多多(少少)”,“是是的幾倍的幾倍”,“比比幾倍多幾倍多(少少)”等等.(4)找準單位找準單位“1”,根據根據“量率對應量率對應”找等量關系找等量關系.2. 對于幾何應用題對于幾何應用題,等量關系一般隱藏在圖形的性質等量關系一般隱藏在圖形的性質中中,如矩形對邊相等如矩形對邊相等,正方形四邊相等等正方形四邊相等等. 第一部分第一部分 考點研究考點研究第二章第二章 方程方程( (組組)

11、 )與不等式與不等式( (組組) ) 第二節(jié)第二節(jié) 一元二次方程一元二次方程一元二一元二次方程次方程概念概念解法解法根的判別式及根與系數的關系根的判別式及根與系數的關系實際應用實際應用列一元二次方程解應用題的步驟列一元二次方程解應用題的步驟:(1)審審;(2)設設;(3)列列;(4)解解;(5)驗驗;(6)答答三個常見類型三個常見類型 根的判別式根的判別式*根與系數的關系根與系數的關系 考點精講概念：概念：等號兩邊都是整式等號兩邊都是整式,只含有只含有_未知數未知數(一元一元),并并且未知數的最高次數是且未知數的最高次數是2(二次二次)的方程的方程,叫做一元二次叫做一元二次方程方程,它的一般形

12、式它的一般形式:_(a0)一個一個ax2+bx+c=0解解法法解法解法形式形式方程的根方程的根直接開直接開平方法平方法x2=p(p0)x=_(x+n)2=p(p0)x=_配方法配方法一般式一般式ax2+bx+c=0可可配方為配方為a(x+h)2=k(a0)kxha pp -n解解法法解法解法形式形式方程的根方程的根公式法公式法 ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)x=_因式分因式分 解法解法(x-x1)(x-x2)=0 x=x1或或x2242bbaca 根的判別式根的判別式定義定義:一般地一般地,式子式子_叫做一元二叫做一元二 次方程次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判別根的判別

13、式式,通常用希臘字母通常用希臘字母“”表示表示,即即 =b2- -4ac1.0 一元二次方程有兩個一元二次方程有兩個 _的實數根的實數根2.=0 一元二次方程有兩個一元二次方程有兩個 _的實數根的實數根3.0 一元二次方程一元二次方程_實數根實數根與根與根的關的關系系b2-4ac不相等不相等相等相等沒有沒有若若x1,x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0,0)的兩根的兩根,則則 x1+x2= _,x1x2= _ (20112011版新課標選學內容版新課標選學內容)ba11 11 ca*根與系數的關系根與系數的關系:三三個個常常見見類類型型1.增長率增長率的等量關系的等量關

14、系2.利潤等量關系利潤等量關系3.面積問題常見圖形面積問題常見圖形(1)增長率增長率= 100(2)設設a為原來量為原來量,m為平均增長率為平均增長率,n為增長為增長 次數次數,b為增長后的量為增長后的量,則則a(1+m)n=b; 當當m為平均下降率時為平均下降率時,則有則有a(1-m)n=b增量基礎量(1)利潤利潤=售價售價-成本成本;(2)利潤率利潤率= 12 12 100%利潤成本3.面面積積問問題題常常見見圖圖形形(1)如圖如圖,設空白部分的寬為設空白部分的寬為x,則則 S陰影陰影= _ 圖圖 圖圖 圖圖(2)如圖如圖,設陰影道路的寬為設陰影道路的寬為x,則則S空白空白= _(3)如圖

15、如圖,設陰影路的寬為設陰影路的寬為x,則則S空白空白= _13 13 14 14 15 15 (a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)(a-x)(b-x) 一元二次方程的解法一元二次方程的解法例例1 一元二次方程一元二次方程x2-3x+2=0的解是的解是 ( )A. x1=1,x2=2 B. x1= -1,x2=2C. x1= -1,x2= -2 D. 方程無實數根方程無實數根【思路點撥思路點撥】可以用因式分解來解可以用因式分解來解, ,也可以用公式法也可以用公式法來解來解. .A 重難點突破【解析解析】原方程通過因式分解可變形為原方程通過因式分解可變形為(x-1)(x-2)=0，解得解得

16、x1=1，x2=2，或用公式法求解得或用公式法求解得 ，故故x1=1，x2=2.2( 3)( 3)4 1 23 12 12x 一元二次方程的實際應用一元二次方程的實際應用例例2 2 (2015甘肅甘肅)近年來某縣加大了對教育經費的投近年來某縣加大了對教育經費的投入入,2013年投入年投入2500萬元萬元,2015年將投入年將投入3600萬元萬元.設該設該縣投入教育經費的年平均增長率為縣投入教育經費的年平均增長率為x,根據題意列方程根據題意列方程,則下列方程正確的是則下列方程正確的是 ( )A. 2500 x2=3600B. 2500(1+x)2=3600C. 2500(1+x%)2=3600D

