北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章《定積分》全部教案姚連省編制

1、；.北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章定積分全部教案扶風(fēng)縣法門(mén)高中 姚連省§1 定積分概念第一課時(shí) 曲邊梯形的面積一、教學(xué)目標(biāo)：理解求曲邊圖形面積的過(guò)程：分割、以直代曲、逼近，感受在其過(guò)程中滲透的思想方法。二、教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握過(guò)程步驟：分割、以直代曲、求和、逼近（取極限）難點(diǎn)：對(duì)過(guò)程中所包含的基本的微積分 “以直代曲”的思想的理解三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程1、創(chuàng)設(shè)情景我們學(xué)過(guò)如何求正方形、長(zhǎng)方形、三角形等的面積，這些圖形都是由直線段圍成的。那么，如何求曲線圍成的平面圖形的面積呢？這就是定積分要解決的問(wèn)題。定積分在科學(xué)研究和實(shí)際生活中都有非常廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將

2、學(xué)習(xí)定積分的基本概念以及定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，初步體會(huì)定積分的思想及其應(yīng)用價(jià)值。一個(gè)概念：如果函數(shù)在某一區(qū)間上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把函數(shù)稱為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)（不加說(shuō)明，下面研究的都是連續(xù)函數(shù)）2、新課探析問(wèn)題：如圖，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形如何計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積？ 例題：求圖中陰影部分是由拋物線，直線以及軸所圍成的平面圖形的面積S。 思考：（1）曲邊梯形與“直邊圖形”的區(qū)別？（2）能否將求這個(gè)曲邊梯形面積S的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”面積的問(wèn)題？分析：曲邊梯形與“直邊圖形”的主要區(qū)別：曲邊梯形有一邊是曲線段，“直邊圖形

3、”的所有邊都是直線段“以直代曲”的思想的應(yīng)用xxx1 x1 xy1 xyy 把區(qū)間分成許多個(gè)小區(qū)間，進(jìn)而把區(qū)邊梯形拆為一些小曲邊梯形，對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代取”，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值，對(duì)這些近似值求和，就得到曲邊梯形面積的近似值分割越細(xì)，面積的近似值就越精確。當(dāng)分割無(wú)限變細(xì)時(shí)，這個(gè)近似值就無(wú)限逼近所求曲邊梯形的面積S也即：用劃歸為計(jì)算矩形面積和逼近的思想方法求出曲邊梯形的面積解：（1）分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為分別過(guò)上述個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，他們的面積分別記作： ，顯然，（

4、2）近似代替記，如圖所示，當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從圖形上看，就是用平行于軸的直線段近似的代替小曲邊梯形的曲邊（如圖）這樣，在區(qū)間上，用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 （3）求和：由，上圖中陰影部分的面積為=，從而得到的近似值 （4）取極限：分別將區(qū)間等分8，16，20，等份（如圖），可以看到，當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有從數(shù)值上的變化趨勢(shì)： 3求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟:第一步：分割在區(qū)間中任意插入各分點(diǎn)，將它們等分成個(gè)小區(qū)間，區(qū)間的長(zhǎng)度，第二步：近似代替，“以直

5、代取”。用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，求出每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值第三步：求和第四步：取極限。說(shuō)明：1歸納以上步驟，其流程圖表示為：分割以直代曲求和逼近2最后所得曲邊形的面積不是近似值，而是真實(shí)值練習(xí)：課本P76練習(xí)題：設(shè)S表示由曲線，x=1，以及x軸所圍成平面圖形的面積。四、課堂小結(jié)：求曲邊梯形的思想和步驟：分割以直代曲求和逼近 （“以直代曲”的思想）五、教學(xué)后記第二課時(shí) 汽車行駛的路程一：教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)：了解求曲邊梯形面積的過(guò)程和解決有關(guān)汽車行駛路程問(wèn)題的過(guò)程的共同點(diǎn)；感受在其過(guò)程中滲透的思想方法：分割、以不變代變、求和、取極限（逼近）。2、過(guò)程與方法：通過(guò)與求曲邊梯

