概率論--2-4二維隨機(jī)變量及其概率分布ppt課件

1、 第二章 第四節(jié)二維隨機(jī)變量及其概率分布(23)一、二維隨機(jī)變量的概念一、二維隨機(jī)變量的概念二、二維離散型隨機(jī)變量二、二維離散型隨機(jī)變量三、二維延續(xù)型隨機(jī)變量三、二維延續(xù)型隨機(jī)變量以上我們只限討論一個(gè)隨機(jī)變量的情況,但在實(shí)踐問題一、二維隨機(jī)變量的概念定義定義1 1有些隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果需求用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來描畫.例如:為了研討大學(xué)生身體發(fā)育情況,中,學(xué)生進(jìn)展抽查,對(duì)某校大對(duì)于每個(gè)學(xué)生都能察看到他的身高H和體重W,這里H和W是兩個(gè)隨機(jī)變量,類似的例子還有許多.設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn) E 的樣本空間為 ,X ,Y 是定義在 上的兩個(gè)隨機(jī)變量,那么二維向量( X , Y ) 稱為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量

2、向量或二維隨機(jī)變量. .二維隨機(jī)變量( X , Y )的性質(zhì)不僅與 X 及 Y 有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系,留意留意:定義定義2 2因此逐個(gè)研討體來進(jìn)展研討.還必需將( X ,Y ) 作為一個(gè)整與一維的情況類似, 我們也借助于分布函數(shù)來研討二設(shè)( X , Y ) 是二維隨機(jī)變量,對(duì)恣意實(shí)數(shù) x , y , 二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量( X ,Y ) 的結(jié)合分布函數(shù).隨機(jī)變量 X 與 Y 是不夠的,維隨機(jī)變量.( , ),F x yP Xx Yy(1)在幾何上,xyO( , )x y假設(shè)把二維隨機(jī)變量( X ,Y )看作平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo),那么結(jié)合分布函數(shù) F (x ,y)在點(diǎn)(x

3、 , y)處的函數(shù)值,就是隨機(jī)點(diǎn)(X ,Y)落在以點(diǎn)(x , y)為頂點(diǎn)的左下方無窮矩形域內(nèi)的概率.由結(jié)合分布函數(shù)的幾何意義很容易得出落在一個(gè)矩形區(qū)域1212,xXxyYyxyO1x2x2y1y1212,P xXxyYy22122111(,)( ,)(,)( ,)F xyF x yF xyF x y內(nèi)的概率為:(2)隨機(jī)點(diǎn)( X ,Y )定理定理1 1(1) F ( X , Y )關(guān)于x ,y 均是非減函數(shù); (2)lim( , )0 xyF x ylim( , )0 xF x ylim( , )0yF x ylim( , )1xyF x y3關(guān)于均是右延續(xù)函數(shù)；( , )F x y, x y

4、4對(duì)恣意，均有12xx12yy221221110(,)(,)(,)(,)1F xyF x yF xyF x y二維隨機(jī)變量( X ,Y )的結(jié)合分布函數(shù) F (x , y)具有以下性質(zhì):留意到:( )XFx( ).YFylim,yP Xx Yy( ,).F x同理:( )(, ).YFyFy分別稱為二維隨機(jī)變量( X ,Y )關(guān)于X ,( )YFy( )XFx二維隨機(jī)變量( X , Y )的分量 X 與Y 分別是一維隨機(jī)變量,經(jīng)過( X , Y ) 的結(jié)合分布函數(shù)F ( X , Y )可以求出 X 與Y 各自的分布函數(shù)與( ),XFxP XxP Xx Y 與關(guān)于Y 的邊緣分布函數(shù).lim( ,

5、 )yF x y即有:( )( ,)XFxF x(3)(4)二、二維離散型隨機(jī)變量那么稱( X , Y ) 是二維離假設(shè)二維隨機(jī)變量( X ,Y )的全部能夠取值是有限多對(duì)或可列無窮多對(duì),( ,1,2,)ijx yi j 并稱,( ,1,2,)ijijP Xx Yypi j為二維離散型隨機(jī)變量( X , Y ) 的結(jié)合分布律.結(jié)合分布律的性質(zhì):(1)0,1,2,ijpi j(2)1.ijijp 散型隨機(jī)變量.的結(jié)合分布律通常用表格(矩陣)給出：,X YXY1y2yjy1x2xix11p12p1jp21p22p2 jp1 ip2ipijp( X ,Y )的結(jié)合分布函數(shù)F ( x ,y)( , )

