點差法公式在雙曲線中點弦問題中的妙用

1、點差法公式在雙曲線中點弦問題中的妙用廣西南寧外國語學校隆光誠(郵政編碼 530007)圓錐曲線的中點弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一兀二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦 的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”，它的一般結論叫做點差法公式。本文就雙曲線的點差法公式在高考中的妙用做一些粗 淺的探討，以饗讀者。2定理在雙曲線篤a2M N兩點，點爲

2、i ( a > 0, b > 0)中，若直線I與雙曲線相交于b2P(X0,y°)是弦MN的中點，弦MN所在的直線I的斜率為k|MN，則kMN匹X。b22 .a證明：設MN兩點的坐標分別為(為，力)、(X2,y2)，則有2 Xi 2 a2X22a2里ib2 i!2亙ib2 i.2Xi(i)(2)，得丄2X22a2 2yiy2b20.y2 yiy2yiX2XiX2Xib22 .a又k|MNy2 yiX2Xiyi y2XiX22y°2X0yoX0kMN Xb22 .a同理可證，在雙曲線2y_2a(a > 0, b > 0)中，若直線I與雙曲線相交于M N兩

3、點,2a了.點P(X0, y°)是弦MN的中點，弦MN所在的直線I的斜率為kMN，則kMN 址x。典題妙解22 X例1已知雙曲線C : y21，過點P（2,1）作直線I交雙曲線C于A、B兩點.3（1）求弦AB的中點M的軌跡；（2）若P恰為弦AB的中點，求直線I的方程.2 2解：（1）a 1,b3,焦點在y軸上.設點M的坐標為（x,y），由kABy得:：2E ix整理得：x2 3y22x3y0.所求的軌跡方程為2 x3y22x3y 0.（2）P恰為弦AB的中點,2 a, 11 ,2由kAB2得：kAB -,即 kABxb2233直線I的方程為y 12（x 2），即2x 3y 10.3例

4、2已知雙曲線C : 2x2y2 2與點P（1,2）.（1）斜率為k且過點P的直線I與C有兩個公共點，求 k的取值范圍;（2） 是否存在過點 P的弦AB,使得AB的中點為P（3）試判斷以Q（1,1）為中點的弦是否存在.解：（1）直線I的方程為y 2 k（x 1），即y kx 2 k.y kx 2 k, 2222由 22得(k2 2)x2 2(k2 2k)x k2 4k 6 0.2x2y2 2.直線I與C有兩個公共點,得k22 0,4(k22k)24(k22)(k2 4k 6)0.解之得：k v 3且 k2.2k 的取值范圍是（,.2）（、2, 2、（.、2,3）.22（2）雙曲線的標準方程為x2

5、 丄 1, a21,b22.2設存在過點P的弦AB,使得AB的中點為P,則由kAB也 得：k 22, k 1.xoa由（1）可知，k 1時，直線I與C有兩個公共點，存在這樣的弦.這時直線I的方程為y x 1.（3）設以Q（1,1）為中點的弦存在，則由 kAB比 2得：k 12, k 2.Xoa由（1）可知，k 2時，直線I與C沒有兩個公共點，設以Q（1,1）為中點的弦不存在.例3 過點M （ 2,0）作直線I交雙曲線C : x2 y2 1于A、B兩點，已知OP OA OB（ O為坐標原點），求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線解：在雙曲線 C : x2 y2 1中，a2 b2 1，焦點在x軸

6、上.設弦AB的中點為Q .OP OA OB,設點P的坐標為（x,y），則點Q的坐標為由平行四邊形法則知：OP 2OQ，即Q是線段OP的中點.由kAB整理得:4x0.配方得:(x2)241.點P的軌跡方程是(x2)241，它是中心為 （2,0），對稱軸分別為x軸和直線x 20的雙曲線例4.設雙曲線C的中心在原點，以拋物線y22、3x 4的頂點為雙曲線的右焦點，拋物線的準線為雙曲線的右準線.（I）試求雙曲線 C的方程;（n）設直線1 :（川）對于直線y 2x 1與雙曲線C交于A, B兩點，求 AB ;I : y kx 1，是否存在這樣的實數(shù)k，使直線I與雙曲線C的交點A, B關于直ax 4 （ a

