清華大學(xué)微積分試題庫完整

1、.word格式,(3343).微分方程 y' + y tan x_cosx = 0 的通解為 y = (x + C)cosx。1 y(4455).過點(一,0)且滿足關(guān)系式 y'arcsin x 十 二-=1的曲線方程為2 1 -x2x . t .-2x(4532) .若連續(xù)函數(shù) f(x)滿足關(guān)系式 f(x)=( f(2)dt + ln2,則 f (x) = e ln 2。(6808).設(shè)曲線積分f (x)exsin ydxf (x)cosydy與路徑無關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f (0) =0 ,則f(x)等于 1(A)1(efex)。(B)1(exe')。

2、 21y arcsin x = x 。2C2(4507) .微分萬程xy"+3y' = 0的通解為 y=C1+3。 x(4508) .設(shè) y(x), y2(x), y3(x)是線性微分方程 y“ 十a(chǎn)(x)y'+b(x)y = f (x)的三個特解，且y2(x) - y1(x) #c ,則該微分方程的通解為y3(x) -y(x)y =C1(y2(x) y(x) +C2(y3(x)-y(x) +y(x)。、一22_x(3081) .設(shè)y1 =3+x , y2 =3 + x +e 是某二階線性非齊次微分方程的兩個特解，且相應(yīng)齊次方程的一個解為 y3 = x ,則該微分方程

3、的通解為y =3+x2+C1x+C2ej。(4725),設(shè)出微分方程 y" 2y' 3y=x+xe'+ex cos2x的一個特解形式 x x _y = Ax + B+x(Cx + D)e +e (E cos2x + F sin 2x)。(4476).微分方程 y"2y' +2y =ex的通解為 y = ex(1+C1 cosx+C2 sin x)。.一、一“一3 l . 11 2x(4474).微分萬程 y 4y =3的通解為 y=C1e+ C2 +-x e 。4 J(4477).函數(shù)y =C1 co空x + C2s i n2x滿足的二階線性常系數(shù)齊

4、次微分方程為y * +4y = 0。11(C) -(ex +e-) -1o (D)15(ex+e')。答B(yǎng)1 VV .汪：根據(jù)題思， 一f (x)cosy = f (x)excosy ,解得 f(x)=e +Ce 。由一 1 一一 1f(0) =0 ,得 C =,所以 f (x) = (ex e ),即選項(B)正確。 226907.若函數(shù)y = cos2x是微分方程y' + p( x) y = 0的一個特解，則該方程滿足初始條件y(0) =2的特解為(A) y=cos2x+2。(B) y=cos2x+1。(C) y =2cosx。(D)y = 2cos2x。答D注：根據(jù)解的結(jié)

5、構(gòu)，通解為 y=Ccos2x,由y(0)=2得C=2。故選項(D)正確。 其他選項經(jīng)驗證不滿足方程或定解條件。6126.設(shè)函數(shù)y(x), y2(x)是微分方程y'+p(x)y=0的兩個不同特解， 則該方程的通解為 (A) y = C1y1 + C 2 y2。(B)y = y1 + Cy2 °(C) y = y+C(y1十 y2)。(D) y=C(y2y1)。答D注：因為y(x), y2(x)是微分方程y'+p(x)y =0的兩個不同特解，所以 y?y1是該方程的一個非零特解。根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，其通解為 y = C(y2 - y1),即選項(D)正確。另：根 據(jù)通解定義，選

6、項(A)中有兩個任意常數(shù)，故其不對。當(dāng)y2三0時，選項(B)不對。當(dāng)y2 = -丫1 時，選項(C)不對。6579.已知函數(shù) y = y(x)在任意點x處的增量Ay = -y空+ o(Ax), y(0) = n ,則y(1)等 1 x于TC3T(A) 2n。(B) 冗。(C) e4。 (D)ne4。答D注：根據(jù)微分定義及微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得y1 = y可，解得ln y = arctanx + C ,由1 x23Ty(0) =n ,得 C = In n ,所以 y(1) = nearctan1 = ne7。因此選項(D)正確。6215.設(shè)函數(shù) y = f(x)是微分方程 y" 2y

7、9; +4y = 0 的一個解。若 f (x0) a 0, f'(x0) = 0 ,則函數(shù)f (x)在點x0 (A)取到極大值。(B)取到極小值。(C)某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加。(D)某個鄰域內(nèi)單調(diào)減少。答A注：因為 f'(x0)=0, f "(x0) = 4f(x0)<0,所以選項(A)正確。6316.設(shè)y1，y2是二階常系數(shù)線性齊次方程y "十py'+qy = 0的兩個特解，C1,C2是兩個任意常數(shù)，則下列命題中正確的是(A) C1yl +C2y2 一定是微分方程的通解。(B) C1yl +C2 y2不可能是微分方程的通解。(C) Cm十C2y2

