機械優(yōu)化設計方法簡介

1、機械優(yōu)化設計方法簡介一.引言“設計”作為人們綜合運用科學技術(shù)原理和知識并有目的地創(chuàng)造產(chǎn)品的一項 技術(shù)，已經(jīng)發(fā)展為現(xiàn)代社會工業(yè)文明的重要支柱。 今天，設計水平已是一個國家 的工業(yè)創(chuàng)新能力和市場競爭能力的重要標志。許多的設計實踐經(jīng)驗告訴我們， 設計質(zhì)量的高低， 是決定產(chǎn)品的一系列技術(shù) 和經(jīng)濟指標的重要因素。 因此，在產(chǎn)品生產(chǎn)技術(shù)的第一道工序設計上， 考慮越 周全和越符合客觀，則效果就會越好。在產(chǎn)品設計中， 追求設計結(jié)果的最優(yōu)化， 一直是我們工作努力的目標。 現(xiàn)代 設計理論、 方法和技術(shù)中的優(yōu)化設計， 為工程設計人員提供了一種易于實施且可 使設計結(jié)果達到最優(yōu)化的重要方法和技術(shù)， 以便在解決一些復雜問

2、題時， 能從眾 多設計的方案中找出盡可能完善的或是最好的方案。 這對于提高產(chǎn)品性能、 改進 產(chǎn)品質(zhì)量、提高設計效率，都是具有重要意義的。二優(yōu)化設計的概念優(yōu)化設計是將工程設計問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)化問題， 利用數(shù)學規(guī)劃的方法， 借助 于計算機(高速度、高精度和大存儲量)的處理，從滿足設計要求的一切可行方 案中，按照預定的目標自動尋找最優(yōu)設計的一種設計方法。 機械優(yōu)化設計 最優(yōu) 化( Optimization) 通常是指解決設計問題時，使其結(jié)果達到某種意義上的無可 爭議的完善化。最優(yōu)化“ OPT在科學和技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)如同使用最大“ MAX和最小“ MIN' 樣具有普遍性。 把機械設計和現(xiàn)代設計理論及方

3、法相結(jié)合， 借助電子 計算機，自動尋找實現(xiàn)預期目標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數(shù)。三優(yōu)化設計的一般實施步驟(1) 根據(jù)設計要求和目的定義優(yōu)化設計問題；(2) 建立優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型；(3) 選用合適的優(yōu)化計算方法；(4 )確定必要的數(shù)據(jù)和設計初始點；(5 )編寫包括數(shù)學模型和優(yōu)化算法的計算機程序， 通過計算機的求解計算獲取最 優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)；(6)對結(jié)果數(shù)據(jù)和設計方案進行合理性和適用性分析。其中，最關(guān)鍵的是兩個方面的工作： 首先將優(yōu)化設計問題抽象和表述為計算 機可以接受與處理的優(yōu)化設計數(shù)學模型， 通常簡稱它為 優(yōu)化建模；然后選用優(yōu)化 計算方法及其程序在計算機上求出這個模型的的最優(yōu)解，通常簡稱它為

4、 優(yōu)化計 算。優(yōu)化設計數(shù)學模型是用數(shù)學的形式表示所設計問題的特征和追求的目的， 它 反映了設計指標與各個主要影響因素 (設計參數(shù)) 間的一種依賴關(guān)系， 它是獲得 正確優(yōu)化結(jié)果的前提。由于優(yōu)化計算方法很多， 因而它的選用是一個比較棘手的問題， 在選用時一 般都遵循這樣的兩個原則： 一是選用適合于模型計算的方法； 二是選用已有計算 機程序，且使用簡單和計算穩(wěn)定的方法。四無約束優(yōu)化計算方法1單變量優(yōu)化計算方法 一維搜索就是要在初始單峰區(qū)間中求單峰函數(shù)的極小點。 所以 找初始單峰區(qū) 間是一維搜索的第一步 。然后將初始單峰區(qū)間逐步縮小， 直至極小點存在的范圍小于給定的一個正數(shù) ?，此?稱為收斂精度或迭代

5、精度 。此時，如區(qū)間為 a(k),b(k) ，即有b(k)-a(k)< ?可取該區(qū)間的中點作為極小點x*=0.5(a(k)+b(k)(1) 黃金分割法在區(qū)間a,b內(nèi)，適當插入兩個內(nèi)分點x1和x2 (x1< x2),它們把a,b 分成 三段。計算并比較x1和x2兩點的函數(shù)值f(x1)和f(x2),因為a,b是單峰區(qū)間， 故當f(x1)>f(x2) 時，極小點必在x1,b中；當 f(x1)<f(x2) 時，極小點必在 a,x2 中。無論發(fā)生在那種情況， 都將包含極小點的區(qū)間縮小， 即可刪去最左段或最右 段，然后在保留下來的區(qū)間上做同樣的處理， 如此迭代下去， 將使搜索區(qū)間逐

