復合函數(shù)學習策略

1、復合函數(shù)學習策略 摘要復合函數(shù)是學習的難點，首先要清晰地認識它的結(jié)構(gòu)組成，然后才可研究并熟練掌握其各種性質(zhì)。關(guān)鍵詞 基本初等函數(shù) 復合函數(shù) 導數(shù) 第一類換元積分 微積分要研究的就是初等函數(shù)，由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或復合運算而得到的函數(shù)稱為初等函數(shù)。要深刻理解初等函數(shù)，就必須清晰地認識復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)組成。定義 設是的函數(shù)，是的函數(shù)，如果的值域包含在的定義域中，則通過構(gòu)成的函數(shù)，記作這種函數(shù)稱為復合函數(shù)，其中稱為中間變量。如是一個更復雜的函數(shù)，它可以看作是經(jīng)，復合而成。需要指出的是，復合函數(shù)可以由兩個以上函數(shù)復合而成，反過來，一個復雜的函數(shù)，根據(jù)需要也可以分解為若干個簡單函數(shù)的復合。例

2、如：可以分解為：，對于復合函數(shù)，我們作幾點解釋：（1） 復合函數(shù)是函數(shù)之間的一種運算；（2） 不是任何兩個函數(shù)都可以構(gòu)成一個復合函數(shù)，例如和就不能構(gòu)成復合函數(shù)，因為的定義域是，而的值域是2，)，前者的定義域不包含后者的值域。（3） 復合函數(shù)分解的結(jié)果不一定是純粹的基本初等函數(shù)，更多的是由基本初等函數(shù)經(jīng)四則運算形成的函數(shù)構(gòu)成的。我們把函數(shù)分解成了兩個函數(shù),即函數(shù), 為了稱呼方便,我們把,)叫內(nèi)層函數(shù), 叫外層函數(shù)。以上復合函數(shù)定義抽象，很多同學在學習時感到非常困難?，F(xiàn)以二層復合為例，從另一個角度來研究復合函數(shù)。教材把基本初等函數(shù)一般分為五大類，冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)，；反三角函數(shù)，

3、。如函數(shù)；都具有相同的結(jié)構(gòu)從形式上我們可以這樣來理解復合函數(shù)，若表示x, 即為基本初等函數(shù)，若表示x的其他表達式，即為復合函數(shù)。再如函數(shù)；等都具有相同的結(jié)構(gòu)，這樣我們可以把復合函數(shù)以外層為主，和相應的基本初等函數(shù)相對應?！纠?】 指出下列各復合函數(shù)由哪些簡單函數(shù)運算構(gòu)成.(1)y=log2(2x2+x-10)；(2)y=3；(3)y=2；【解前點津】 與基本初等函數(shù)對號，逐步分解.【規(guī)范解答】 (1)令y=log2u，u=2x2+x-10，故此復合函數(shù)由二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)運算構(gòu)成.(2)令y=3u，u=8x2-2，故此復合函數(shù)由二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)運算構(gòu)成.(3)令y=2u，u=sinv，v=2x+，故此復合函數(shù)由一次函數(shù)，正弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)運算構(gòu)成.【解后歸納】 判斷復合函數(shù)由哪些簡單函數(shù)運算構(gòu)成，其步驟是“由外向內(nèi)”，一步一個腳印，與基本初等函數(shù)對號.有上我們可以得到相應的復合函數(shù)的求導公式如 等【例2】【解前點津】與基本初等函數(shù)對號，選用對應的公式逐步求導【規(guī)范解答】【解后歸納】復合函數(shù)求導的關(guān)鍵:正確認識分解復合函數(shù)的結(jié)構(gòu). 只要認