極坐標(biāo)系與參數(shù)方程

1、極坐標(biāo)系與參數(shù)方程疏編稿：侯彬?qū)徃澹喊矕|明責(zé)編：辛文升、基礎(chǔ)知識(shí)回顧1 .極坐標(biāo)系&（1）建系：如圖所示，在平面上取一個(gè)定點(diǎn)0,由0點(diǎn)出發(fā)的一條射線 Ox, 個(gè)長(zhǎng)度單位及計(jì)算角度的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系。0點(diǎn)稱為極點(diǎn)，Ox稱為極軸。平面上任意點(diǎn)Ox至U 0M的角度去來(lái)刻畫(huà)，這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)，稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo)。4稱為極徑，L稱為極角。多數(shù)情況 下，我們用弧度制度量士。注意：平面上的點(diǎn)與其極坐標(biāo)之間不具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)槿酎c(diǎn)M的一組極坐標(biāo)為'_ -，則Q日+2炊）（k Z）也是點(diǎn)M的極坐標(biāo)。若限定 弘U(xiǎn)遠(yuǎn)，則除原點(diǎn) 外，點(diǎn)其極坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。（2）極坐標(biāo)系

2、與直角坐標(biāo)系的互化在平面上取定了一個(gè)極坐標(biāo)系,以極軸作為直角坐標(biāo)系的& x軸的正半軸，以7T2的射線作y軸的正半軸，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)度單位不變，建立一個(gè)直角坐標(biāo)系。設(shè)M為平面上的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為（ x, y）,極坐標(biāo)為 9Q。畫(huà)圖可知:r 23 .2p =孟+ytan (x 0)或Ix（3）曲線的極坐標(biāo)方程的概念在給定的平面上的極坐標(biāo)系下，有一個(gè)二元方程刃（口8）=0。如果曲線c是由極坐標(biāo)1 滿足方程的所有點(diǎn)組成的，則稱此二元方程J1為曲線C的極坐標(biāo)方程。也就是說(shuō)：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)在曲線C上； 曲線C上的點(diǎn)的至少一組坐標(biāo)是方程的解。(4) 直線的極坐標(biāo)方程 經(jīng)過(guò)極點(diǎn)：-二二

3、或+二斤二。 垂直于極軸且與極點(diǎn)距離為a(> 0) := 土說(shuō)。 平行于極軸且與極點(diǎn)距離為a (> 0)：乜。(5) 圓的極坐標(biāo)方程 圓心為極點(diǎn)，半徑為 r:口二尸。 圓心為(r, 0),半徑為r: Q =日。 圓心為，半徑為r:一2 圓心為二，半徑為r。 圓心為.,半徑為r:- 宀：。2 參數(shù)方程包(1) 定義：平面直角坐標(biāo)系上點(diǎn)的坐標(biāo)x, y表示為第三個(gè)變量t的函數(shù),''-,參數(shù)t是聯(lián)系x, y的橋梁，消去t即得到方程F(x, y)=0。注意：對(duì)t的每一取值，方程組確定的點(diǎn)(x, y)在曲線上；線上任一點(diǎn)(x, y)都可由t的某一取值通過(guò)方程組可得到。*(2)

4、已知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Po(xo, yo),傾斜角為；，則方向向量一，直線上任意一點(diǎn)X 二心 +icos cc"十e、,卄口 RP -iv mtt y 二片如口e /丄、/ q怙、P(x, y)滿足D，則X c(t為參數(shù))。注意：參數(shù)t的意義：t的符號(hào)：相對(duì)于 Po (xo, y°)的位置。t的絕對(duì)值：|PoP|=|t|。若已知一般的方向向量1- 1 類(lèi)似于上述過(guò)程時(shí)參數(shù)t就不具有上述參數(shù)方程的意義。K=屯+戊上"=旳+曲(t為參數(shù))，但此(3)圓一.-的參數(shù)方程:盂= 十F COS召丁二艸4疔垃占，日為參數(shù)。橢圓的參數(shù)方程:二、典型例題冏-ijt cos Bi.設(shè)點(diǎn)、

5、，直線過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸, 極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)。I窿分別求點(diǎn)M關(guān)于極軸，直線,解：關(guān)于極軸：一一；關(guān)于直線兒一 一門(mén)關(guān)于極點(diǎn)：y十。說(shuō)明：點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一，寫(xiě)出一組即可。2.把下列點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：，B( 1，2)。國(guó)2解: (1) ： '，二,-'- A點(diǎn)直角坐標(biāo)-、。)戸鳥(niǎo)=1= 2 x= cos£ = cos 22 丿 ，一 , 一 一 B點(diǎn)直角坐標(biāo)'3. 把下列點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)：A (1，- 1), B (1 , n ) _1解: (1)=:" 一 ，亠 W門(mén) ,-，又A在第四象限,-7(2)求直線與直線1 -：< _1的

6、交點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PM| 。(血-卻A點(diǎn)極坐標(biāo)-(2)'啟=1壯"P 二 Jx；十 y；二 Jl+帀2 , t an = TT，又 b 在第一象限，-arctaiiTrB點(diǎn)極坐標(biāo)' ' ,1 -C將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程。園(1) -c -2；(2)衛(wèi)-:：1- - ； (3);:m-Q=o . (4)=/燦2日解：(1)直角坐標(biāo)方程為2 2x +y =1(2 )T"沁日曲線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，.p! 2 2 廠，x +y =y(3 )* " ?l .：'： -:- >2 2 (x +y )(x 1)=023 n(4)兒'

7、-：曲線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)'- (x2+y2)2=2a2xy5求直線 = 2_4/的傾斜角。由(2)求直線與直線1 -：< _1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PM| 。(2)求直線與直線1 -：< _1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PM| 。解：法一：直線的方向向量_傾斜角為法二：消去t，將直線方程化為普通方程為-442V =-兀-| 即-3TT arctan ，傾斜角為：(2)求直線與直線1 -：< _1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PM| 。(2)求直線與直線1 -：< _1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PM| 。胃廠6設(shè)直線'經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (1 , 1),傾斜角為&。iJj(1)寫(xiě)出直線的參數(shù)方程;解

8、：(1)的參數(shù)方程為(1+12J5+D1+丄(23+6) P點(diǎn)坐標(biāo)為 即(33屈，每占)，且|FM|= 2羽出7.直線，'經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (1, 3)且與'_ 1 -共線，求點(diǎn)P ( 2, 1)到直線,的 距離。固P = l+2£解：的參數(shù)方程-*4設(shè) P 到點(diǎn)的距離為 d,':/'_ 1 ''：“ P到的距離為J |: “。(>蘭+疋=1田&求橢圓- 上的點(diǎn)到M (2, 0)的距離的最小值。國(guó)解：設(shè)橢圓上點(diǎn)坐標(biāo)''- "' ：ri，J , M到橢圓上點(diǎn)的距離為 d=-24 cos + 4 + 20(1- cos3 8) =： 16cosJ 24cos + 24= 16(003/ 4*15CQ£ & 一12| g當(dāng)_時(shí) '(2)求直線與直線1 -：< _1的交點(diǎn)P的坐標(biāo)及|PM| 。橢圓上點(diǎn)到 M （2, 0）的距離最小值為/亠。三、課后練習(xí)闔1 極坐標(biāo)方程 ?_ 1二 表示的曲線是（）A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線/不閃口 20+ 2-725111（+） = 02. 已知?jiǎng)訄A方程'，那么圓心的軌跡是（）A.橢圓B.橢圓的一部分C.拋物線D.拋物線的一部分