石景山區(qū)2020屆高三一模數(shù)學(xué)試卷及答案

1、2020年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測試本試卷共6頁，滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘.請務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效，考試結(jié)束后上交答題卡.第一部分（選擇題共40分）、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.設(shè)集合 P 1,2,3,4 , Q x|x| 3,x R,則 P Q 等于2.3.4.5.A. 1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是A. 8+4i卜列函數(shù)中,A.A.B.1,2,3C. 3,4D. 3, 2, 1,0,1,2,35+6i, 3-2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A,B.若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)B. 2+8iC. 4+2iD.1+4

2、i既是奇函數(shù)又在區(qū)間0,上單調(diào)遞減的是2xxB. y 2C. y In xD.8y 13 0的圓心到直線ax y 10的距離為3B.4C. .3D.1人，不同的分配將4位志愿者分配到博物館的 3個(gè)不同場館服務(wù)，每個(gè)場館至少6.A. 2B. 4C. 5D. 8高三數(shù)學(xué)試題第7頁（共14頁）7.函數(shù) f x cos x 一 ( 60)的最小正周期為，則f x滿足A.在 0, 一3上單調(diào)遞增B.圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱65 一 .c. fD.當(dāng)x 5-時(shí)有最小值1128. 設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S.則“S+S3 2s2”是“an為遞增數(shù)列T的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條

3、件D.既不充分也不必要條件9. 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，若存在兩個(gè)不等實(shí)數(shù)Xi,X2 R ,使得x1 x2f(x1) f (x2)f (),則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P,那么下列函數(shù):221X 022f(x) x ;f (x) x2； f (x) |x21| ；0x0具有性質(zhì)P的函數(shù)的個(gè)數(shù)為A. 0B. 1C. 2D. 310.點(diǎn)M, N分別是長為2的正方體ABCDABQ1D1中棱BC,CCi的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在正方形BCCiBi (包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若PA /面AMN ,則PA的長度范圍是A. 2, 5C. ±32D. 2,3第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題

4、5分，共25分.11.uuv 1 . 3已知向量BA (1,)2 2uuv .31BC (,1),則 ABC2 212.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a11 ,其前n項(xiàng)和為Sn n N* ,且13.14.15.aia2一,貝U S4 a3能夠說明“設(shè)a,b是任意非零實(shí)數(shù)，若整數(shù)a, b的值依次為已知F是拋物線C: y2 4x的焦點(diǎn),點(diǎn)N .若M為FN的中點(diǎn)，則FN1b,則一 a1一"是假命題的一組b石景山區(qū)為了支援邊遠(yuǎn)山區(qū)的教育事業(yè)，組織了一支由fm的延長線交y軸于13名一線中小學(xué)教師此隊(duì)員組成的支教團(tuán)隊(duì)，記者采訪其中某隊(duì)員時(shí)詢問這個(gè)團(tuán)隊(duì)的人員構(gòu)成情況,回答：有中學(xué)高級(jí)教師； 中學(xué)

5、教師不多于小學(xué)教師；小學(xué)高級(jí)教師少于中學(xué)中級(jí)教師；小學(xué)中級(jí)教師少于小學(xué)高級(jí)教師；支教隊(duì)伍的職稱只有小學(xué)中級(jí)、小學(xué)高級(jí)、中學(xué)中級(jí)、中學(xué)高級(jí)；無論是否把我計(jì)算在內(nèi)，以上條件都成立.由此隊(duì)員的敘述可以推測出他的學(xué)段及職稱分別是 、.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16 .（本小題14分）如圖，在正四棱錐 P ABCD中,AB PB 2虎，AC BD O .（I）求證：BO 面 PAC ；（n）求二面角 A PC B的余弦值.17 .（本小題14分）2020年，北京將實(shí)行新的高考方案.新方案規(guī)定：語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科高三數(shù)學(xué)試題第4頁（共14頁）目，考生

6、還需從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理和政治六個(gè)科目中選取三個(gè)科目作為選考 科目.若一個(gè)學(xué)生從六個(gè)科目中選出了三個(gè)科目作為選考科目，則稱該學(xué)生的選考方案確 定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定.例如，學(xué)生甲選擇“物理、化學(xué)和生物”三個(gè)選考 科目，則學(xué)生甲的選考方案確定，“物理、化學(xué)和生物”為其選考方案.某校為了解高一年級(jí) 840名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取60名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)選考科目人數(shù)如下表：性別選考方案確定情況物理化學(xué)生物歷史地理政治男生選考方案確定的有16人16168422選考方案待確定的有 12人860200女生選考方案確定的有 20人610201626選考方案待確定的有 12人2

