解決橢圓部分問(wèn)題的新思路——化橢為圓

1、解決橢圓部分問(wèn)題的新思路化橢為圓山西大學(xué)附中 劉嘉信一、 概念與基本的推導(dǎo)化橢為圓，顧名思義，就是把橢圓變成圓。那如何實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)呢？這里我們以中心在坐標(biāo)系原點(diǎn)O點(diǎn)，長(zhǎng)軸在X軸上的橢圓為例，看看如何將橢圓變成一個(gè)圓（在本文中默認(rèn)ab0）：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：將（1）式中左右兩邊同時(shí)乘以可得：我們可以設(shè)，代入（2）式消去y就有：這時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)，（3）式中的形式就是xoz坐標(biāo)系里面的一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、以a為半徑的一個(gè)圓。這時(shí)我們就把一個(gè)xoy坐標(biāo)系里面的橢圓成功的變成了一個(gè)xoz坐標(biāo)系里面的一個(gè)比較特殊的圓。實(shí)際上，我們可以發(fā)現(xiàn)，這個(gè)方法的本質(zhì)就是把y軸人為地拉長(zhǎng)為原來(lái)的倍，變成xoz坐標(biāo)系。

2、二、 應(yīng)用無(wú)論什么理論，有實(shí)際的應(yīng)用才有價(jià)值，那么那么這個(gè)方法到底有什么用處呢？我們知道，一般情況下，解決橢圓與直線關(guān)系等的問(wèn)題時(shí)，我們需要聯(lián)立、求解或者用韋達(dá)定理求解出或者是，較為繁瑣，計(jì)算量較大，原因就是橢圓的幾何性質(zhì)太少，沒(méi)有辦法直接作出判斷。但是，在我們把橢圓變成圓以后，我們就可以利用圓的一些性質(zhì)來(lái)解決一些問(wèn)題。1、 判斷直線與橢圓的位置關(guān)系。比如我們已知一條直線L：我們還知道一個(gè)橢圓C：我們可以用上面的方法，設(shè)，代入（1）、（2）式得到：這時(shí)候，我們就可以看出來(lái)：（3）式是xoz坐標(biāo)系里面的一條直線，而（4）式是xoz坐標(biāo)系里面的一個(gè)圓心為（0,0）、半徑為a的一個(gè)圓。這樣我們就可以

3、用點(diǎn)線距離和半徑的關(guān)系來(lái)判斷橢圓C和直線L的位置關(guān)系。設(shè)d為（0,0）到（3）表示的直線L的距離，則有：既然知道了一個(gè)圓圓心與一條直線的距離和這個(gè)圓的半徑，那么二者的位置關(guān)系就十分好判斷了。2、 弦中點(diǎn)問(wèn)題弦中點(diǎn)問(wèn)題是我起的一個(gè)名字。在橢圓中這類問(wèn)題可以用化橢為圓的方法來(lái)解決。由于從xoy坐標(biāo)系變成xoz坐標(biāo)系以后，原來(lái)的弦的中點(diǎn)仍然是中點(diǎn)，所以我們就可以連接圓心（即坐標(biāo)原點(diǎn)）和這個(gè)中點(diǎn)，制造出一個(gè)垂直（弦的垂直平分線）。下面我舉個(gè)例子：【例1】已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，求該橢圓所有的斜率為2的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。【解析】我們用上面的方法就可以把橢圓變成：。由于我們是要在xoz坐標(biāo)系里面做工作

4、，所以必須把直線也變進(jìn)來(lái)。設(shè)這些弦所在的直線的方程為：，把y代換成z就有：。我們知道，圓里面弦的中點(diǎn)與圓心（這里是坐標(biāo)原點(diǎn)）的連線與這條弦所在直線垂直，所以，很明顯就有這些中點(diǎn)一定分布在直線上面，即。因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)一定在橢圓內(nèi)部，所以我們只需再加上范圍即可。不必再用原來(lái)的代入消元求解的方法，十分簡(jiǎn)潔?！纠?】已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，P、Q為橢圓C上的兩點(diǎn)，直線OP、OQ的斜率的乘積為。求|OP|+|OQ|?！窘馕觥吭O(shè)P，Q 我們可以按照上面的方法把C的方程變成，于是在xoz坐標(biāo)系里面，有：，。因?yàn)镺P、OQ過(guò)原點(diǎn)，所以，；變成xoz坐標(biāo)系后，因?yàn)椤?，所以、。又因?yàn)?，所以有，即在xoz坐標(biāo)系中，OPOQ，所以。所以：三、 注意對(duì)于這種方法，我們必須注意兩點(diǎn)：1、 對(duì)于大多數(shù)給定某一個(gè)角度的題目，這個(gè)方法并不適用，因?yàn)榻墙?jīng)過(guò)對(duì)y軸的拉伸之后就變了，失去了原來(lái)的集合