材料力學(xué)重點(diǎn)及其公式

1、材料力學(xué)重點(diǎn)及其公式1、材料力學(xué)的任務(wù)：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性;應(yīng)力 單位面積上的內(nèi)力平均應(yīng)力全應(yīng)力F：AdFdA正應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào) 切應(yīng)力相切于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)（1.1）（1.2）表示。.表示。應(yīng)力的量綱:圖1.2國(guó)際單位制：Pa（N/m2）、MPa、GPa 工程單位制：kgf /m2、kgf /cm2線應(yīng)變 單位長(zhǎng)度上的變形量，無量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點(diǎn)沿某一方向變形量的大小。 外力偶矩傳動(dòng)軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來計(jì)算,當(dāng)功率P單位為千瓦（kW,轉(zhuǎn)速為n （r/min ）時(shí)，外力偶矩為PMe =9549 （N .m）n當(dāng)功率

2、P單位為馬力（PS），轉(zhuǎn)速為n （r/min ）時(shí)，外力偶矩為PMe =7024 （N .m）n拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力二，且為平均分布，其計(jì)算公式為二二甩 （3-1）A式中Fn為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù) 。公式（3-1 ）的適用條件：（1 ）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時(shí)，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻;（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角:-_20°時(shí)拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力

3、為平均分布，其計(jì)算公式為全應(yīng)力 P-.二:丁 COSJ （3-2）正應(yīng)力-廠 COS2（ 3-3 ）1 切應(yīng)力sin 2（ 3-4 ）2式中二為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號(hào)規(guī)定：:由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。二:.拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。Ta 對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點(diǎn)結(jié)論：(1)當(dāng)=0°時(shí)，即橫截面上，達(dá)到最大值，即 G.噺 “丁。當(dāng)：=900時(shí)，即縱截面上，匚-.=90°=0。(2)當(dāng)-=45°時(shí)，即與桿軸成45°的斜截面上，：.達(dá)到最大值，即(.Jmax =-1 . 2拉(壓)桿的應(yīng)變和胡克定律(1

4、)變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短；受到軸向壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)。如圖3-2。軸向變形=l =li -I軸向線應(yīng)變圖3-2I 橫向變形I橫向線應(yīng)變b 正負(fù)號(hào)規(guī)定伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。b(3-5 )(2 )胡克定律 當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即或用軸力及桿件的變形量表示為I 二衛(wèi) (3-6)EA式中EA稱為桿件的抗拉(壓)剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。 公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即廣；p ；(b)在計(jì)算 l時(shí)，I長(zhǎng)度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計(jì)算，求其代數(shù)和得總變形。即泊松比當(dāng)應(yīng)力不超過

5、材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值。即v = (3-8)表1-1低碳鋼拉伸過程的四個(gè)階段階段圖1-5中線段特征點(diǎn)說明彈性階段oab比例極限O' pQ p為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力彈性極限be為不產(chǎn)生殘余變形的最咼應(yīng)力屈服階段bc屈服極限s為應(yīng)力變化不大而變形顯者增加時(shí)的最低 應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度CT bb為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)說明彈性性能彈性模量E當(dāng) b WCTp時(shí)，E =強(qiáng)度性能屈服極限as材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度ab材料的最大承載能力塑性性能L 一|延伸率& - 1

6、"00%l材料拉斷時(shí)的塑性變形程度截面收縮率屮=丄上玄100%A材料的塑性變形程度強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料c = s ；脆性材料 c =-入nb其中ns，nb稱為安全系數(shù)，且大于1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。對(duì)軸向拉伸（壓縮）桿件N r t（3-9）A按式（1-4 ）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類強(qiáng)度計(jì)算。2.1切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對(duì)產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交 線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無關(guān)。22純剪切單元體

7、各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2.4剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即=G （3-10）式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比,其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。對(duì)各向同性材料,E、'、G有下列關(guān)系G =一E一（3-11）2（1+十）切應(yīng)力計(jì)算公式T P橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為=（3-12）P Ip式中Ip為該截面對(duì)圓心的極慣性矩,'為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為t _T-maxWt(3-13)I

8、 p式中稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。R2.5.3 切應(yīng)力公式討論（1）切應(yīng)力公式（3-12 ）和式（3-13 ）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓截面直桿；對(duì)小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。（2）極慣性矩Ip和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù) Wt是截面幾何特征量，計(jì)算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高,其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理。 表3-3實(shí)心圓（外徑為d）nd4I p =p 32nd3Wt = 16空心圓 （外徑為D, 內(nèi)徑為d）nD44lp=k(1a )32d a -Di 4 兀D4Wt =(

9、1a ) 16強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)度條件為max<Wt 丿max(3-14)對(duì)等圓截面直桿maTmax < I- IWt（3-15 ）式中L I為材料的許用切應(yīng)力。中性層的曲率與彎矩的關(guān)系EI(3-16)式中，T是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；I E是橫截面對(duì)中性軸 Z軸的慣性矩。橫截面上各點(diǎn)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式M yIz(3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；Iz的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處M maxM maxJ maxymax1 zWz(3-18 )式中，W

10、z二丄 稱為抗彎截面系數(shù)。對(duì)于ymaxh b的矩形截面,12冗3Wzbh2 ；對(duì)于直徑為 D的圓形截面， WzD3;對(duì)于632d兀內(nèi)外徑之比為a的環(huán)形截面， W,D3(1_a4)。D32若中性軸是橫截面的對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等,3.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件若不是對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為max< L- |Wz(3-19)對(duì)于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對(duì)稱截面梁(如 表達(dá)為T字形截面、上下不等邊的工字形截面等)，其強(qiáng)度條件應(yīng)GmaxMmax< lct (3-20a)(3-20b)M maxr_

