微分中值定理的證明題[1]

1、微分中值定理的證明題1.若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，f (a) f(b) 0,證明：R ,(a,b)使得：f ( ) f ( )0證：構(gòu)造函數(shù)F(x) f (x)e x，則F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),0，故 f ( ) f( ) 0。且F(a) F(b) 0,由羅爾中值定理知：(a,b)，使F( ) 02.設(shè)a,b 0 ,證明：(a,b)，使得 aeb bea (1 )e (a b)。證：將上等式變形得：1 1 11 b 1 丄-11-eb ea (1 )e (-) baba即：f ( ) f( )e0，而 e111 1作輔助函數(shù)f(x) xex，則f (x)

2、在丄,丄上連續(xù)，在(丄,丄)內(nèi)可導(dǎo),b ab a由拉格朗日定理得:1 b1 a1b1aeeba(A-1(1即f(1) f(1)ab a11f)即：aeb bea (1 )e (a b)(a, b)。3. 設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1) 0，有F(x) x2 f (x)證明：在(0,1) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：F ( ) 0。證：顯然F(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，又F(0)F(1) 0,故由羅爾定理知：X。(0,1)，使得F(X。)0又 F (x) 2xf(x) x2f (x)，故 F (0)0, 于是 F (x)在0, x°上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在(0

3、,x°),使得：F ( ) 0,而(0,x°)(0,1)，即證4. 設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(0) 0, f(1) 1 .證明:在(0,1)內(nèi)存在，使得f( )1 在(0,1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn) ，使得f/( )f/( ) 1【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問(wèn) 題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論【證明】(I)令F(X) f(x) 1x，則 F(x)在0，1上連續(xù)，且 F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在(0,1),使得 F( )0，即 f( )1(II

4、 )在0, 和 ,1上對(duì) f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在兩個(gè)不同的點(diǎn)(0, ),( ,1)，使得 f ()f( )f(0)，f()f(1) f()1于是，由問(wèn)題(1)的結(jié)論有f()f() g亠 i11.5. 設(shè)f(x)在0，2a上連續(xù)，f(0)f(2a)，證明在0,a上存在 使得f(a ) f().【分析】f (x)在0,2a上連續(xù)，條件中沒(méi)有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根 的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到f(a) f( )f (a)f( ) 0 f(a x)f(x) 0【證明】令 G(x)f (a x)f (x)，x0,a . G(x)在0,a上連續(xù)，且G(a) f(2a) f(

5、a) f (0) f(a)G(0) f(a) f(0)當(dāng) f(a)f(0)時(shí)，取0，即有 f (a ) f();當(dāng)f(a) f(0)時(shí)，G(0)G(a) 0，由根的存在性定理知存在(0,a)使得,G( )0,即 f(a ) f( ) 6. 若f(x)在0,1上可導(dǎo)，且當(dāng)x 0,1時(shí)有0 f(x) 1,且f (x)1，證明：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)使得f()證明：存在性構(gòu)造輔助函數(shù)F(x) f (x) x則 F(x)在0,1上連續(xù)，且有 F(0)f(0) 00，F(xiàn)(1)f(1) 10，由零點(diǎn)定理可知：F(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得F( ) 0,即：f()唯一性：(反證法)假設(shè)有兩個(gè)

6、點(diǎn)1, 2(0,1)，且12，使得F( 1) F( 2)0F(x)在0,1上連續(xù)且可導(dǎo)，且1, 2】0,1F(x)在1,2】上滿足Rolle定理?xiàng)l件必存在一點(diǎn)(1,2)，使得：F ( ) f ( ) 1 0即: f ( )1，這與已知中f (x)1矛盾假設(shè)不成立，即：F (x) f (x) x在(0,1)內(nèi)僅有一個(gè)根，綜上所述：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得f()17. 設(shè) f(x)在0，1上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0) = f(1)=0, f( )=1。試2證至少存在一個(gè)(0，1)，使f=1。分析：f'( ) =1 f '(x) =1 f (x) =x f (x

7、) x=0 令 F ( x)= f (x) x證明： 令 F( x)= f (x) xF ( x)在0，1上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo),F (1)= f (1) 110( f (1)0)1 1111F(1)= f(1) 1 1 0( f(£) 1)2 22 221由介值定理可知，一個(gè) (,1)，使F ( )=0 又 F (0)= f (0) 0=0對(duì) F(x)在0 , 1上用 Rolle 定理， 一個(gè) (0 ,)(0 , 1)使F'( )=0 即 f'( )=18.設(shè)f(x)在0,1上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)f(1)試證存在 和滿足1,使 f (證由拉格朗日

