小學(xué)奧數(shù)—抽屜原理(共8頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上小學(xué)奧數(shù)抽屜原理（一）先了解一下抽屜原理的概念，然后結(jié)合一些較復(fù)雜的抽屜原理問題，討論如何構(gòu)造抽屜。抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于2件。抽屜原理2將多于m×n件物品任意放到到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品不少于（m+1）件。理解抽屜原理要注意幾點(diǎn)： (1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關(guān)系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或抽屜數(shù)的倍數(shù)多，至于多多少，這倒無妨。（2）“任意放”的意思是不限制把物品放進(jìn)抽屜里的方法，不規(guī)定每個(gè)抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個(gè)抽屜放物品的個(gè)數(shù)。（3）抽屜原理只能用來解決存在

2、性問題，“至少有一個(gè)”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個(gè)，但這里只需保證存在一個(gè)達(dá)到要求的抽屜就夠了。 （4）將a件物品放入n個(gè)抽屜中，如果a÷n= mb，其中b是自然數(shù)，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個(gè)抽屜中的物品數(shù)不少于（m+1）件。例1 五年級(jí)有47名學(xué)生參加一次數(shù)學(xué)競賽，成績都是整數(shù)，滿分是100分。已知3名學(xué)生的成績?cè)?0分以下，其余學(xué)生的成績均在7595分之間。問：至少有幾名學(xué)生的成績相同？分析與解：關(guān)鍵是構(gòu)造合適的抽屜。既然是問“至少有幾名學(xué)生的成績相同”，說明應(yīng)以成績?yōu)槌閷希瑢W(xué)生為物品。除3名成績?cè)?0分以下的學(xué)生外，其余成績均在7595分之間，7595共有

3、21個(gè)不同分?jǐn)?shù)，將這21個(gè)分?jǐn)?shù)作為21個(gè)抽屜，把47-3=44（個(gè)）學(xué)生作為物品。例2 夏令營組織2000名營員活動(dòng)，其中有爬山、參觀博物館和到海灘游玩三個(gè)項(xiàng)目。規(guī)定每人必須參加一項(xiàng)或兩項(xiàng)活動(dòng)。那么至少有幾名營員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同？分析與解：本題的抽屜不是那么明顯，因?yàn)閱柕氖恰爸辽儆袔酌麪I員參加的活動(dòng)項(xiàng)目完全相同”，所以應(yīng)該把活動(dòng)項(xiàng)目當(dāng)成抽屜，營員當(dāng)成物品。營員數(shù)已經(jīng)有了，現(xiàn)在的問題是應(yīng)當(dāng)搞清有多少個(gè)抽屜。例3把125本書分給五（2）班學(xué)生，如果其中至少有1人分到至少4本書，那么，這個(gè)班最多有多少人？分析與解：這道題一下子不容易理解，我們將它變變形式。因?yàn)槭前褧纸o學(xué)生，所以學(xué)生是抽屜，書

4、是物品。本題可以變?yōu)椋?25件物品放入若干個(gè)抽屜，無論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜中放有4件物品，求最多有幾個(gè)抽屜。這個(gè)問題的條件與結(jié)論與抽屜原理2正好相反，所以反著用抽屜原理2即可。例4五（1）班張老師在一次數(shù)學(xué)課上出了兩道題，規(guī)定每道題做對(duì)得2分，沒做得1分，做錯(cuò)得0分。張老師說：可以肯定全班同學(xué)中至少有6名學(xué)生各題的得分都相同。那么，這個(gè)班最少有多少人？分析與解：由“至少有6名學(xué)生各題的得分都相同”看出，應(yīng)該以各題得分情況為抽屜，學(xué)生為物品。例3與例4盡管都是求學(xué)生人數(shù)，但因?yàn)閱栴}不同，所以構(gòu)造的抽屜也不同，例3中將學(xué)生作為抽屜，例4中則將學(xué)生作為物品?？梢娎贸閷显斫忸}，應(yīng)根據(jù)問題靈活構(gòu)造

5、抽屜。一般地，當(dāng)問“最少有多少××”時(shí)，應(yīng)將××作為物品，如例1，2，4；當(dāng)問“最多有多少××時(shí)，應(yīng)將××作為抽屜，如例3。例5任意將若干個(gè)小朋友分為五組。證明：一定有這樣的兩組，兩組中的男孩總數(shù)與女孩總數(shù)都是偶數(shù)。分析與解：因?yàn)橐唤M中的男孩人數(shù)與女孩人數(shù)的奇偶性只有下面四種情況：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）。1.某單位購進(jìn)92箱桔子，每箱至少110個(gè)，至多138個(gè)，現(xiàn)將桔子數(shù)相同的作為一組，箱子數(shù)最多的一組至少有幾箱？2.幼兒園小朋友分200塊餅干，無論怎樣分都有人至少分到8塊餅干，這群小朋友至

