用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題

1、什么是數(shù)學(xué)歸納法 ?一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.),(0nkNk且(1)證明了第一步,就獲得了遞推的基礎(chǔ),但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的正確性.(在這一步中,只需驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了,沒有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)成立.)(2)證明了第二步,就獲得了推理的依據(jù).僅有第二步而沒有第一步,則失去了遞推的基礎(chǔ);而只有第一步而沒有第二步,就

2、可能得出不正確的結(jié)論,因?yàn)閱慰康谝徊?我們無法遞推下去,所以我們無法判斷命題對(duì)n0+1,n0+2,是否正確.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩者缺一不可.在第二步中,n=k命題成立,可以作為條件加以運(yùn)用,而n=k+1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件,公理,定理,定義加以證明.完成一,二步后,最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論.,512,256,128,64,32,16, 8 , 4 , 2:2;,81,64,49,36,25,16, 9 , 4 , 1:.?,12nnnnnbnaba證明你的結(jié)論始終小于從第幾項(xiàng)起觀察下面兩個(gè)數(shù)列例)5,(2,5,2nNnnbannn即項(xiàng)起從第由數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想命題成立

3、時(shí)有當(dāng)證明,255) 1 ( :52n222212) 1(12222,1.2,)5()2(kkkkkknkkknkkkk有時(shí)當(dāng)即有時(shí)命題成立假設(shè)當(dāng))5,(2,)2)(1 (.12nNnnknn可知由時(shí)命題成立即當(dāng))(sinsin. 2Nnnn證明不等式例.,sin,1) 1 ( :不等式成立右邊上式左邊時(shí)當(dāng)證明nsin) 1(sinsinsinsinsincoscossinsincoscossin) 1sin(,1.sinsin,) 1()2(kkkkkkkkknkkkkn有時(shí)當(dāng)即有命題成立時(shí)假設(shè)當(dāng).,)2)(1 (.1均成立不等式對(duì)一切正整數(shù)可知由時(shí)不等式成立即當(dāng)nknnxxnxxxn1)1

4、 ( ,1, 0, 1,:. 3那么有的自然數(shù)為大于且是實(shí)數(shù)如果證明貝努利不等式例.,2121)1 (0,2) 1 ( :22不等式成立得由時(shí)當(dāng)證明xxxxxn分析:貝努利不等式中涉及兩個(gè)字母,X表示大于-1且不等于0的任意實(shí)數(shù),N上大于1的自然數(shù),我們利用數(shù)學(xué)歸納法只能對(duì)N進(jìn)行歸納.,)2)(1 (.1貝努利不等式成立可知由時(shí)不等式成立當(dāng)knxkkxkxxkxxxxxknkxxkknkkk) 1(11)1)(1 ()1)(1 ()1 (,1 .1)1 (,)2()2(21時(shí)當(dāng)即有時(shí)不等式成立假設(shè)當(dāng)成立的正整數(shù)對(duì)一切不小于由貝努利不等式可得時(shí)且是實(shí)數(shù)當(dāng)nxnxxxxxxn2,11)11 (,0

5、, 1,) 1(1)1 ( ,10,) 1(1)1 ( ,01,.,xxxxxxn有時(shí)并且滿足是實(shí)數(shù)當(dāng)有時(shí)或者并且滿足是實(shí)數(shù)當(dāng)類似不等式成立仍有時(shí)改為實(shí)數(shù)整數(shù)把貝努利不等式中的正., 1,)(:. 4212121naaaaaaaaannnnn那么它們的和乘積的個(gè)正數(shù)為正整數(shù)如果證明例., 1,1) 1 ( :1命題成立有時(shí)當(dāng)證明ankaaaaaakknkk2121 , 1.,)2(則個(gè)正數(shù)的乘積即若命題成立時(shí)假設(shè)當(dāng). 1,1,1121121kkkaaaaaaakkn滿足條件個(gè)正數(shù)已知時(shí)當(dāng)命題得證其和為則它們都是都相等個(gè)正數(shù)若這, 1, 1,1121kaaaakkk. 1, 1).1(11,121121121aaaaaaaaakkkk不妨設(shè)矛盾否則與的數(shù)也有小于的數(shù)則其中必有大于不全相等個(gè)正數(shù)若這kaaaaaaaaaakaakkkk1321132121, 1,由歸納假設(shè)可以得到的乘積是個(gè)正數(shù)這樣就得到看作一個(gè)數(shù)我們把乘積為利用歸納假設(shè)21143aakaaaakk) 1)(1(11) 1(2121212121121aaaaaakaakaakaaaakk時(shí)命題成立當(dāng)即11, 010) 1)(1(, 1, 11211212121knkaaaakaaaaaaaakkkk., 1,)2)(1 (212121成立那么它們的和乘積的個(gè)