6、步 減小，直到滿足預先給定的精度(終止準則)時，即獲得一維優(yōu)化問題的近似最 優(yōu)解。(2) 二次插值法二次插值的基本思想是利用目標函數(shù)在不同 3點的函數(shù)值構(gòu)成一個與原函數(shù) f(x)相近似的二次多項式p(x)，以函數(shù)p(x)的極值點(即p' (x*p)=0的根)作為 目標函數(shù)f(x)的近似極值點。2. 多變量優(yōu)化計算方法(在此只對梯度方法做一簡介)(1) 梯度法梯度方向是函數(shù)增加最快的方向，而負梯度方向是函數(shù)下降最快的方向； 梯度法以負梯度方向為搜索方向， 每次迭代都沿著負梯度方向一維搜索， 直 到滿足精度要求為止；因此，梯度法又稱為最速下降法。梯度法的優(yōu)點是理論明確， 程序簡單， 對初始

7、點要求不嚴格， 有著很好的整 體收斂性； 缺點在于在遠離極小點時逼近速度較快， 而在接近極小點時逼近速度 較慢，收斂速度與 目標函數(shù)的性質(zhì) 密切相關(guān)。(2) 牛頓法利用目標函數(shù)f(x)在點x(k)處的二階Taylor展開式去近似目標函數(shù)，用二次 函數(shù)的極小點去逼近目標函數(shù)的極小點。適用場合為：如果目標函數(shù)f(x)在R上具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，其Hessiar矩 陣G(x)正定并且可以表達為顯式，那么可以使用牛頓法。(3) 修正牛頓法為了克服牛頓法的缺點， 人們保留選牛頓方向作為搜索方向， 摒棄其步長恒 取1，而用一維搜索確定最優(yōu)步長，由此產(chǎn)生的算法稱為修正牛頓法 (或阻力牛頓 法、阻尼牛頓法 )

8、。修正牛頓法的優(yōu)點是克服了牛頓法的主要缺點， 特別是當?shù)c接近于最優(yōu) 解時，此法具有收斂速度快的優(yōu)點， 且對初始點的選擇要求不嚴； 修正牛頓法的 缺點是仍然需要計算目標函數(shù)的Hessiam陣和逆矩陣，所以求解的計算量和存 儲量很大，另外當目標函數(shù)的Hessian陣在某點處出現(xiàn)奇異時，迭代將無法進 行。(4) 共軛方向法一般地，在n維空間中可以找出n個互相共軛的方向，對于n元正定二次函數(shù)， 從任意初始點出發(fā)，順次沿這n個共軛方向最多作n次直線搜索就可以求得目標函 數(shù)的極小點.這就是共軛方向法的算法形成的基本思想。對于n元正定二次目標函數(shù)，從任意初始點出發(fā)， 如果經(jīng)過有限次迭代就能夠求得極小點，

9、 那么這種算 法稱為具有二次終止性。例如牛頓法對于二次函數(shù)只須經(jīng)過一次迭代就可以求得極小點， 因此是二次 終止的；而最速下降法不具有二次終止性；共軛方向法(包括共軛梯度法，變尺 度法等)是二次終止的。一般來說，具有二次終止性的算法，在用于一般函數(shù)時，收斂速度較快。五、約束優(yōu)化設計方法與無約束優(yōu)化問題不同的是， 約束優(yōu)化問題的目標函數(shù)的最小值是函數(shù)在 有 約束條件所限定的可行域內(nèi)的最小值 ，并不一定是目標函數(shù)的自然最小值 。約束優(yōu)化方法是用來求解如下非線性約束優(yōu)化問題的數(shù)值迭代算法。1. 可行方向法數(shù)學基礎： 梯度法、方向?qū)?shù)、 kt 條件適用條件：目標函數(shù)和約束函數(shù)均為n維一階連續(xù)可微函數(shù)、可

10、行域是連續(xù)閉 集、求解不等式約束的一種直接解法?？尚蟹较蚍ㄊ怯锰荻热デ蠼饧s束非線性最優(yōu)化問題的一種有代表性的直接 解法，它是求解大型約束優(yōu)化問題的主要方法之一。其收斂速度快，效果好，但 程序比較復雜，直接算法，計算困難且工作量大。2. 懲罰函數(shù)法將不等式和等式約束函數(shù) gu(X) < 0(u=1,2, , m), hv(X)=0(v=l,2, , p) 和待定系數(shù) r (k) (稱為加權(quán)因子)經(jīng)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標函數(shù)一起組成一個新 的目標函數(shù)( 懲罰函數(shù))，然后對它求最優(yōu)解。把其中不等式和等式約束函數(shù)值經(jīng)加權(quán)處理后， 和原目標函數(shù)結(jié)合新的目標 函數(shù)：min 巾(X,r i(k) ,r