6、形的面積進(jìn)行類比，求汽車行駛的路程有關(guān)問(wèn)題，再一次體會(huì)“以直代曲“的思想。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：在體會(huì)微積分思想的過(guò)程中，體會(huì)人類智慧的力量，培養(yǎng)世界是可知的等唯物主義的世界觀。二：教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握過(guò)程步驟：分割、以不變代變、求和、逼近（取極限）難點(diǎn)：過(guò)程的理解三：教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）、創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)：1連續(xù)函數(shù)的概念；2求曲邊梯形面積的基本思想和步驟；利用導(dǎo)數(shù)我們解決了“已知物體運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的關(guān)系，求物體運(yùn)動(dòng)速度”的問(wèn)題反之，如果已知物體的速度與時(shí)間的關(guān)系，如何求其在一定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程呢？（二）、新課探析問(wèn)題：汽車以速度組勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)時(shí)間所行駛的路程為

7、如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（單位：km/h），那么它在01(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？ 分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無(wú)窮大就得到（單位：km）的精確值（思想：用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無(wú)限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）解：（1）分割在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間

8、： ， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為把汽車在時(shí)間段，上行駛的路程分別記作： ， 顯然，（2）近似代替當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時(shí)間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻處的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是的用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有 （3）求和由，=從而得到的近似值 （4）取極限當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有 思考：結(jié)合求曲邊梯形面積的過(guò)程，你認(rèn)為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？結(jié)合

9、上述求解過(guò)程可知，汽車行駛的路程在數(shù)據(jù)上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為，那么我們也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無(wú)限逼近的思想，求出它在ab內(nèi)所作的位移例、彈簧在拉伸的過(guò)程中，力與伸長(zhǎng)量成正比，即力（為常數(shù)，是伸長(zhǎng)量），求彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)所作的功 分析：利用“以不變代變”的思想，采用分割、近似代替、求和、取極限的方法求解解： 將物體用常力沿力的方向移動(dòng)距離，則所作的功為1分割在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間： ， 記第個(gè)區(qū)間為，其長(zhǎng)度為 把在分段，上所作的功分別記作：，（2）近似代替有條件

10、知： （3）求和=從而得到的近似值 （4）取極限所以得到彈簧從平衡位置拉長(zhǎng)所作的功為：（四）、課堂小結(jié)：求汽車行駛的路程有關(guān)問(wèn)題的過(guò)程。（五）作業(yè)：課本P80A組2、3五、教學(xué)后記第三課時(shí) 定積分的概念一、教學(xué)目標(biāo)：1.通過(guò)求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程，了解定積分的背景；2.借助于幾何直觀定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡(jiǎn)單的定積分；3.理解掌握定積分的幾何意義二、教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念、用定義求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義教學(xué)難點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）、創(chuàng)設(shè)情景復(fù)習(xí)：1 回憶前面曲邊梯形的面積，汽車行駛的路

11、程等問(wèn)題的解決方法，解決步驟：分割近似代替(以直代曲)求和取極限（逼近） 2對(duì)這四個(gè)步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn)（二）、新課探析1定積分的概念一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式：如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：，其中積分號(hào)，積分上限，積分下限，被積函數(shù)，積分變量，積分區(qū)間，被積式。說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）記為，而不是 （2）用定義求定積分的一般方法是：分割：等分區(qū)間；近似代替：取點(diǎn)；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)

12、動(dòng)路程；變力做功2定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分的幾何意義。說(shuō)明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào)。分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值?？疾旌褪讲环猎O(shè)于是和式即為陰影的面積陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積）思考：根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？3定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1；性質(zhì)2（定積分的線性性質(zhì)）；性質(zhì)3（定積分的線性性

13、質(zhì)）；性質(zhì)4（定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性）(1) ； (2) ； 說(shuō)明：推廣： 推廣: 性質(zhì)解釋：性質(zhì)4性質(zhì)1（三）典例分析例1、計(jì)算定積分12yxO分析：所求定積分是所圍成的梯形面積，即為如圖陰影部分面積，面積為。即：思考：若改為計(jì)算定積分呢？改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上，出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問(wèn)題）例2、計(jì)算定積分分析：利用定積分性質(zhì)有，利用定積分的定義分別求出，就能得到的值。（四）課堂練習(xí)計(jì)算下列定積分1 2 3課本P80頁(yè)練習(xí)題(五)回顧總結(jié)：定積分的概念、用定義法求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義(六)布置作業(yè)：課本P81頁(yè)習(xí)題4-1A組4、5 B組2五、教學(xué)后記：第四課

