線段的垂直平分線

1、 第十三章第十三章 軸對稱軸對稱13.1.213.1.2線段的垂直平分線線段的垂直平分線AB13.1 線段的垂直平分線線段的垂直平分線PA=PBP1P1A=P1B命題命題：線段垂直平分線上的：線段垂直平分線上的點(diǎn)點(diǎn)和和這條線段兩個(gè)端這條線段兩個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)的距離相等。的距離相等。PMNC動手操作動手操作：直線MN垂直平分線段AB；在MN上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PA、PB；量一量：量一量：PA、PB的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？由此你能得到什么規(guī)律？由此你能得到什么規(guī)律？證明：證明：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。ABPMNCPA=

2、PB 直線直線MNAB,垂足為垂足為C, 且且AC=CB. 已知：如圖，已知：如圖，點(diǎn)點(diǎn)P在在MN上上.求證：求證：證明：MNAB PCA= PCB 在 PAC和 PBC中， AC=BC PCA= PCB PC=PC PAC PBC PA=PB 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。線段的垂直平分線性質(zhì)：線段的垂直平分線性質(zhì)：ABPMNCPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)和這線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 反過來，如果反過來，如果PA=PB，那么

3、點(diǎn)那么點(diǎn)P是否在線段是否在線段AB的垂的垂直平分線上呢？直平分線上呢？ （線段的垂直平分線性質(zhì)線段的垂直平分線性質(zhì)逆命題）逆命題）ABPC 反過來，如果反過來，如果PA=PB，那么點(diǎn)，那么點(diǎn)P是否在線段是否在線段AB的垂的垂直平分線上呢？直平分線上呢？PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上? 與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線在這條線 段的垂直平分線上。段的垂直平分線上。二、逆定理：二、逆定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線上。你能證明這個(gè)命題嗎？你能證

4、明這個(gè)命題嗎？ 線段的垂直平分線線段的垂直平分線一、性質(zhì)定理：一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。點(diǎn)的距離相等。PA=PB點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直的垂直平分線上平分線上與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線上的點(diǎn)與這線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 你能根據(jù)上述定理和逆定理，說出你能根據(jù)上述定理和逆定理，說出線段的垂直平分線的集合定義嗎？線段的垂直平分線的集合定義嗎？三、三、 線段的垂直平分線的集合定

5、義：線段的垂直平分線的集合定義： 線段的垂直平分線可以看作是與線線段的垂直平分線可以看作是與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合例1：課本P62尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線。AB.CDEK已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C，如圖：求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C。作法： （1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁。（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E。（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.21F(4)作直線。直線CF就是所求作的垂線。想一想，為什么直線CF就是所求作的垂線？練習(xí)：課本P62 練習(xí)1 練習(xí)2

6、小結(jié)： 一，線段的垂直平分線性質(zhì)：一，線段的垂直平分線性質(zhì)：線段垂直平線段垂直平 分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 二、逆定理：二、逆定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。作業(yè)： 習(xí)題13.1 課本P65 6題 課本P66 9題 12題（選做）例例2 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分線交于的垂直平分線交于P.求證：求證：PA=PB=PC;BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直

7、平分線上分析：結(jié)論：結(jié)論： 三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。你能依據(jù)例1得到什么結(jié)論？例例2 已知已知:如圖如圖,在在ABC中中,邊邊AB，BC的垂直平分的垂直平分 線交于線交于P.求證：求證：PA=PB=PC;證明：證明：點(diǎn)點(diǎn)P在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線MN上，上，PA=PB（？）（？）.同理同理 PB=PC.PA=PB=PC.BACMNMNPBAC13.1 線段的垂直平分線線段的垂直平分線1、求作一點(diǎn)、求作一點(diǎn)P，使，使它和已它和已ABC的三的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等個(gè)頂點(diǎn)距離相等.實(shí)際問

8、題實(shí)際問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實(shí)際問題實(shí)際問題114.1 線段的垂直平分線線段的垂直平分線2、如圖，在直線、如圖，在直線L上求上求作一點(diǎn)作一點(diǎn)P，使，使PA=PB.LAB實(shí)際問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化實(shí)際問題實(shí)際問題2pPA=PB數(shù)學(xué)問題源于生活實(shí)踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實(shí)踐服務(wù)數(shù)學(xué)問題源于生活實(shí)踐，反過來數(shù)學(xué)又為生活實(shí)踐服務(wù) 問題探討問題探討：1、如圖，在、如圖，在ABC中，中，ADBC于于D， AB+BD=DC。試問：試問：B與與C是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？OAB. C. D2、在、在V型公路（型公路（AOB）內(nèi)部，）內(nèi)部，有兩個(gè)村莊有兩個(gè)村莊C、D。你能選擇一個(gè)。你能選擇一個(gè)紡織廠的

9、廠址紡織廠的廠址P，使，使P到到V型公路的型公路的距離相等，且使距離相等，且使C、D兩村的工人兩村的工人上下班的路程一樣嗎？上下班的路程一樣嗎？ 12.3 角的平分線角的平分線ODEABPC 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的兩邊的距離相等距離相等。 到一個(gè)角的兩邊的到一個(gè)角的兩邊的距離相等距離相等的的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。 角的平分線是到角的角的平分線是到角的兩邊兩邊距離距離相等相等的所有點(diǎn)的集合的所有點(diǎn)的集合 13.1 線段的垂直平分線線段的垂直平分線 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等距離相等。 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等距離