7、為常數(shù)）對稱，若存在，求出 k值；若不存在，請說明理由.解：（I）由y22屈 4 得 y22j3(x 上),73p3，拋物線的頂點是,0），準線是x232*32C財在雙曲線C中，2aa21c 2、3,?b21.雙曲線C的方程為3x21.(n)由 y 22x21,得：x2 4x 2 3x2 y21.2.設 A(%, yj, B(X2, y2)，則 xx?4,g|AB| .(1 k2)(xix2)2 4x1x2 ,(122)( 4)24 22. 10.（川）假設存在這樣的實數(shù) k,使直線I與雙曲線C的交點 代B關于直線l'對稱，則丨是線段AB1的垂直平分線.因而a ，從而I': y

8、kx 4.設線段AB的中點為kP(xo,yo).由kAEyob2得:xa由yo1kXo4得由、得：Xok,由yokxo1得:32yokyoy。Xok2Xokyo 3x°.4k.2 2又由y 1 得: (k23)x2 2kx 2y kx 1.0.直線l與雙曲線C相交于A B兩點,4k2 8(k2 3) >0，即 k2 v6,且 k23.符合題意的k的值存在，k 2.金指點睛F(. 7,0)，直線 yX 1與其相交于 M N兩點,MN的中點的橫坐標為2則此雙曲線的方程為()32 222222 2A. Xy1B.xy1 C.xy 1D.X y 1344352251. (03全國)已知

9、雙曲線中心在原點且一個焦點為22. ( 02江蘇)設A、B是雙曲線x2 21上兩點，點N(1,2)是線段AB的中點.3.已知雙曲線x -1，過點3(1)求弦AB的中點M的軌跡；(2)若點P恰好是弦AB的中點，求直線l的方程和弦AB的長.(1)求直線AB的方程;(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點，那么A B、C、D四點是否共圓，為什P(丄，3)作直線l交雙曲線于A、B兩點.2 22 24、雙曲線C的中心在原點，并以橢圓2 3x的準線為(1的焦點為焦點，以拋物線 y22513右準線.(1) 求雙曲線C的方程；(2) 設直線l : y kx 3(k 0)與雙曲線C相交于A、B兩點

10、，使A、B兩點關于直線l : y mx 6( m 0)對稱，求k的值.參考答案1.解：在直線y x1中，k1， x2評3時，y53 .由 kMN 70xb25又由a22得a22,b25.2 2 2 a b c7故答案選D.2 -2b 一 a5 一 25 - 3一2 - 32.解：（1）a21,b22，焦點在x上.由kAByoXo2 得: kABakAB1.所求的直線AB方程為y1 (x1），即 x1 0.（2）設直線CD的方程為x0,點N（1,2）在直線CD上,1 2 m 0， m 3.直線CD的方程為x y 30.又設弦CD的中點為M （x,y）,由kCDb2 得:a1 -2，即x2x.由x

11、 y 3y2x.0,得x3,y點M的坐標為(3,6).x y 1又由y22 yx20,得A(1.1,0),B(3,4).由兩點間的距離公式可知:|MA| |MB | MC | MD | 2.10.故A B、C、D四點到點M的距離相等，即3.解：（1） a21, b23，焦點在x上.設點M的坐標為（x, y）.若直線I的的斜率不存在，則Ix軸，這時直線I與雙曲線沒有公共點,不合題意，故直線I的的斜率存在.由kABX得:a3y 112整理，得:6x2 2y3x3y 0點M的軌跡方程為6x22y23x3y 0.（2）由 kABb2a得:32123， kAB 1 .所求的直線l方程為（x丄），即y X 1.22y3X 1.解之得:Xi2,X21.| AB| 1 k2 |X2 Xi|3 2.2 24.解：(1)在橢圓1中,25135,b13,cb2焦點為 F1（ 2 .3,0）, F2（2 -.3,0）.在拋物線y22 3x 中,準線為x2在雙曲線中，c,3,b3.x2所求雙曲線C的方程為-(2)直線|是弦AB的垂直平分線,1 '，從而l : yk1 x 6 設弦AB的中點為 kP（X0, y0）.由kABy。X0得:a