14、時(shí) 微積分基本定理一、教學(xué)目標(biāo)：了解牛頓-萊布尼茲公式二、教學(xué)重難點(diǎn)：牛頓-萊布尼茲公式三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）、復(fù)習(xí)：定積分的概念及計(jì)算（二）、探究新課我們講過(guò)用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程可用速度函數(shù)表示為。 另一方面，這段路程還可以通過(guò)位置函數(shù)S（t）在上的增量來(lái)表達(dá)，即 = 且。 對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有若上式成立，

15、我們就找到了用的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來(lái)計(jì)算在上的定積分的方法。定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則證明：因?yàn)?與都是的原函數(shù)，故-=C（）其中C為某一常數(shù)。令得-=C，且=0即有C=，故=+ =-= 令，有為了方便起見(jiàn)，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問(wèn)題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。例1 計(jì)算解：由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓萊布尼茲公式有=例2 求解 因?yàn)?即 有一個(gè)原函數(shù)為，所以=例3 汽車以每小時(shí)32公里速度行駛，到某處需要減速停車。設(shè)汽車以等減速度=1.8米/秒2剎車

16、，問(wèn)從開(kāi)始剎車到停車，汽車走了多少距離？解:首先要求出從剎車開(kāi)始到停車經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間。當(dāng)t=0時(shí)，汽車速度=32公里/小時(shí)=米/秒8.88米/秒,剎車后汽車減速行駛,其速度為當(dāng)汽車停住時(shí),速度,故從解得秒于是在這段時(shí)間內(nèi),汽車所走過(guò)的距離是=米,即在剎車后,汽車需走過(guò)21.90米才能停住.（三）、小結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了牛頓-萊布尼茲公式.（四）、課堂練習(xí)：第47頁(yè)練習(xí)A、B（五）、課后作業(yè)：第48頁(yè)A:3，4五、教后反思：第五課時(shí) 微積分基本定理一：教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例，直觀了解微積分基本定理的含義，會(huì)用牛頓-萊布尼茲公式求簡(jiǎn)單的定積分過(guò)程與方法：通過(guò)實(shí)例體會(huì)用微積分基本定理求定積分的

17、方法情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)微積分基本定理的學(xué)習(xí)，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)，提高理性思維能力。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)通過(guò)探究變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運(yùn)用基本定理計(jì)算簡(jiǎn)單的定積分。難點(diǎn)了解微積分基本定理的含義三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）、復(fù)習(xí)：定積分的概念及用定義計(jì)算（二）、探究新課我們講過(guò)用定積分定義計(jì)算定積分,但其計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計(jì)算定積分的新方法，也是比較一般的方法。變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)一物體沿直線作變速運(yùn)動(dòng)，在

18、時(shí)刻t時(shí)物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時(shí)間間隔內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程可用速度函數(shù)表示為。 另一方面，這段路程還可以通過(guò)位置函數(shù)S（t）在上的增量來(lái)表達(dá)，即 =而。 對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來(lái)計(jì)算在上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)，則證明：因?yàn)?與都是的原函數(shù)，故-=C（） 其中C為某一常數(shù)。 令得-=C，且=0即有C=，故=+ =-=令，有此處并不要求學(xué)生理解證明的過(guò)程為了方便起見(jiàn)，還常用表示，即該式稱之為微積分基本公式或牛頓萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問(wèn)

19、題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問(wèn)題，是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也提供計(jì)算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響，是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。例1計(jì)算下列定積分：（1）； （2）。解：（1）因?yàn)椋?。?）因?yàn)椋?。練?xí)：計(jì)算解：由于是的一個(gè)原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓萊布尼茲公式有 =例2計(jì)算下列定積分：。由計(jì)算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試?yán)们吿菪蔚拿娣e表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。解：因?yàn)?，所以? 可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是