7、810002(I )估計(jì)該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有多少人？(n)從選考方案確定的16名男生中隨機(jī)選出 2名，求恰好有一人選“物理、化學(xué)、生物” 的概率；(出)從選考方案確定的 16名男生中隨機(jī)選出 2名，設(shè)隨機(jī)變量0兩名男生選考方案不同1兩名男生選考方案相同,求的分布列和期望18 .(本小題14分)已知銳角4ABC ,同時(shí)滿足下列四個(gè)條件中的三個(gè)： A= p a= 13 c= 15sinC= 133(I )請指出這三個(gè)條件，并說明理由； (n)求4ABC的面積.19.(本小題15分)222已知橢圓C:0 yY 1( a b 0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率為 .直線l

8、過點(diǎn)ab2F且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,線段AB的中點(diǎn)為M .(I)求橢圓C的方程；(n)證明：直線 OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(出)延長線段OM與橢圓C交于點(diǎn)P ,若四邊形OAPB為平行四邊形，求此時(shí)直線l的 斜率.20 .(本小題14分)已知函數(shù) f(x) x2(x 0), g(x) a In x(a 0).(i)若f(x) g(x)恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；(n)當(dāng)a 1時(shí)，過f(x)上一點(diǎn)(1,1)作g(x)的切線，判斷：可以作出多少條切線，并 說明理由.21 .(本小題14分)有限個(gè)元素組成的集合A a1，a2，,an , n N* ,記集合 A中的元素個(gè)

9、數(shù)為card (A),即card (A) n.定義A A x y |x A, y A,集合a A中的元素個(gè)數(shù)記為card (A+A),當(dāng)card (A+A)= n(n 1)時(shí),稱集合 A具有性質(zhì)P .(I ) A 1,4,7 , B 2,4,8,判斷集合A,B是否具有性質(zhì)P,并說明理由；(n)設(shè)集合 A a1, a2,a3,2020 , a1 a2 a3 2020 且 ai N (i 1,2,3),右集合A具有性質(zhì)P ,求a a2 a3的最大值；(出)設(shè)集合A 值色，an,其中數(shù)列an為等比數(shù)列，ai 0(i 1,2, ,n)且公比為有理數(shù)，判斷集合集合A是否具有性質(zhì)P并說明理由.高三數(shù)學(xué)試題

10、第9頁(共14頁)2020年石景山區(qū)高三統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)試卷答案及評(píng)分參考、選擇題：本大題共 10個(gè)小題，每小題 4分，共40分.題號(hào)12345678910答案BCDAABDCCB二、填空題：本大題共 5個(gè)小題，每小題5分，共25分.11. ;12. 15;13 .2,-1 ;答案不唯一614 . 3;15.小學(xué)中級(jí).三、解答題：本大題共 6個(gè)小題，共85分.解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16 .（本小題14分）（I）證明：聯(lián)結(jié) PO.在正四棱錐P ABCD中，PO 底面 ABCD .因?yàn)锽O 平面ABCD所以PO BO. 3分在正方形ABCD中，BO AC ,又因?yàn)镻OI AC O

11、,所以BO 面PAC. 6分（n）解：由（I）知， PO , AO, BO兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 7分在正方形 ABCD中，因?yàn)?AB 2我，所以AO 2.又因?yàn)镻B 2 2所以PO 2 .所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0, 0, 2),點(diǎn)C的坐標(biāo)為C( 2, 0, 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(0, 2, 0).uuruuu則 PC ( 2, 0, 2) , CB (2, 2, 0).由(I)知，BO 平面PAC .ur uuu所以平面PAC的一個(gè)法向量為 r OB (0, 2, 0) . 10分uu設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量n2 (x, y, z) .uu uurn2gPC 0,

12、2x 2z 0,則uun即,ngCB 0, 2x 2y 0.令 y 1,則 x 1 , z 1.故平面PBC的一個(gè)法向量uu n21,1,1) 13分ir uucos Ri, n2ur uu«-1»|也 |所以二面角APC B的余弦值為14分高三數(shù)學(xué)試題第15頁（共14頁）8+20=28人 1分4分5分6分8分p(A)c8c8 gC26 1517 .(本小題14分)解：(I )由數(shù)據(jù)知，60人中選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有 所以該學(xué)校高一年級(jí)選考方案確定的學(xué)生中選考生物的學(xué)生有28,840 一 392 人60(II)選考方案確定且為“物理，化學(xué)，生物”的男生共有8人