8、是微分方程的解。(D) Ciy1 +C2 y2不是微分方程的解。答C注：根據(jù)疊加原理，選項(C)正確，選項(D)錯誤。當(dāng)y1,y2線性相關(guān)時，選項(A)錯誤，當(dāng)y1, y線性無關(guān)時，選項(B)錯誤。1897.微分方程yx-y=e +1的一個特解應(yīng)具有形式x(A) ae +b。(B)axex +b 。(C) aex +bx。(D)axex + bx。專業(yè).專注注：相應(yīng)齊次方程的特征根為1, -1 ,所以y" y = ex的一個特解形式為axex , 的一個特解形式為 b。根據(jù)疊加原理，原方程的一個特解形式為axex + b ,即選項(B)正確。其他選項經(jīng)檢驗不滿足方程。1890.具有特

9、解y1 =e：y =2xe/, y3 = 3ex的三階線性常系數(shù)齊次微分方程是(A)y'"_y*_y，+y=0。(B)yttf + ytf_yf_y=0o(C) y6y "+11yr 6y =0。(D) y "'_2y*_ y，+2y = 0。答B(yǎng)注：根據(jù)題意，1, -1是特征方程的兩個根，且-1是重根，所以特征方程為(九1)(九+1)2 =九3 +戶九1 =0。故所求微分方程為y*'+y“y' y = 0,即選項(B) 正確。7819.設(shè)y1 = ex, y2 = x是三階線性常系數(shù)齊次微分方程y那+ ay" + by&

10、#39; + cy = 0的兩個特解，則a,b,c的值為(A) a =1,b = 1, c = 0。(B) a =1,b=1,c = 0。(C) a = 1,b=0,c = 0。(D)a=1,b = 0, c = 0。答C注：根據(jù)題意，1,0是特征方程的兩個根，且0是重根，所以特征方程為(九1) N = Z?九2 = 0 故原微分方程應(yīng)為y y = 0 ,所以a = 1,b = 0,c = 0即選項(C)正確。2670.設(shè)二階線性常系數(shù)齊次微分方程y" + by'+y =0的每一個解y(x)都在區(qū)間(0,y)上有界，則實數(shù)b的取值范圍是(A) b >0o (B) b &

11、lt;0o (C) b <4o (D) b >4o答AAlx-b4xo注：因為當(dāng) b#±2時，y(x)=C1e2+C2e 2 ，所以，當(dāng) b24>0時，要想使 y(x)在區(qū)間(0,依)上有界，只需要b + Vb2 4之0, bWb2 420 ,即b A 2。當(dāng)b24 <0時，要想使 y（x）在區(qū)間（0,+w）上有界，只需要 b+Vb24與 bdb2 4的實部大于等于零，即 0Wb<2。當(dāng)b=2時，y（x） =C1e«+C2xex在區(qū) 間（0,一）上有界。當(dāng) b = 2 時，y（x） =C1ex+C2xex （C12+C22 =0）在區(qū)間（0,收

12、）上無 界。綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng) b20時，方程y“+by'+y =0的每一個解y（x）都在區(qū)間（0,+道） 上有界，即選項（A）正確。=0的通解。3296.求微分方程 x4：1 + y2 + yy -1 +x2解：方程兩端同乘以dx,1y2 1 x2xdx1 x2xydy,1=0,sinx C的通解。x解：這是一個一階線性微分方程,求解其相應(yīng)的齊次方程此方程是一個變量分離方程，其通解為,1 +y2 +v'1+x2 =C(C >2)o4i、工口 dy 15678.求Wt分方程 -+ y dy 1 八drxy=0'得其通解為令y =G3,代入原方程, xxC (x)

13、-C(x) C(x)-f-sin xx解得C(x) = -cosx +C。所以原方程的通解為1，八、y =一（cosx +C）。x注：本題也可直接利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得sin x 111y =(1exdxdx 十 c)e"xdx = -(-cosx + c) oxx2312.求解微分方程 xdy 一 ydx = y2ey dy。解：將y看成自變量，x看成是的y函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù)x=x(y)的一階線性微分方程dx x y =ye ，dy y此方程通解為口dy/尾dy)Jyy Jyyx = e C - f ye e dy = Cy - ye，I)其中C是任意常