20、0: ( l ）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(shí)（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積；圖1 . 6 一 3 ( 2 ）（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(shí)（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； ( 3）當(dāng)位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積 例3A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開(kāi)往站，電車開(kāi)出ts后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點(diǎn)的速度為24m/

21、s，從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開(kāi)始剎車，經(jīng)ts后，速度為（24-1.2t）m/s，在B點(diǎn)恰好停車，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時(shí)間。分析：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分,即略解：（1）設(shè)A到C的時(shí)間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC（2）設(shè)D到B的時(shí)間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s),則DB（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時(shí)間為280(s),則所求時(shí)間為20+280+20=320（s）微積分基本定理揭

22、示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理，它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來(lái)，成為一門(mén)影響深遠(yuǎn)的學(xué)科，可以毫不夸張地說(shuō)，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果四：課堂小結(jié)：本節(jié)課借助于變速運(yùn)動(dòng)物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進(jìn)而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡(jiǎn)便方法，運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識(shí)比較熟練，希望，不明白的同學(xué)，回頭來(lái)多復(fù)習(xí)！五：教學(xué)后記：第六課時(shí) 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用（一）3.1平面圖形的面積一、教學(xué)目標(biāo)

23、：1、進(jìn)一步讓學(xué)生深刻體會(huì)“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法；2、讓學(xué)生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理；3、初步掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見(jiàn)題型及方法。二、教學(xué)重難點(diǎn)： 曲邊梯形面積的求法及應(yīng)用三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程1、復(fù)習(xí)：（1）、求曲邊梯形的思想方法是什么？(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ 2、定積分的應(yīng)用（一）利用定積分求平面圖形的面積例1計(jì)算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】?jī)蓷l拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以兩曲線的交點(diǎn)為（

24、0，0）、（1，1），面積S=，所以=【點(diǎn)評(píng)】在直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的四個(gè)步驟：1.作圖象；2.求交點(diǎn)；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。鞏固練習(xí) 計(jì)算由曲線和所圍成的圖形的面積.例2計(jì)算由直線，曲線以及x軸所圍圖形的面積S.分析：首先畫(huà)出草圖（圖1.7 一2 ) ，并設(shè)法把所求圖形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積問(wèn)題與例 1 不同的是，還需把所求圖形的面積分成兩部分S1和S2為了確定出被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出直線與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線與 x 軸的交點(diǎn)解：作出直線，曲線的草圖，所求面積為圖1. 7一2 陰影部分的面積解方程組得直線與曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為（

25、8,4) . 直線與x軸的交點(diǎn)為（4,0). 因此，所求圖形的面積為S=S1+S2.由上面的例題可以發(fā)現(xiàn)，在利用定積分求平面圖形的面積時(shí)，一般要先畫(huà)出它的草圖，再借助圖形直觀確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限例3.求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。 答案： 練習(xí)1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。答案：xyoy=x2+4x-32、求由拋物線及其在點(diǎn)M（0，3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解：，切線方程分別為、，則所求圖形的面積為3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為xxOy=x2ABC4、在曲線上的某點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求

26、：切點(diǎn)A的坐標(biāo)以及切線方程. 略解：如圖由題可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為，切線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則由題可知有，所以切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程分別為（二）、歸納總結(jié)：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法：畫(huà)圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；確定被積函數(shù)；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和。（三）、作業(yè)布置：課本P90頁(yè)習(xí)題4-3中

27、1、2、3、4五、教學(xué)反思：第七課時(shí) 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用（二）3.1平面圖形的面積一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解定積分的幾何意義及微積分的基本定理；2、掌握利用定積分求曲邊圖形的面積。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、定積分的概念及幾何意義；2、定積分的基本性質(zhì)及運(yùn)算的應(yīng)用三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）練習(xí)1若dx = 3 + ln 2，則a的值為（ D ） A6B4C3D22設(shè)，則dx等于（ C ） ABCD不存在 3求函數(shù)的最小值解： 當(dāng)a = 1時(shí)f (a)有最小值14求定分dx 5怎樣用定積分表示：x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所圍成圖形的面積？ 6 你能說(shuō)說(shuō)定積分的幾何意義嗎