11、2(k) )=f(X)+r i(k)藝 Ggu(X)+r 2(k)藝 Hhv(X)(1) 外點懲罰函數(shù)法基本思想：外點法是將懲罰函數(shù)定義于可行區(qū)域的外部。 序列迭代點從可行 域外部逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。外點懲罰函數(shù)法構(gòu)造懲罰函數(shù)的形式為：巾(X,r (k)=f(X)+r (k)藝 max0,gu(X) 2+r(k)藝 Hhv(X) 2外點法將懲罰函數(shù)定義于約束可行域之外， 且求解無約束問題的一系列 迭代點是從可行域外部逼近原目標函數(shù)的約束最優(yōu)解。(2) 內(nèi)點懲罰函數(shù)法基本思想：將新目標函數(shù)定義于 可行域內(nèi) ，序列迭代點在可行域內(nèi)逐步逼近 約束邊界上的最優(yōu)點。 內(nèi)點法只能用來求解具有不等式

12、約束的優(yōu)化問題 。內(nèi)點懲罰函數(shù)法構(gòu)造懲罰函數(shù)的形式為：巾(X,r (k)=f(X)-r(k)藝1/g u(X)或巾(X,r (k)=f(X)-r(k)藝 ln-g u(X)因內(nèi)點法將懲罰函數(shù)定義在可行域內(nèi)， 故點X0)要嚴格滿足全部的約束條件， 且應選擇離約束邊界較遠些，即應使 gu(X(0)<0(u=1,2 , m)。(3) 初始懲罰因子r(0)的選擇r (0)的選擇會影響到迭代計算能否正常進行以及計算效率的高低， 值應適當。 若r太大，則開始幾次構(gòu)造的懲罰函數(shù)的無約束極值點會離約束邊界很遠， 將增加迭代次數(shù)，使計算效率降低。若r太小，懲罰函數(shù)中的障礙項的作用就會很小，使懲罰函數(shù)性態(tài)變

13、壞， 甚至難以收斂到原約束目標函數(shù)的極值點。目前，還沒有一定的有效方法， 往往要經(jīng)過多次試算， 才能確定一個適當?shù)?r (0) 。多數(shù)情況下，一般取r(0)=1，然后根據(jù)試算的結(jié)果，加以調(diào)整。(4) 懲罰因子的縮減系數(shù)C的選擇在構(gòu)造序列懲罰函數(shù)時，懲罰因子r(k)是一個逐次遞減到0的數(shù)列，相鄰兩次 迭代的懲罰因子關(guān)系式為：r(k)=Cr(k-1)其中，C懲罰因子的縮減系數(shù)，0<Cv1,通常取值為：0.10.7。六、小結(jié)及心得在老師所給出的四種設計計算方法當中，我之所以選擇了優(yōu)化設計方法， 是因為在上個學期我曾經(jīng)選修過現(xiàn)代設計方法 A，對一些優(yōu)化設計方法有一 些簡單的學習和了解。 機械優(yōu)化

14、設計方法多種多樣， 不是簡簡單單就能介紹清楚 的。在此，我僅僅對無約束、有約束的優(yōu)化設計方法進行了介紹，除此之外，還 有多目標問題、 多學科問題、 離散問題的優(yōu)化設計方法等等， 在各行各業(yè)當中都 能看到它們的影子。說到優(yōu)化設計方法，它給我的第一個印象就是要算，而且還是不停的算。 優(yōu)化設計方法， 說白了就是給出一個具體的問題， 選擇了合適的計算方法， 找到 適合這個問題所需要的公式， 然后一直迭代一直迭代， 直到滿足要求的精度或者 終止準則， 優(yōu)化設計方法不適合我們用手去算， 那樣不僅費時費力， 而且得到的 結(jié)果也會有很大的誤差。 因此，我們在采用優(yōu)化設計方法解決問題時， 通常會使 用計算機幫助我們進行計算， matlab 就是一個不錯的軟件， 它包含了解決工程問 題所需要的多種函數(shù)，可以很快的得出運算結(jié)果即最優(yōu)解。其次，這種方法對個人數(shù)學水平的要求較高。雖然計算機可以幫助我們完 成大部分的運算， 但是它