13、。設(shè)“恰好有一人選物理、化學(xué)、生物”為事件 A（m）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的男生中有 8人選擇物理、化學(xué)和生物；有 4人選擇物 理、化學(xué)和歷史； 有2人選擇物理、化學(xué)和地理 ；有2人選擇物理、化學(xué)和 政 治.9分的可能取值為0,1.P(0)c8c8c4cc2c2P(1)216710C：C2 C2 C2CZ31012分所以的分布列為:0 - 1101031014分01P73101018 .（本小題14分）解：（I） zABC同時(shí)滿足，.理由如下：若 ABC同時(shí)滿足，則在銳角 ABC中,11sin C一一，所以0<C326又因?yàn)锳，所以一<A+C 332所以b 2,這與abc是銳角三

14、角形矛盾,所以4ABC不能同時(shí)滿足,所以4ABC同時(shí)滿足，.因?yàn)閏 a所以C A若滿足則A C ,則B ,這與zABC是銳角三角形矛盾 62故zABC不滿足.故4ABC滿足，.(n)因?yàn)?a2 b2 c2 2bccosA,1。分所以 132 b2 1 52 2 b 15 1. 2解得b 8或b 7 . 12分_22 ._272 1 32 1 52 八當(dāng) b 7 時(shí)，cosC 02 7 13所以C為鈍角，與題意不符合，所以b 8. 13分所以 ABC 的面積 S -bcsinA 3073 . 14 分219.(本小題15分)解：(I)由已知c 1, e c , 2分a 2又a2 b2 c2,解得

15、a夜,b 1 4分2所以橢圓方程為y2 1. 5分2(n)設(shè)直線l的方程為y k(x 1)(k 0)2x 2.y 1, , r聯(lián)立2消去y得y k(x 1)(k 0)(2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 0,不妨設(shè) A(xy)B8, y2)7 分則 X1X24k22ky-為線段AB的中點(diǎn)所以XmX1X222k22k"Vm k(XM 1)k2k2 1所以kOMyMXM12k所以k°MkiJ k 2k1一為定值.210分（m）若四邊形uuOAPB為平行四邊形，則OAuuuOBuuuOP12分所以XpX1X24k22k2Vp V1 V2 k(X 1)k(X2 1)k(XX22

16、)2k 2k213分因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以)2(2k2 114分解得k2 1即k 22所以當(dāng)四邊形 OAPB為平行四邊形時(shí)，直線l的斜率為15分20.（本小題14分）.解：(I)令 h(x) =f (x) g(x)2x aln x(x 0)所以 h (x)=2x - x222x a高三數(shù)學(xué)試題第17頁(共14頁)*2x2 a2a令 h (x)= 0 ,解得 x J-當(dāng)x變化時(shí)，h (x), h(x)的變化情況如下表:x喑(島)h (x)一0+h(x)減極小值增所以在(0,)的最小值為hja)aalnjaa-ln-6分令 h(ja) 0 解得 0 a 2e.22222 22所以當(dāng)0 a 2e時(shí)，

17、h(x) 0恒成立，即f (x) g(x)恒成立.7分(n)可作出2條切線.8分理由如下：當(dāng)a 1時(shí)，g(x) lnx.設(shè)過點(diǎn)(1,1)的直線l與g(x) ln x相切于點(diǎn)P(x°, y°), 9分,、y0 11lnx。1則 g (x°)即 -x0 1x0x0 1整理得 lnx0 2x0 1 0 10 分令m(x) xln x 2x 1,則m(x)在(0,)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與切點(diǎn) P的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng).m (x) lnx 1,令 m(x) ln x 1 0解得 x e . 11 分當(dāng)X變化時(shí)，m (x), m(x)的變化情況如下表:x(0,e)e(e,)m (x)一0+m(x

18、)減極小值增所以 m(x)在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,)上單調(diào)遞增11124且 m( )ln 2211 0ee ee em(e) e In e 2e 1e 1 0m(e2) e2 lne2 2e2 1 1 0 13 分12.所以 m(x)在(方,e)和(e,e )上各有一個(gè)零點(diǎn)，即 xlnx 2x 1 0有兩個(gè)不同的解.e14分所以 過點(diǎn)(1,1)可作出y ln x的2條切線.21.(本小題14分)解：(I )集合A不具有性質(zhì)P ,集合B具有性質(zhì)P .A A 2,5,8,11,14 ,card(A+A)=5 %口不具有性質(zhì) P;2B B 4,6,8,10,12,16 ,card(B+B)=6 33,具有性質(zhì) P. 3 分2(n)若三個(gè)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，則 A a,b,c不具有性質(zhì)P,理由是a c 2b.因?yàn)?aa2a3 2020 且 ai N(i 1,2,3)所以 a3 2019,要彳a1 a2 a3取最大，則a3 2019；a22018 ,易知2018,2019 ,2020不具有性質(zhì)P ,要使a a2 a3取最大，則 a22017；a1 2016 ,要使a1 a2 a3取最大，檢驗(yàn)可得a