28、？例如的幾何意義是什么?表示軸，曲線及直線，之間的各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正，在軸下方的面積取負(fù)。（二）、新課探析例1講解教材例題例2求曲線y=sinx ,x與直線x=0 ,x軸所圍成圖形的面積。練習(xí)：1如右圖，陰影部分面積為（ B ） Adx Bdx Cdx Ddx2求拋物線y = x2 + 4x 3及其在點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0）處的切線所圍成的面積（三）、歸納總結(jié)：1、求曲邊梯形面積的方法：畫(huà)圖，并將圖形分割為若干個(gè)曲邊梯形；對(duì)每個(gè)曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；確定被積函數(shù)；求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對(duì)值的和。2、幾種常見(jiàn)的曲邊梯形面積的計(jì)算

29、方法：（1）型區(qū)域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1）；由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2）；由兩條曲線與直線yabxyabxyabx圖（1） 圖（2） 圖（3）所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3）；（2）型區(qū)域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（4）；由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（5）； 由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，然后利用求出（如圖（6）；yabxyabxyabx圖（4） 圖（5） 圖（6）3、求平面曲線的弧長(zhǎng)：設(shè)曲線AB方程為，

30、函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，且連續(xù)，則曲線AB的弧長(zhǎng)為.（四）、作業(yè)：1、計(jì)算下列定積分。（1） （2）.解：(1) = += (2) 原式=12、求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積(畫(huà)出圖形)。解：五、教后反思：第八課時(shí) 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用（三）3.2簡(jiǎn)單幾何體的體積一、教學(xué)目標(biāo)1、理解定積分概念形成過(guò)程的思想；2、會(huì)根據(jù)該思想求簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的體積問(wèn)題。二、 學(xué)法指導(dǎo)本節(jié)內(nèi)容在學(xué)習(xí)了平面圖形面積計(jì)算之后的更深層次的研究，關(guān)鍵是對(duì)定積分思想的理解及靈活運(yùn)用，建立起正確的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)定積分的概念解決體積問(wèn)題。三、教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用定積分的意義和積分公式表解決一些簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)體的體積問(wèn)題；難點(diǎn)；數(shù)學(xué)模型的建

31、立及被積函數(shù)的確定。四、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合五、教學(xué)過(guò)程（一）、復(fù)習(xí)：（1）、求曲邊梯形面積的方法是什么？(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ （二）新課探析問(wèn)題：函數(shù)，的圖像繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的體積 。 典例分析例1、給定直角邊為1的等腰直角三角形，繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓錐體。求它的體積。 Y分割近似代替(以直代曲)求和取極限（逼近） 學(xué)生閱讀課本P89頁(yè)分析，教師引導(dǎo)。解：圓錐體的體積為 O 1 X Y O X變式練習(xí)1、求曲線，直線， 與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。答案：；例2、如圖，是常見(jiàn)的冰激凌的形狀，其下方是一

32、個(gè)圓錐，上方是由一段拋物線弧繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周所成的形狀，尺寸如圖所示，試求其體積。 分析：解此題的關(guān)鍵是如何建立數(shù)學(xué)模型。將其軸載面按下圖位置放置，并建立坐標(biāo)系。則A，B坐標(biāo)可得，再求出直線AB和拋物線方程， “冰激凌”可看成是由拋物線弧OB和線段AB繞X軸旋轉(zhuǎn)一周形成的。解：將其軸載面按下圖位置放置，并建立如圖的坐標(biāo)系。則， ，設(shè)拋物線弧OA所在的拋物線方程為：，代入求得：拋物線方程為：（）設(shè)直線AB的方程為：，代入求得：直線AB的方程為：所求“冰激凌”的體積為：變式練習(xí)2如圖一，是火力發(fā)電廠煙囪示意圖。它是雙曲線繞其一條對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體。煙囪最細(xì)處的直徑為，最下端的直徑為，最細(xì)

