巧用初等數(shù)學(xué)的方法求證正弦交流電有效值

1、巧用初等數(shù)學(xué)的方法求證正弦交流電有效值 在現(xiàn)行中學(xué)物理教材中，由于某些知識的起點(diǎn)較高，學(xué)生的認(rèn)知水平的限制及學(xué)生數(shù)學(xué)知識等條件的限制，有不少內(nèi)容都是直接給出結(jié)論性的知識 ，而不作深入研究這樣 的安 排對大多數(shù)學(xué)生來說是合理的、科學(xué)的如：正弦交電的峰值與有效值之間的關(guān)系這個問題在高中教材中都是直接給出的，不作證明但教師在教學(xué)過程中，可以不一定拘泥于教材的限制 ，特別是針對那些學(xué) 有所長的學(xué)生來說 ，教師要努力突破教科書的禁錮 ，在科學(xué) 、合理 ，不給學(xué)生增加負(fù)擔(dān)的原則下，另辟捷徑 ，對教材內(nèi)容進(jìn)行延伸，從而擴(kuò)大學(xué)生的知識面，提高學(xué)生的科學(xué)思維能力下面對正弦交流電的峰值與有效值之間的關(guān)系證明這個問

2、題，從初等數(shù)學(xué)的角度，借助思維的靈活性與巧妙性 ，來進(jìn)行闡述 ，達(dá)到挖掘教材深度，豐富教學(xué)內(nèi)容的目的u2OUm-UmTttO-UmTt 等效法：假設(shè)有兩個交變電壓其最大值與周期均相同，瞬時值表達(dá)式分別為u1=Umsint、u2=Umcost,其中，=2/T。把它們分別加在兩個阻值相同的電阻上，設(shè)電阻的阻值為R，由于電流的熱效應(yīng)與電流的方向及先后作用的時間順序無關(guān)，故在一個周期內(nèi)兩個交流電產(chǎn)生的熱量相等，設(shè)都為Q，產(chǎn)生的總熱量Q總=2Q。在任一時刻t，這兩個電阻上的熱功率分別為 ，兩個電阻上總的發(fā)熱功率為?？梢妰蓚€電阻上總的發(fā)熱功率是一個定值，與時刻t無關(guān)，所以在一個周期內(nèi)兩個電阻上總的發(fā)熱量為

3、.用一個恒定電壓為U的電源，分別給兩個相同的電阻R供電，在相同時間T內(nèi)，每個電阻產(chǎn)生的熱量是Q=，兩個電阻產(chǎn)生的總熱量為Q=.由熱效應(yīng)的等效可知?？傻?。而這個恒定電流的電壓U就是正弦交變電流的電壓的有效值。電流、電動勢有效值可同法證得。平均值法：設(shè)流過定值電阻R的電流按正弦規(guī)律變化，即i=Imsint,交流電的瞬時功率為p=i2R=Im2Rsin2t. 因?yàn)?代入得 。上式中，后一項(xiàng)在一個周期內(nèi)平均值為零，因此在一個周期內(nèi)交流電平均功率為：(為最大瞬時功率的一半)如果考慮一個恒定電流I與其等效，即P=I2R，就有P=，即，所以 圖像法： 設(shè)通過電阻R的正弦交流電電流表達(dá)式為，則 交流 電的瞬時功率為，作出交流電的 Pt圖象如圖所示 .由微元方法可知曲線與時間軸所包圍的面積表示交流電在一個周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量利 用割補(bǔ)法或“移峰填谷”的方法，將斜線所畫部分截下，倒過來恰好可以填充在 “谷 ”里從圖象可以很直觀地發(fā)現(xiàn) ：曲線與橫軸所包圍的面積，正好等于高為、寬為 T的矩形面積，此矩形面積在數(shù) 值上又恰等于該交流電在一個周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量 根據(jù)有效值的定義，有 ，即 ， 所以 。 數(shù)學(xué)是工具 ，掌握用數(shù)學(xué)方法分析、解決物理問題的能力， 是我們培養(yǎng)學(xué)生能力的其中一方面同時，在學(xué)好物理概念、規(guī)律等的基礎(chǔ)上，借助數(shù)學(xué)的巧妙運(yùn)算 ，能進(jìn)一步鞏固和擴(kuò)展學(xué)生