17、. 2500(1+x)+2500(1+x)2=3600【答案答案】B【解析解析】平均增長率為平均增長率為x，則則2014年的投入為年的投入為2500(1+x)萬元，萬元，2015年的投入為年的投入為2500(1+x)(1+x)萬元萬元, ,即即2500(1+x)2萬元，即萬元，即2500(1+x)2=3600.【思路點撥思路點撥】根據題意根據題意, ,2013年投入年投入2500萬元萬元, ,年年平均增長率為平均增長率為x, ,可以表示出可以表示出2015年的投入經費年的投入經費, ,而已知而已知2015年的投入經費為年的投入經費為3600萬元，從而列出萬元，從而列出方程式。方程式。第一部分第

18、一部分 考點研究考點研究第二章第二章 方程方程( (組組) )與不等式與不等式( (組組) ) 第三節(jié)第三節(jié) 分式方程分式方程分式方程分式方程概念概念:分母中含分母中含_的方程叫做分式方程的方程叫做分式方程解法解法增根增根:使最簡公分母為零的未知數的值是增根使最簡公分母為零的未知數的值是增根實際應用實際應用未知數未知數解分式方程的基本思路解分式方程的基本思路: 分式方程分式方程 整式方程整式方程解分式方程的一般步驟解分式方程的一般步驟方程兩邊同乘最簡公分母方程兩邊同乘最簡公分母去分母去分母 考點精講解分式方程解分式方程的一般步驟的一般步驟1.方程兩邊同乘以各個分式的方程兩邊同乘以各個分式的_,

19、約去分母約去分母,化為整式方程化為整式方程2.解這個整式方程解這個整式方程3.檢驗檢驗:將整式方程的解代入最簡公分母將整式方程的解代入最簡公分母,如如果值果值_,則整式方程的解是原分式方則整式方程的解是原分式方程的解程的解;否則否則,這個解不是原分式方程的解這個解不是原分式方程的解 最簡最簡公分母公分母不為不為0實際應用實際應用常見類型常見類型:工程問題、行程問題、工作量問工程問題、行程問題、工作量問 題等題等,每個問題中涉及到三個量的每個問題中涉及到三個量的 關系關系,如如:工作時間工作時間 , 時間時間=一般步驟一般步驟:1.審審;2.設未知數設未知數;3.找等量關系找等量關系; 4.列分

20、式方程列分式方程;5.解分式方程解分式方程; 6.檢驗檢驗(一驗分式方程一驗分式方程,二驗實際問二驗實際問 題題) ;7.答答=工作量工作效率路程速度 解分式方程解分式方程例例1 (2014蘇州蘇州) )解方程解方程: .【思路點撥思路點撥】先找出最簡公分母先找出最簡公分母(x-1),方程兩邊同乘方程兩邊同乘以最簡公分母以最簡公分母, ,把分式方程化成整式方程再求解把分式方程化成整式方程再求解. .23-11xxx 重難點突破解解：原式可變形為原式可變形為 ，去分母，得去分母，得x-2=3x-3，移項，得移項，得3x-x=3-2，合并同類項，得合并同類項，得2x=1，系數化為系數化為1，得得x

21、= ，檢驗：當檢驗：當x = 時，公分母時，公分母x-10,23-11xxx12121212x = 是原分式方程的解，是原分式方程的解，原方程的解是原方程的解是x = .1.解分式方程去分母時解分式方程去分母時,容易漏乘不含分母的項容易漏乘不含分母的項;2.受整式方程的影響受整式方程的影響,容易忽略檢驗這一步容易忽略檢驗這一步. 分式方程的實際應用分式方程的實際應用( (高頻) )例例2 某校為了增強學生對中華優(yōu)秀傳統文化的理解某校為了增強學生對中華優(yōu)秀傳統文化的理解,決定購買一批相關的書籍決定購買一批相關的書籍.據了解據了解,經典著作的單價比經典著作的單價比傳說故事的單價多傳說故事的單價多8

22、元元,用用12000元購買經典著作與用元購買經典著作與用8000元購買傳說故事的本數相同元購買傳說故事的本數相同,這兩類書籍的單價這兩類書籍的單價各是多少元？各是多少元？【信息梳理信息梳理】原題信息原題信息整理后的信息整理后的信息一經典著作的單價比傳經典著作的單價比傳說故事的單價多說故事的單價多8 8元元設傳說故事書的單價為設傳說故事書的單價為x元元, ,則則經典著作書的單價為經典著作書的單價為(x+8)元元二用用12000元購買經典元購買經典著作與用著作與用8000元購買元購買傳說故事的本數相同傳說故事的本數相同用用12000元購買經典著作的本元購買經典著作的本數為數為 ,用用8000元購買

