微積分基本公式ppt課件

1、14.2 微積分基本公式微積分基本公式 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) (v(t)和和s(t)的關(guān)系的關(guān)系)fundamental formula of calculus 第第4 4章章 定積分與不定積分定積分與不定積分2 通過(guò)定積分的物理意義通過(guò)定積分的物理意義,例例變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21d)(TTttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs (v(t)和和s(t)的關(guān)系的關(guān)系)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng), 已知速度已知速度v = v

2、(t), 0)( tv且且求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.是時(shí)間間隔是時(shí)間間隔T1,T2上上t 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)的一個(gè)連續(xù)函數(shù),).()(d)(1221TsTsttvTT )()(tvts 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出其中其中分的有效、簡(jiǎn)便的方法分的有效、簡(jiǎn)便的方法.找到一個(gè)計(jì)算定積找到一個(gè)計(jì)算定積 4.2 微積分基本公式微積分基本公式所以所以為了敘述上的方便為了敘述上的方便, 引入原函數(shù)的概念引入原函數(shù)的概念.3定義定義4.2例例)(sin x原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義或或)()(xfxF ,d)()(dxxfxF 如果在區(qū)間如果在區(qū)間I I上上, ,則稱則稱F(x

3、)F(x)為為f (x)f (x)在在I I上的一上的一原函數(shù)原函數(shù). .xcos 個(gè)個(gè)或由或由 xsindxxdcos知知xxFsin)( 是是xxfcos)( 上上的的一一個(gè)個(gè)在在),( 原函數(shù)原函數(shù). .CxF )(也是也是xxfcos)( 的原函數(shù)的原函數(shù), ,其中其中C C為任意常數(shù)為任意常數(shù). .CCCx sin 4.2 微積分基本公式微積分基本公式4一般一般, ,)(xF亦為亦為f (x)的原函數(shù)的原函數(shù)(C為任意常數(shù)為任意常數(shù)).因因 )(CxF一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù)一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù), ,就有無(wú)窮多個(gè)就有無(wú)窮多個(gè). . 那么那么 )(xF).(xfC 若若F(x)為為f (x

4、)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 4.2 微積分基本公式微積分基本公式 如果能從如果能從v(t)求出求出s(t), 21d)(TTttv)()(12TsTs 運(yùn)算運(yùn)算.定積分定積分運(yùn)算就可化為減法運(yùn)算就可化為減法).()(),()(d)(1221tvtsTsTsttvTT 其其中中啟發(fā)啟發(fā)定積分的計(jì)算有捷徑可定積分的計(jì)算有捷徑可尋尋進(jìn)行一般性的討論進(jìn)行一般性的討論.5定積分定積分: attfd)(積分上限函數(shù)積分上限函數(shù),bax ).(x 注注)d)( xaxxf一定要分清函數(shù)的一定要分清函數(shù)的如果上限如果上限 x 在區(qū)間在區(qū)間a, b上任意變動(dòng)上任意變動(dòng),每一個(gè)取定的每一個(gè)取定的 x 值值,則對(duì)

5、于則對(duì)于定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,所以它所以它在在a, b上定義了一個(gè)函數(shù)上定義了一個(gè)函數(shù),設(shè)設(shè)f (x)在在a, b中可積中可積,則對(duì)任一點(diǎn)則對(duì)任一點(diǎn)x )(x 與與自變量自變量x積分變量積分變量t.xtt二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)記為記為變上限定積分變上限定積分 4.2 微積分基本公式微積分基本公式6 xattfxd)()( 這個(gè)函數(shù)的幾何意義 下面討論這個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性下面討論這個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性.是如圖紅色部分是如圖紅色部分的面積函數(shù)的面積函數(shù).ab)(xfy Oxyx)(x 4.2 微積分基本公式微積分基本公式7考研數(shù)學(xué)一至四考研數(shù)學(xué)一至四, 選擇題選擇題