6、多有多少名？3.有若干堆分幣，每堆分幣中沒有幣值相同的分幣。任意挑選多少堆分幣，才能保證一定有兩堆分幣的組成是相同的？4.圖書館有甲、乙、丙、丁四類圖書，規(guī)定每個(gè)同學(xué)最多可以借兩本不同類的圖書，至少有多少個(gè)同學(xué)借書，才能保證有兩個(gè)人所借的圖書類別相同？5.我國人口已超過12億，如果人均壽命不超過75歲，那么我國至少有兩個(gè)人出生的時(shí)間相差不會(huì)超過2秒鐘。這個(gè)結(jié)論是否正確？6.紅光小學(xué)五（2）班選兩名班長。投票時(shí)，每個(gè)同學(xué)只能從4名候選人中挑選2名。這個(gè)班至少應(yīng)有多少個(gè)同學(xué)，才能保證有8個(gè)或8個(gè)以上的同學(xué)投了相同的2名候選人的票？7.把135塊餅干分給16個(gè)小朋友，若每個(gè)小朋友至少要分到一塊餅干，

7、那么不管怎樣分，一定會(huì)有兩個(gè)小朋友得到的餅干數(shù)目相同。為什么？小學(xué)奧數(shù)抽屜原理（二）專題簡析：在抽屜原理的第（2）條原則中，抽屜中的元素個(gè)數(shù)隨著元素總數(shù)的增加而增加，當(dāng)元素總數(shù)達(dá)到抽屜數(shù)的若干倍后，可用抽屜數(shù)除元素總數(shù)，寫成下面的等式： 元素總數(shù)=商×抽屜數(shù)+余數(shù)如果余數(shù)不是0，則最小數(shù)=商+1；如果余數(shù)正好是0，則最小數(shù)=商。例題1：幼兒園里有120個(gè)小朋友，各種玩具有364件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？把120個(gè)小朋友看做是120個(gè)抽屜，把玩具件數(shù)看做是元素。則364=120×3+4，4120。根據(jù)抽屜原理的第（2）條規(guī)則：如果把m

8、15;x×k（xk1）個(gè)元素放到x個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里含有m+1個(gè)或更多個(gè)元素。可知至少有一個(gè)抽屜里有3+1=4個(gè)元素，即有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具。練習(xí)1：1、 一個(gè)幼兒園大班有40個(gè)小朋友，班里有各種玩具125件。把這些玩具分給小朋友，是否有人會(huì)得到4件或4件以上的玩具？2、把16枝鉛筆放入三個(gè)筆盒里，至少有一個(gè)筆盒里的筆不少于6枝。這是為什么？3、把25個(gè)球最多放在幾個(gè)盒子里，才能至少有一個(gè)盒子里有7個(gè)球？例題2：布袋里有4種不同顏色的球，每種都有10個(gè)。最少取出多少個(gè)球，才能保證其中一定有3個(gè)球的顏色一樣？把4種不同顏色看做4個(gè)抽屜，把布袋中的球看做元素。根據(jù)抽

9、屜原理第（2）條，要使其中一個(gè)抽屜里至少有3個(gè)顏色一樣的球，那么取出的球的個(gè)數(shù)應(yīng)比抽屜個(gè)數(shù)的2倍多1。即2×4+1=9（個(gè)）球。列算式為 （31）×4+1=9（個(gè)）練習(xí)2：1、布袋里有組都多的5種不同顏色的球。最少取出多少個(gè)球才能保證其中一定有3個(gè)顏色一樣的球？2、一個(gè)容器里放有10塊紅木塊、10塊白木塊、10塊藍(lán)木塊，它們的形狀、大小都一樣。當(dāng)你被蒙上眼睛去容器中取出木塊時(shí)，為確保取出的木塊中至少有4塊顏色相同，應(yīng)至少取出多少塊木塊？3、一副撲克牌共54張，其中113點(diǎn)各有4張，還有兩張王的撲克牌。至少要取出幾張牌，才能保證其中必有4張牌的點(diǎn)數(shù)相同？例題3：某班共有46名