23、傳說元購買傳說故事的本數為故事的本數為 ,兩種書的兩種書的本數相同：本數相同：120008x8000 x1200080008xx 解解:設傳說故事書的單價為設傳說故事書的單價為x元，則經典著作書的元，則經典著作書的 單價為單價為(x+8)元，元， 由題意得由題意得 ， 解得解得x=16， 經檢驗經檢驗x=16是原方程的解，是原方程的解， 則則x+8=24(元元), 答答: :傳說故事和經典著作兩類書籍的單價分別傳說故事和經典著作兩類書籍的單價分別為為16元、元、24元元.120008000=x+8x1.列方程解應用題要先找等量關系列方程解應用題要先找等量關系,然后用含有未知然后用含有未知數的代

24、數式表示每一個量數的代數式表示每一個量,再利用等量關系列出分式再利用等量關系列出分式方程方程.2.對求出的分式方程的解要進行對求出的分式方程的解要進行“雙重檢驗雙重檢驗”,既要既要檢驗求出的未知數的值是否為增根檢驗求出的未知數的值是否為增根,還要檢驗是否符還要檢驗是否符合題意合題意.第一部分第一部分 考點研究考點研究 第二章第二章 方程方程( (組組) )與不等式與不等式( (組組) ) 第四節(jié)第四節(jié) 一次不等式與一次不等式一次不等式與一次不等式組組一次不等式與一次不等式與一次不等式組一次不等式組不等式的性質不等式的性質一元一次不等式解法及解集表示一元一次不等式解法及解集表示不等式組解法及解集

25、表示不等式組解法及解集表示不等式的實際應用不等式的實際應用 考點精講不等式不等式的性質的性質1.如果如果ab,那么那么ac_bc2.如果如果ab,c0,那么那么acbc或或 3.如果如果ab,c0,那么那么ac_bc或或 _acbcacbc一元一次一元一次不等式解不等式解法及解集法及解集表示表示 解法步驟解法步驟:去分母去分母,_,移項移項, _,系數化為系數化為1解集在數解集在數軸上表示軸上表示去括號去括號合并同類項合并同類項xa_xaxa不等式組解法不等式組解法 及解集表示及解集表示不等式組解集的概念不等式組解集的概念:幾個不等式的解幾個不等式的解 集的公共部分集的公共部分,叫做由它們所組

26、成叫做由它們所組成 的不等式組的解集的不等式組的解集不等式組的解法不等式組的解法:先分別求出其中各個先分別求出其中各個 不等式的解集不等式的解集,再求出這些解集的再求出這些解集的 公共部分公共部分解集的表示解集的表示解集解集的表的表示示不等式組不等式組(ab)圖示圖示解集解集口訣口訣xaxb _同大取大同大取大xaxb _同小取小同小取小xaxb_大小、小大小、小大中間找大中間找xaxb _大大、小大大、小小取不了小取不了xabxaxb無解無解不等式不等式的實際的實際應用應用列不等式解應用題的基本步驟為列不等式解應用題的基本步驟為:1.審題審題; 2.設未知數設未知數;3.列不等式列不等式;4

27、.解不等式解不等式; 5.檢驗并寫出答案檢驗并寫出答案列不等式解應用題的特征列不等式解應用題的特征:對于列不等式解應對于列不等式解應 用題用題,一般所求問題中含有一般所求問題中含有“至少至少”()、 “最多最多”()、“不低于不低于”()、“不高于不高于”()、 “不大于不大于”()、“不小于不小于”()等詞等詞,要正確理要正確理解這些詞的含義解這些詞的含義 不等式組解法及解集表示不等式組解法及解集表示( (高頻) )例例1 解不等式組解不等式組 ，并把解集在數軸上并把解集在數軸上表示出來表示出來.【思路點撥思路點撥】分別解兩個不等式分別解兩個不等式, ,再取兩個解集的公再取兩個解集的公共部分確定不等式組的解集共部分確定不等式組的解集, ,最后用數軸表示解集最后用數軸表示解集. .2x-36-x1-4x5x-2 重難點突破解解：解不等式解不等式，得得x3，解不等式解不等式，得得x ，故不等式組的解集為故不等式組的解集為 x3，在數軸上表示如解圖在數軸上表示如解圖：2x-36-x 1-4x5x-2 ，13131.解不等式時要注意正確運用不等式的性質解不等式時要注意正確運用不等式的性質3,即在不即在不等式兩邊同時除以或乘以一