6、, 4分分 如圖如圖, 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 3 , 2,2, 3 上的圖形分別是直徑為上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周的上、下半圓周, 在區(qū)間在區(qū)間2 , 0,0 , 2 上的圖形分別是直徑為上的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周的下、上半圓周.,d)()(0 xttfxF設(shè)設(shè) 則下列結(jié)論正確的是則下列結(jié)論正確的是).2(43)3()A( FF).2(45)3()B(FF ).2(43)3()C(FF ).2(45)3()D( FF3 2 1O 123xy 4.2 微積分基本公式微積分基本公式82009年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一,二二,三三, 選擇題選擇題, 4分

7、分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 上的圖形為上的圖形為3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1則函數(shù)則函數(shù) xttfxF0d)()(的圖形為的圖形為)B( 1O 1 2 3x)(xF 1)A( 1O 1 2 3x)(xF1 )C( 1O 1 2 3x)(xF 1)D( 1O 1 2 3x)(xF 1 4.2 微積分基本公式微積分基本公式92009年考研數(shù)學(xué)一年考研數(shù)學(xué)一,二二,三三, 選擇題選擇題, 4分分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間在區(qū)間 上的圖形為上的圖形為3 , 1 1O 12 3x)(xf12 1則函數(shù)則函數(shù) xttfxF0d)()(的圖形為的圖形為)D

8、( 1O 1 2 3x)(xF 1此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核, 由由y = f (x)的圖的圖形可見形可見,其圖像與其圖像與x軸軸, y軸及軸及0 xx 所圍圖形面積的所圍圖形面積的代數(shù)和為所求函數(shù)代數(shù)和為所求函數(shù)F(x).從而可得出幾個(gè)方面的特征從而可得出幾個(gè)方面的特征:., 0)(,1 , 0且單調(diào)遞減且單調(diào)遞減時(shí)時(shí) xFx., 0)(,2 , 1且單調(diào)遞增且單調(diào)遞增時(shí)時(shí) xFx.)(,3 , 2為為常常函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)xFx .,0)(,0 , 1單調(diào)遞增單調(diào)遞增為線性函數(shù)為線性函數(shù)時(shí)時(shí) xFx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式10證證 )(xx 定理定理4.3

9、 (4.3 (原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理) ),)(baCxf 設(shè)設(shè).,)()(上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)在在是是baxfx 因?yàn)橐驗(yàn)?xxxd)(d)( xattfxd)()( )(xf )(bxa xattfd)(xdd從而從而ttfad )( xx )()(xxx 則積分上限函數(shù)則積分上限函數(shù)是是a, b上的可導(dǎo)函數(shù)上的可導(dǎo)函數(shù), 且對(duì)上限的導(dǎo)數(shù)等于被積且對(duì)上限的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的值函數(shù)在上限處的值. 即即 4.2 微積分基本公式微積分基本公式11)()(xxx .之之間間與與在在xxx )( fx ,)(上上連連續(xù)續(xù)在在因因baxfxxxlim)(0 )(lim fx )(

10、xf .x 積分中值定理積分中值定理xf )( xxxttfd)(故故,0時(shí)時(shí)而而 x xattfd)( xxattfd)(ab)(xfy Oxyx)(x )( fxx 則同理可證則同理可證, 0, xax取取若若);()(afa , 0, xbx取取若若則同理可證則同理可證).()(bfb 積分區(qū)間可加性積分區(qū)間可加性 4.2 微積分基本公式微積分基本公式12 定理4.3指出:和積分聯(lián)結(jié)為一個(gè)有機(jī)的整體和積分聯(lián)結(jié)為一個(gè)有機(jī)的整體(2) 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) f (x)一定有原函數(shù)一定有原函數(shù), xattfxd)()( 就是就是f (x)的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù).(1) 積分運(yùn)算和微分運(yùn)算的關(guān)系積

11、分運(yùn)算和微分運(yùn)算的關(guān)系, 它把微分它把微分所以它是微積分學(xué)基本定理所以它是微積分學(xué)基本定理.函數(shù)函數(shù) 微積分微積分, 4.2 微積分基本公式微積分基本公式13推論推論 axttfxd)(dd)1( )(d)(dd)2(xgattfx xattfxgxd)()(dd)4( xattfxgd)()()(xg)(xf )(xgf)(xg )()(d)(dd)3(xgxhttfx xattfd)(xdd)()(xfxg ,)(baCxf 設(shè)設(shè),)(),(可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)xhxg.,bax )()()()(xhxhfxgxgf 4.2 微積分基本公式微積分基本公式14例例 ).(,d1)(02xfttt