33、處離地面，煙囪高，試求該煙囪占有空間的大小。 （圖二） （圖一）（精確到） 答案： 歸納總結(jié)：求旋轉(zhuǎn)體的體積和側(cè)面積由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為.其側(cè)面積為.求體積的過(guò)程就是對(duì)定積分概念的進(jìn)一步理解過(guò)程，總結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積公式步驟如下：1先求出的表達(dá)式；2代入公式，即可求旋轉(zhuǎn)體體積的值。（三）、課堂小結(jié)：求體積的過(guò)程就是對(duì)定積分概念的進(jìn)一步理解過(guò)程，總結(jié)求旋轉(zhuǎn)體體積公式步驟如下：1先求出的表達(dá)式；2代入公式，即可求旋轉(zhuǎn)體體積的值。（四）、作業(yè)布置：課本P90頁(yè)練習(xí)題中2；習(xí)題4-3中6、7五、教后反思第九課時(shí) 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)：1、了解定積分的幾何意義及

34、微積分的基本定理.2、掌握利用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功等物理問(wèn)題。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、定積分的概念及幾何意義；2、定積分的基本性質(zhì)及運(yùn)算在物理中應(yīng)用。三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過(guò)程（一）、復(fù)習(xí)：（1）、求曲邊梯形的思想方法是什么？(2)、定積分的幾何意義是什么？（3）、微積分基本定理是什么？ （二）、定積分的應(yīng)用【定積分在物理中應(yīng)用】1、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程我們知道，作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s，等于其速度函數(shù)v=v (t) ( v(t) 0) 在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分，即例 1。一輛汽車的速度一時(shí)間曲線如圖1.7 一3 所示求汽車在這1 min 行駛的路

35、程解：由速度一時(shí)間曲線可知：因此汽車在這 1 min 行駛的路程是：答：汽車在這 1 min 行駛的路程是 1350m .2變力作功一物體在恒力F（單位：N）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與F相同的方向移（單位：m)，則力F所作的功為W=Fs .探究如果物體在變力 F(x）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與 F (x) 相同的方向從x =a 移動(dòng)到x=b (a<b) ，那么如何計(jì)算變力F(x）所作的功W呢？與求曲邊梯形的面積和求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一樣，可以用“四步曲”解決變力作功問(wèn)題可以得到 例2如圖1·7一4 ，在彈性限度內(nèi)，將一彈簧從平衡位置拉到離平衡位置lm 處，求克服

36、彈力所作的功解：在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力 F ( x ）與彈簧拉伸（或壓縮）的長(zhǎng)度 x 成正比，即 F ( x ）= kx , 其中常數(shù) k 是比例系數(shù)由變力作功公式，得到答：克服彈力所作的功為.例3A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開(kāi)往站，電車開(kāi)出ts后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點(diǎn)的速度為24m/s，從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開(kāi)始剎車，經(jīng)ts后，速度為（24-1.2t）m/s，在B點(diǎn)恰好停車，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時(shí)間。分析：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過(guò)的路程s,等于其速度函數(shù)v

37、=v(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a,b上的定積分,即略解：（1）設(shè)A到C的時(shí)間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC（2）設(shè)D到B的時(shí)間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s),則DB（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時(shí)間為280(s),則所求時(shí)間為20+280+20=320（s）練習(xí)：如果1N能拉長(zhǎng)彈簧1cm，為了將彈簧拉長(zhǎng)6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J略解：設(shè)，則由題可得，所以做功就是求定積分。（三）、課堂小結(jié)： 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積，即定積分在幾何中應(yīng)用，以及定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用，要掌握幾種常見(jiàn)圖形面積的求法，并且要注意定積分的幾何意義，不能等同于圖形的面積，要注意微積分的基本思想的應(yīng)用與理解。（四）、作業(yè)：課本P86頁(yè)7 P95頁(yè)9、11五、教后反思根據(jù)定積分的定義，定積分既有幾何背景，又有物理背景，進(jìn)而定積分與這些知識(shí)有著天然的聯(lián)系。譬如：求幾何圖形的面積，求路程、平均速度、電荷量、電壓、功、質(zhì)量等。上述種種盡管形式相異，然而所采用的思想方法均是：化曲為直，以不變代變，逼近，從某個(gè)角度而言充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的高度抽象性及應(yīng)用的廣。第十課時(shí) 定積分復(fù)習(xí)小結(jié)一、教學(xué)目標(biāo)：1、理解定積分的定義及幾何意義，