6、,ijijijijxx yyxx yyF x yP Xx Yyp其中ijxx yy,ijxx yyijp由(X ,Y )的結(jié)合分布律還可求出 X 與 Y 各自的分布律.,iiP XxP Xx Y 12,iiP Xx YyP Xx Yy,ijP Xx Yy(1,2,)ijjpi求出:是對(duì)一切滿足的求和.可由上面的結(jié)合分布律(5)jP Yy(1,2,)ijipj(1,2,)iijijP Xxppi(1,2,)jijjiP Yyppj記:分別稱為( X ,Y )關(guān)于 X 關(guān)于 Y 的邊緣分布律.,jP XYy 在結(jié)合分布律的表格中,XY1y2yjy1x2xix11p12p1jp21p22p2 jp1

7、 ip2ipijp1p2pip1p2pjp1將每行與每列相加即可得到邊緣分布律.iiP XxPijP YyP例例1.1.設(shè)隨機(jī)變量 X 在1 , 2 , 3 , 4 這四個(gè)整數(shù)中等能夠另一個(gè)隨機(jī)變量 Y 在1 X 中等能夠地取一整數(shù)解解: :由于 X = i ,Y = j 的取值情況是:j 取不大于i 的正整數(shù) ,由乘法公式容易求得:所以( X , Y )的結(jié)合分布律與邊緣分布律為:,P Xi Yj(1 ,2 ,3 ,4 ,)iji試求二維隨機(jī)變量 ( X , Y ) 的結(jié)合分布律及邊緣i = 1 , 2 , 3 , 4 ,取值,值,|P XiP Yj Xi1 14 i布律.YX1 2 3 4

8、1418112018112000123411611611211600116iP14141414jP2548134874834811 14 i(1 ,2 ,3 ,4 ,)iji即有 X 邊緣分布律:12341.4PPPP1234251373,.48484848PPPPY 邊緣分布律:123 4XiiP XxpjjP Yyp2548123 41348748348Y14141414也即有:三、二維延續(xù)型隨機(jī)變量實(shí)數(shù) x ,y 都有定義定義3.3.函數(shù),( , )( , )xyF x yf u v dudv ( X ,Y )的結(jié)合概率密度函數(shù).那么稱( X ,Y )為二維延續(xù)型隨機(jī)變量,設(shè)F (x ,

9、 y) 為二維隨機(jī)變量( X , Y )的結(jié)合分布假設(shè)存在一個(gè)非負(fù)二元函數(shù) f ( x ,y ) ,使對(duì)恣意(6)并稱 f (x ,y) 為結(jié)合概率密度函數(shù) f (x ,y) 的性質(zhì):(1) f (x , y ) 0 ;(2)( , )1 ;f x y dxdy (3) 假設(shè) f ( x ,y ) 在點(diǎn)( x ,y ) 處延續(xù),2( , )( , ) ;F x yf x yx y (4)(, )( , ).DPX YDf x y dxdy落在域 中性質(zhì)(4)闡明在幾何上,概率,那么有( X ,Y )落在某平面區(qū)域 D 中的在數(shù)值上就是 f ( x ,y ) 在區(qū)域 D 上的二重積分.由( X

10、,Y )的結(jié)合概率密度函數(shù) f ( x ,y ) 變量 X 和 Y 的概率密度函數(shù)( )Xfx( ).Yfx由于( )( ,)( , )xXFxF xf u v dudv 而( )( ),xXXFxft dt所以( )( , )Xfxf x y dy同理有( )( , ).Yfyf x y dx稱為( X , Y )關(guān)于 X 的邊緣概率密度函數(shù);( )Xfx稱為( X ,Y )關(guān)于 Y 的邊緣概率密度函數(shù).( )Yfy和(7)(8)可求得一維隨機(jī)例例3.3.401,01( , )0 xyxyf x y其它(2)X ,Y 的邊緣概率密度函數(shù);求:1 10,12 4PXY及;P XY(3)求( X

11、 ,Y )的結(jié)合分布函數(shù) F ( X ,Y ) .解解: : (1).1 10,12 4PXY設(shè) ( X , Y )的結(jié)合概率密度函數(shù)為(1)1121044xydydx 15.6401014x yxyP XYxydxdy xyo111004yydyxdx(2).( )( , )Xfxf x y dy當(dāng)x 0 或 x 1 時(shí),( , )0 ,f x y ( )0 ;Xfx 那么當(dāng)0 x 1時(shí),( )( , )Xfxf x y dy1302y dy1.2104xydy2 . x201( )0Xxxfx其它那么有yx同理:201( )0Yyyfy其它(3).( , )( , )xyF x yf u v dudv 當(dāng)x 0 或 y 0 時(shí),( , )0 ,f u v 那么( , )0 ;F x y 當(dāng)0 x 1 且 0 y 1時(shí),( , )( , )xyF x yf u v dudv 22;x y004xyuvdudv 當(dāng)0 x 1 且 y 1 時(shí),1200( , )( , )4xyxF x yf u v dudvuvdudvx 當(dāng) x 1 且 0 y 1 時(shí),120