12、txfx 求求設(shè)設(shè)解解 )(xf例例 ).(,d11)(2sin2xfttxfx 求求設(shè)設(shè)解解xusin )(xf )(xf utt22d11ttxd11sin22 xudd .sin1cos2xx xucos112 uttu22d11dd.12 xxx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式15例例 ).(,de)(23xftxfxxt 求求設(shè)設(shè)解解ttxfxtxtdede)(32 20dextt txxfxtdedd)(202ex txtde30 x2 3ex 23x 00txxtdedd30 4.2 微積分基本公式微積分基本公式16例例21cos0delim2xtxtx 解解 1cosde

13、dd2xttx xttxcos1dedd2x2cose xx2cosesin 21cos0delim2xtxtx xxxx2esinlim2cos0 .e21 00這是這是 型不定式型不定式,分析分析應(yīng)用洛必達(dá)法則應(yīng)用洛必達(dá)法則)(cos x 4.2 微積分基本公式微積分基本公式172009年考研數(shù)學(xué)年考研數(shù)學(xué)(二二), 填空填空, 4分分 曲線曲線 )2ln(,de22102ttyuxtuxy2 解解在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為處的切線方程為 xydd222222)2ln(2ttttt )1(e2)1( t)0 , 0(1 t2 所以所以, 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為處的切

14、線方程為:)0(20 xytxtyxydddddd 4.2 微積分基本公式微積分基本公式18考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(二二), 填空填空, 4分分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ,00, 0,dsin1)(023處連續(xù)處連續(xù)在在 xxaxttxxfx a則則31解解 )(lim0 xfx 3020dsinlimxttxx 00 2203sinlimxxx 2203limxxx.31af )0( 4.2 微積分基本公式微積分基本公式19考研數(shù)學(xué)二考研數(shù)學(xué)二 解答題解答題, 10分分 設(shè)設(shè) f (x)在區(qū)間在區(qū)間 4, 0且滿足且滿足,dcossinsincosd)(0)(01 xxfttttttttf 其中其中f -1

15、 的是的是 f 的反函數(shù)的反函數(shù), 求求f (x). 上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù), 解解 兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo), 得得)(1xff )(xf ,cossinsincosxxxxx 4分分 即即,cossinsincos)(xxxxxxfx 6分分,cossinsincos)(xxxxxf ,4, 0( x 4.2 微積分基本公式微積分基本公式20考研數(shù)學(xué)二考研數(shù)學(xué)二 解答題解答題, 10分分 設(shè)設(shè) f (x)在區(qū)間在區(qū)間 4, 0且滿足且滿足,dcossinsincosd)(0)(01 xxfttttttttf 其中其中f -1 的是的是 f 的反函數(shù)的反函數(shù), 求求f (x).

16、上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù), 8分分,cossinsincos)(xxxxxf ,4, 0( x 故故 xxxxxxfdcossinsincos)( xxxxcossin)cossind(,)cosln(sinCxx 00 由題設(shè)知由題設(shè)知, 0)0( f0 000 因而因而,),cosln(sin)(xxxf .4, 0 x 10分分 積分積分 4.2 微積分基本公式微積分基本公式21例例 解解求極限求極限 )cos1(dd)1arctan(lim0002xxuttxux 00考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(三三) , 5分分 原原式式3000dd)1arctan(lim22xuttxux 0l

17、im2 x2cos12xx )0(x 20d)1arctan(utt23xx0lim32 xx2)1arctan( 2xx2 .6432 00用法則用法則用法則用法則 4.2 微積分基本公式微積分基本公式22證證 xtttf0d)(),(xxf xttf0d)()(xf 20)d)( xttfxddxdd例例. 0)(), 0)( xfxf內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且在在設(shè)設(shè)證明函數(shù)證明函數(shù) xxttftttfxF00d)(d)()(內(nèi)內(nèi)在在), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù). xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF 4.2 微積分基本公式微積分基本公式23200)d)(