8、中值定理知,1f(2)f(0)1 021f(1) f(-)2f(0)1(%)(和1f(1) £)29.設(shè)f (x)在a,b上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0 ab), f(a) f(b),證明：(a,b)使得f( ) f ( )2證：(用(b a)乘于(1)式兩端，知)(1)式等價(jià)于(1)r(b a)中®2 a2).(2)為證此式，只要取F(x) f (x),取G(x) x和x2在a,b上分別應(yīng)用Cauchy中值定理，則知f(b) f(a)(b a)屮(b2 a2),其中(a,b).10.已知函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)，在(0 , 1)內(nèi)可導(dǎo),0 a b，證明存在(a,b)，使3

9、 2f/( ) (a2ab b2)f/()解：利用柯西中值定理f/( ) f(b) f(a)b3而 f (b) f (a) f/()(b a)f/( ) f(b) f(a)f/( )(bb3a)3 af/()2 aab b2(后面略)11.設(shè)f (x)在x a時(shí)連續(xù),f(a)x a時(shí),f/ (x) k 0，則在(a,af (a) k )解:內(nèi)f(x) 0有唯一的實(shí)根因?yàn)閒 / (x) k 0，則f (x)在(a, a罟)上單調(diào)增加f(a f(a)k)f(a)f/()¥f(a)1f/()k0 (中值定理)而f(a) 0故在(a,a -f(a)內(nèi)f(x) 0有唯一的實(shí)根k12.試問(wèn)如下推

10、論過(guò)程是否正確對(duì)函數(shù) f (t)2 . 1 sin t0在0,x上應(yīng)用拉0格朗日中值定理得:f(x) f(0)x 02 1x sinxx 0.1xsi nxsin-1cos (0x)即：cos2 sin1 xsin1x(0x)x ,故當(dāng)x 0時(shí),10 ,由 lim 2 sinlimx 0.1xsinx得：lim cos丄x 01即 lim cos 01解：我們已經(jīng)知道，lim cos-0不存在，故以上推理過(guò)程錯(cuò)誤0首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的 是個(gè)中值點(diǎn)，是由f和區(qū)間0, x的端點(diǎn)而定的，具體地說(shuō)，與x有關(guān)系，是依賴于x的，當(dāng)x 0時(shí)， 不定連續(xù)地趨于零，它可以跳躍地取某些值趨于零，從而

11、使lim cos丄0成x 01 1立，而lim cos 0中要求 是連續(xù)地趨于零。故由lim cos 0推不出0x 0lim cos1013.證明:xtgx cos x證明：作輔助函數(shù)f (x) tgx，則f (x)在0,x上連續(xù)，在(0, x)內(nèi)可導(dǎo),(0,x)由拉格朗日定理知：3迪壑f()斗x 0 xcos即：tgx ，因cosx在(0,)內(nèi)單調(diào)遞減，故一L 在(0,)cos2cos x 2內(nèi)單調(diào)遞增，故12cos 012cos12cos x即:x2 cosx2cos x即：x tgxcos2x注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)f(x)及相應(yīng)的區(qū)間a,b，

12、然后驗(yàn)證條件，利用定理得f(b) f(a) f ( )(b a) (a,b)，再根據(jù)f (x)在(a,b)內(nèi)符號(hào)或單調(diào)證明不等式。14.證明：當(dāng) 0 x 時(shí)，sinx tgx 2x。證明：作輔助函數(shù) (x) sinx tgx 2x x(%)貝U (x) cosx sec x 2cosx2cos x-V 2cos x2 -Vcos x(cosx丄)2cosx故(x)在(0-)上單調(diào)遞減，又因(0)0 ,(x)在(0-)上連續(xù)，2 2故 (x)(0)=0,即：si nx tgx 2x 0，即：si nx tgx 2x。注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一， 欲證當(dāng)x I時(shí)f(x) g(x)， 常用輔助函數(shù)(X) f (x) g(x)，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化證(x) 0，然后在I上 討論(X)的單調(diào)性，進(jìn)而完成證明。15.證明：若 f(x)二階可導(dǎo)，且 f (x)0，f(0)0，則 F(x) f(x)在x(0,)內(nèi)單調(diào)遞增。證明：因F (x) xf (x)