14、數(shù)。'2367.求微分方程x2y' + xy = y2滿足初始條件y(1) = 1的特解。解：將原方程變形，得2y ; yy = - I <x.J x這是一個齊次型方程。令 y =xu，代入上式，得xu ' = u2 - 2u ，分離變量，得du _ dx-2二一u - 2u x積分，得u 2= Cx2，片=Cx2。y因為y(1) =1 ,所以C = -1。于是所求特解為2xy =g。1 x22368.設(shè)y =ex施微分方程xy'+P(X)y = X的一個解，求此微分方程滿足條件y(ln2)=0的特解。解：將丫 = ex代入原方程，得xeX + p(x)e

15、X = x，解出p(x) = xe-x 0所以原方程為xy，+ (xe / _ x) y = x，解其對應(yīng)的齊次方程，得 . x y=Cex4e。所以原方程的通解為 y=ex Cex 廣1由y(ln 2) = 0 ,得C = -e 2。故所求特解為4x 一名一 y y = x的通解。x 1x e=_l y =ex - e 2 °2402.求微分方程,Xvyy解：將原方程化為z = Jv,則原方程化為4xv-mv=x這是一個伯努利方程。令dz2xx-7= o 9Jdx x 12這是一個一階線性微分方程，解得z=2(x2 +1)(C +ln(x2 +1)，4所以原微分方程的通解為y =

16、z2 = z = (x2 +1)(C + ln(x2 +1) 2 °xx2405.求微分方程(1+el)dx + e；(1 _)dy = 0 的通解。 y解：將y看成自變量，則x = x(y)是y的函數(shù)。由于原方程是齊次型方程，令u(y) = -,y原微分方程化為 解：此方程的特征方程為 九2 + N = 0 ,所以，這是一個變量可分離的方程，解得yu=eu u eu - 1y(eu +u) = C。所以原方程的通解為xyye + x = C。xxx另解：令 P(x,y) =1+e%Q(x,y) = e%1-勺，則PM = 2x2e' =£QM y 二 y yex所

17、以，在y>0時，原方程為全微分方程。令u(x,y)=(x.y)(0,1) (1xxy飛x+ e )dx + e (1 _)dy， yxx由于此曲線積分與路徑無關(guān)，所以u(x, y)就是全微分式(1+e；)dx+e(1_JX)dy的一個原，y函數(shù)，且u(x,y)xx(x,y)x(1ey )dxey(1- -)dy(0,1)y，0xyx 一ey(1 )dy (1 ey)dx1 y 0xy T x y(ey T)xyeyx -1o所以原方程的通解為2489.設(shè)N為實數(shù)，求微分方程xyey + x = C。y“+Ny =0的通解。(1)當(dāng)N>0時，特征方程有一對復(fù)根?u = ±i

18、JM ,方程有兩個線性無關(guān)解 cos JXx, sin JRx °因此微分方程的通解為y = Ci cosRx + C2 sin &x G C2 w R)。(2)當(dāng)N = 0時，特征方程有一個二重根0 = 0o方程有兩個線性無關(guān)解 1, x ,于是微分方程的通解為y = C1 +C2x。(3)當(dāng)N<0時，特征方程有兩個單重實根九=±1-口 。方程有兩個線性無關(guān)解"6, r'R,所以微分方程的通解為 e ey =Ce* +C2er* (Ci,C2 w R)。2909.求微分方程y " + y ' = 2x2 +1的通解。解 將

19、方程寫作y"+y'=(2x2 +1)e°x。因為九=0是特征方程 產(chǎn)十九=0的單根，所以原 方程一個特解形式為*32y (x) = ax +bx + cx,將此解代入原方程，得3ax2 +(2b +6a)x +(c + 2b) = 2x2 +1，比較兩端同次項的系數(shù)，有3a =2,2b+6a =0,c +2b =1。解上述方程組，得2 -a=-,b = -2, c = 5o3從而得到原方程的一個特解* ,、2 32y(x) = 3x -2x +5X。又因為相應(yīng)齊次方程 y" + y' = 0的通解為xy = C1 +C?e 。所以原方程的通解為y

20、= C1 + C2e " + 2 x3 - 2x2 + 5x。另解：方程y"+y' = 2x2十1兩端積分，得2 3 八y+y=_X +x+C3這是一個一階線性微分方程，其通解為y =e"(C2，i(2x3 x C1)exdx)3=C1 C2e , x3 - 2x2 5x - 53=C1 +C2e，+2x3 -2x2 +5x。 32356.求解微分方程 y “ _ 2 y '+y = 4xex。解：因為九二1是特征方程K2-2九+1 =0的重根，所以原方程的一個待定特解為 *2xy = x (ax +b)e ，將此解代入原方程，得(6ax 2b)e