11、1-ymaxy2c II z式中，LJ分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力；y1,y2分別是最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)距中性軸的距離。3.3梁的切應(yīng)力，笑Izb(3-21)式中，Q是橫截面上的剪力； Sz是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對(duì)中性軸的靜矩；Iz是整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計(jì)算公式6Qh2bh3vy(3-22)最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)處,max工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為

12、二次曲線。計(jì)算公式為"瑩肆HF冗存-J塚近似計(jì)算腹板上的最大切應(yīng)力:圓形截面梁maxdhd為腹板寬度h 1為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距橫截面上同一高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為Q 二d2 2dQSZ Q 83二 _4Q不_ 二d4_ 3 Ad64(3-25)圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。3.4切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即T maxQmaxzmaxIzb(3-26)式中，Qmax是梁上的最大切應(yīng)力值；Szmax是中性軸一側(cè)面積對(duì)中性軸的靜矩；匚是橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是 ma

13、xmax不一定發(fā)生在中性軸上。處截面的寬度。對(duì)于等寬度截面，.max發(fā)生在中性軸上，對(duì)于寬度變化的截面,4.2剪切的實(shí)用計(jì)算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應(yīng)力為.=Q（ 3-27）A剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力！ 1,即 = Q _ （ 3-28）A5.2擠壓的實(shí)用計(jì)算(3-29)名義擠壓應(yīng)力假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則式中，Abs表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)為接觸面面積, 當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)為設(shè)計(jì)承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超

14、過材料的許用擠壓應(yīng)力-bsbs(3-30)1，變形計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩個(gè)橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。相距為l的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為i T0才(rad)(4.4)若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為，衛(wèi)(rad)GI P(4.5)圖4.2式中GI P稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，的正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相同。公式（4.4 ）的適用條件:（1）材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即._卡；（2） 在長(zhǎng)度I內(nèi)，T、G Ip均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時(shí)，則應(yīng)分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即(rad)(4.6)當(dāng)T、|p沿軸線連續(xù)變化時(shí)，用式(4.4)計(jì)算:。2,剛度條件

15、扭轉(zhuǎn)的剛度條件圓軸最大的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角'max不得超過許可的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角；'1,即'maxTmax< :/'GI P(rad/m) (4.7)'maxTmaxGI P1ji(/m)(4.8)2,撓曲線的近似微分方程及其積分在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時(shí)，得到彎矩與曲率的關(guān)系1 M 廠EI對(duì)于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對(duì)彎曲變形的影響，由上式可得(4.9)利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即'- xEI將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為r -dx C(4.10)再積分得撓曲線方程“打腎沁+CX + D1)式中，C,D為

16、積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時(shí)，積分常數(shù)的確定除需利用邊 界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3,梁的剛度條件限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即max(4.12)3,軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得V.二丄 F ：l2當(dāng)桿件的橫截面面積A軸力忌為常量時(shí)，由胡克定律-黑，可得Fn2i2EA(4.14)(4.15)在線彈性范圍內(nèi)，由功能原八心叮1桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為 應(yīng)變能密度，用V ；表示。線彈性范圍內(nèi)，得 V；=?；4，圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能將w與-代入上式得T2l2Glp(4.16)圖4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)

17、值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度Vr :5 ,梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時(shí)，由功能原理得1V =WM e 二£ 22將Me二M與V -叫代入上式得 V ,厘（4.18）El2EI圖4.6橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時(shí)，對(duì)于微段梁應(yīng)用2式（4.18），積分得全梁的彎曲應(yīng)變能 V，即vM（xdxs 8: 2EI1Vrr2(4.17)花靜矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩Sy = zdAyAI y = JAz2dA ” iy七I yz = JA yzdA2I p = L P dASz = 1 ydAA1 z = y2dA廠 iz TN（4.19）2 截面幾何性質(zhì)的

18、定義式列表于下:3 慣性矩的平行移軸公式"yca2AIyIzzc靜矩：平面圖形面積對(duì)某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖I-1所示。(I -1)定義式：Sy = JAzdA，Sz = L ydA量綱為長(zhǎng)度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)zc和yc。則由此可得薄板重心的坐標(biāo)同理有yc所以形心坐標(biāo)ZcSyA Zc - :Az dA = SyAZc 為 ZcAzdASySzycSzAzc，Sz =A yc(I -2)掙距的概忿=0，則 Sy = 0 ；由式（I -2 ）得知，若某坐標(biāo)軸通過形心軸，則圖形對(duì)該軸的靜矩等于零， 即yc =0 , Sz =0 ； Zc反之，若圖形對(duì)某一

19、軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正,如一個(gè)平面圖形是由幾個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第nn5 =為 A yCi , Sy = S Ai ZCii 二i 二n二.Ai yCii 4n' Aii 4yci, zo，則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為SzVC 7負(fù)或零。I塊分圖形的面積為Ai ，形心坐標(biāo)為ZcSyA(I -3 )(I -4 )§ I -2慣性矩和慣性半徑慣性矩：平面圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的二次矩,如圖I-4所示。量綱為長(zhǎng)度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義Iy二 Ay2dAI -5 )Iy IzI -6)n' Aii 4為圖形對(duì)y軸和對(duì)z軸的慣性半徑組合圖形的慣性矩。設(shè)iy：, |力為分圖形的慣性矩，則總圖形對(duì)同一軸慣性矩為n八Izii=1(I -7)若以t表示微面積dA到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離，則定義圖形對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn) O的極慣性矩I p = a :?2dA（i -8）因?yàn)?'：2=y2 z2所以極慣性矩與（軸）慣性矩有關(guān)系I p二A y2 z2 dA = I y I z（I -9 ）式（I -