10、學(xué)生，他們都參加了課外興趣小組?；顒?dòng)內(nèi)容有數(shù)學(xué)、美術(shù)、書法和英語，每人可參加1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)或4個(gè)興趣小組。問班級(jí)中至少有幾名學(xué)生參加的項(xiàng)目完全相同？參加課外興趣小組的學(xué)生共分四種情況，只參加一個(gè)組的有4種類型，只參加兩個(gè)小組的有6個(gè)類型，只參加三個(gè)組的有4種類型，參加四個(gè)組的有1種類型。把4+6+4+1=15（種）類型看做15個(gè)抽屜，把46個(gè)學(xué)生放入這些抽屜，因?yàn)?6=3×15+1，所以班級(jí)中至少有4名學(xué)生參加的項(xiàng)目完全相同。練習(xí)3：1、某班有37個(gè)學(xué)生，他們都訂閱了小主人報(bào)、少年文藝、小學(xué)生優(yōu)秀作文三種報(bào)刊中的一、二、三種。其中至少有幾位同學(xué)訂的報(bào)刊相同？2、學(xué)校開辦了繪畫、笛子

11、、足球和電腦四個(gè)課外學(xué)習(xí)班，每個(gè)學(xué)生最多可以參加兩個(gè)（可以不參加）。某班有52名同學(xué)，問至少有幾名同學(xué)參加課外學(xué)習(xí)班的情況完全相同？3、庫房里有一批籃球、排球、足球和鉛球，每人任意搬運(yùn)兩個(gè)，問：在31個(gè) 搬運(yùn)者中至少有幾人搬運(yùn)的球完全相同？例題4：從1至30中，3的倍數(shù)有30÷3=10個(gè)，不是3的倍數(shù)的數(shù)有3010=20個(gè)，至少要取出20+1=21個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是3的倍數(shù)。練習(xí)4：1、在1，2，3，49，50中，至少要取出多少個(gè)不同的數(shù)，才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)能被5整除？2、從1至120中，至少要取出幾個(gè)不同的數(shù)才能保證其中一定有一個(gè)數(shù)是4的倍數(shù)？3、從1至36

12、中，最多可以取出幾個(gè)數(shù)，使得這些數(shù)中沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)？例題5：將400張卡片分給若干名同學(xué)，每人都能分到，但都不能超過11張，試證明：找少有七名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。這題需要靈活運(yùn)用抽屜原理。將分得1，2，3，11張可片看做11個(gè)抽屜，把同學(xué)人數(shù)看做元素，如果每個(gè)抽屜都有一個(gè)元素，則需1+2+3+10+11=66（張）卡片。而400÷66=64（張），即每個(gè)周體都有6個(gè)元素，還余下4張卡片沒分掉。而這4張卡片無論怎么分，都會(huì)使得某一個(gè)抽屜至少有7個(gè)元素，所以至少有7名同學(xué)得到的卡片的張數(shù)相同。練習(xí)5：1、把280個(gè)桃分給若干只猴子，每只猴子不超過10個(gè)。證明：無論怎樣分，至

13、少有6只猴子得到的桃一樣多。2、把61顆棋子放在若干個(gè)格子里，每個(gè)格子最多可以放5顆棋子。證明：至少有5個(gè)格子中的棋子數(shù)目相同。3、汽車8小時(shí)行了310千米，已知汽車第一小時(shí)行了25千米，最后一小時(shí)行了45千米。證明：一定存在連續(xù)的兩小時(shí)，在這兩小時(shí)內(nèi)汽車至少行了80千米。習(xí)題1木箱里裝有紅色球3個(gè)、黃色球5個(gè)、藍(lán)色球7個(gè)，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個(gè)球的顏色相同，則最少要取出多少個(gè)球？2一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有3張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？3有11名學(xué)生到老師家借書，老師的書房中有、四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。試證明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書的

14、類型相同4有50名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行某個(gè)項(xiàng)目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝。試證明：一定有兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員積分相同。5體育用品倉庫里有許多足球、排球和籃球，某班50名同學(xué)來倉庫拿球，規(guī)定每個(gè)人至少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球，問至少有幾名同學(xué)所拿的球種類是一致的？6某校有55個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，已知將參賽人任意分成四組，則必有一組的女生多于2人，又知參賽者中任何10人中必有男生，則參賽男生的人數(shù)為多少人？7有黑色、白色、藍(lán)色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的時(shí)候不許看顏色），才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。8一些蘋果和梨混放在一個(gè)筐里，小明把這筐水果分成了若干堆，后來發(fā)現(xiàn)無論怎么分，總能從這若干堆里找到兩堆，把這兩堆水果合并在一起后，蘋果和梨的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，那么小明至少把這些水果分成了多少堆？9從1，3，5，99中，至少選出多少個(gè)數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)的和是100。10某旅游車上有47名乘客，每位乘客都只帶有一種