21、x =4xex。2 .一 比較兩端系數(shù)，得 a = ,b = 0。于是得到原方程的一個特解3*2 3 xy x e 。3又因為相應(yīng)齊次方程的通解是y =(C1 C2x)ex。因此原方程的通解為V 23 Vy = (C1 C2x)e-x e o1123.求微分方程 y" + y =x+cosx的通解。解：原方程所對應(yīng)齊次方程的通解為y = C1 cosx +C2 sin x。設(shè)非齊次方程y * + y = x的一個特解為y1 = Ax + B ,代入次方程，得 A=1, B=0。所以 yi=x。設(shè)非齊次方程y" + y = cosx的一個特解為y2 = Ex cosx + D

22、x sin x ,1 一1.代入萬程，得 E = 0, D=。所以 y2 = xsinx。2 2因為yi +y2為原方程的一個特解，所以原方程的通解為1y =Ci cosx +C2 sin x +x + - xsin x。 21278.求解微分方程 yy(y)2 = y2 in y。解：因為原微分方程不顯含自變量x ,所以這是一個可降階微分方程。令 u(y) =y(x),則 y"(x) =u'(y)y'(x) = uU。原方程變?yōu)?yuu 一 u2.=y In y。再令p(y) =u2(y),則有2p - p =2y In y ,y這是一個一階線性微分方程，求得2 _

23、2p = y (C + In y)。所以u = Yy2(c + in2 y),故yr= Vy2 (C + In2 y)。這是個變量可分離微分方程，解得ln(ln y + qC + In2 y)= x +C1,這就是原微分方程的通解。注：方程yuu ' -u2 = y2 In y是一個伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。2456.求解微分方程 y" +3y“ + 3y' +y = eU(x 5)。解：微分方程 y那+3y“+3y'+y =0的特征方程為3_2_九十3九+3九+1=0,九=_1是其三重特征根。所以該齊次方程的通解為y =e/(C1 +C2x+

24、C3x2)。令原微分方程的一個特解形式為y 二 x3(ax b)e：代入原微分方程，并整理得24ax + 6b = x 5,一15所以a = ，b = 。因此原微分方程的一個特解為246*x3 1*y =3(4x-5)e '故所求通解為3 1y=e"(Ci C?x C3x2)1x-5)e"。6 43214.求解微分方程xy " - y ' = x2解：令u(x) =y'(x),則原方程化為二x,1一一 ux這是個一階線性微分方程，解得u = x(Ci+ x)。因此y ' = x(Ci+x),所以原微分方程的通解為y。3 2Cix2C

25、21 32=-x +C1x +C2，3其中Ci, C2是任意常數(shù)。另解：令p(x)=工(刈，則原方程化為 p'=1x,所以 p = x + Ci。由 y' = xp = x(x + Ci)132y - x + Ci x + C2 03333.求解微分方程 x2y " 2xy'+2y =x3 ln x。解：原方稱為二階歐拉方程。令x=e：得dy 2xy , x ydt,2,d y dy2dt2出所以原微分方程化為d-3dydt dt其中t是自變量。這是一個二階線性常系數(shù)非齊次方程，解得13、3t十 (t)e 。22所以原微分方程的通解為2y = C1x C2x-

26、x3(lnx-3),22其中Ci, C2是任意常數(shù)。3337.已知函數(shù)f(x)在0,十比)上可導(dǎo)，f (0)=1,且滿足等式f (x) f(x) -x0 f(t)dt =0求 f (x),并證明 e/ < f (x) < 1(x 至 0)。解：根據(jù)條件，得x(x+1)(f'(x) + f(x) I f(t)dt = 0,因為f (x)在0,+m)上可導(dǎo)，由上式，知 f(x)在0,+生)上二階導(dǎo)數(shù)存在，所以一 .1 一.f”(x)+(1+r)f'(x)=0,x 1這是f (x)滿足的一個一階線性齊次方程，解得f (x)=Ce由于 f'(0) =f(0) =1 ,所以 C = 1,故-Xe-f '(x)=-。X 1-X一, e當(dāng)x至0時，因為f'(x) =< 0 ,所以f (x) w f (0) = 1。又x至。時，X 1_x.x(f (x) -e ) = -+e =x 之 0,所以 f(x)_e/2 f(0)e0 =0。x 1 x 1故e= < f (x) <1(x >0)o注：證明不等式時，只需要知道導(dǎo)數(shù)的符號及函數(shù)在某點上的值，并不要求一定知道函數(shù)的表達式。3338.設(shè)p(x),q(x)為連續(xù)函數(shù)，證明方程y' +p(x)y = q(x)的所有積分曲線上橫坐標(biāo)相同的點