18、d)()()()( xxttfttftxxfxF0)( xf)()(tftx )0( x0)( xf0 20)d)( xttf xtttf0d)()(xxf xttf0d)( )(xf )(xF內(nèi)內(nèi)在在), 0( 為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).故故)(xF x0 xdt x0tdt0 4.2 微積分基本公式微積分基本公式24證證 )(xF )(xF01)0( F 10d)(1)1(ttfF 10d)(1ttf0 令令 2)(xf0 10d)(ttf為單調(diào)增加函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù).上上在在1 , 0)(xF1 10td,1 , 0)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)xf. 1)( xf且且證明證明: xttf

19、x01d)(2上上在在1 , 0只有一個(gè)解只有一個(gè)解.例例所以原方程所以原方程上上在在1 , 0只有一個(gè)解只有一個(gè)解.1111d )(20 ttfxx 1)( f0 或或10 4.2 微積分基本公式微積分基本公式25,)(d)(CxFttfxa 定理定理4.54.5牛頓牛頓- -萊布尼茨公式）萊布尼茨公式）,)()(CxFx ,bax 證證牛頓牛頓( (英英) ) 1642172716421727 萊布尼茨萊布尼茨( (德德) ) 1646171616461716如果如果F(x)是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上上的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù), 那那么么).()(d)(aFbF

20、xxfba xattfxd)()( 都是都是 f (x)在在aa因?yàn)橐驗(yàn)镕 (x)及及a, b上的原函數(shù)上的原函數(shù), 故有故有C是待定常數(shù)是待定常數(shù), 即有即有,bax 0 三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)(aFC 4.2 微積分基本公式微積分基本公式26)()(aFxF ttfxad)(),(aFC , bx 令令牛頓牛頓(Newton)萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz)公式公式)()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式微積分基本公式,bax 特別特別, xxfbad)(baxF)().()(aFbF CxFttfxa )(d)(bb 4.2 微積分基本公式微積分基本公式27

21、)()(d)(aFbFxxfba 微積分基本公式表明微積分基本公式表明 baxF)( 注注求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a, b上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間a, b上的增量上的增量.,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ba )()(d)(aFbFxxfba 仍成立仍成立. 4.2 微積分基本公式微積分基本公式28例例 20d)1sincos2(xxx原式原式 20cossin2xxx .23 解解 面積面積 A 0cosx . 2 例例 解解平面圖形的面積平面圖形的面積.所圍成的所圍成的xsin 0

22、xd 1)1( xysin Oxy軸軸上上與與在在計(jì)計(jì)算算曲曲線線xxy, 0sin 4.2 微積分基本公式微積分基本公式29例例 , 21, 5, 10,2)(xxxxf設(shè)設(shè).d)(20 xxf求求解解 20d)(xxf 1021d5d2xxx. 6 12 10d)(xxf 21d)(xxfxyO5注注如被積函數(shù)是分段函數(shù)如被積函數(shù)是分段函數(shù), 再用牛再用牛萊公式萊公式.積分積分,應(yīng)分段分成幾個(gè)應(yīng)分段分成幾個(gè) 4.2 微積分基本公式微積分基本公式30例例 222d,maxxxx解解 由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf 原原式式.211 022dxx 10dxx 212dxx,2x02

23、 x,2x,x10 x21 xxyO2xy xy 2 21 4.2 微積分基本公式微積分基本公式所以所以31xxxd)12(10 解解,210時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 原式原式 1dx.41 ; 0)12( xx. 0)12( xx0)12( xx令令.21, 0 xx 0dx2121)12( xx )12( xx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式32例例解解xxd2sin120 求求xxd2sin120 xxxd)sin(cos202 40)cos(sinxx 20dsincosxxx. 222 如被積函數(shù)有絕對(duì)值如被積函數(shù)有絕對(duì)值,注注 再用再用去掉后去掉后,N-L公式公式.0

24、4xxxd)sin(cos 42xxxd)cos(sin 應(yīng)分區(qū)間將絕對(duì)值應(yīng)分區(qū)間將絕對(duì)值24)sincos(xx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式332009年考研數(shù)學(xué)三年考研數(shù)學(xué)三, 選擇題選擇題, 4分分 使不等式使不等式 成立的成立的x的范圍是的范圍是xtttxlndsin1 ).1 , 0()A().2, 1()B().,2()C().,()D( 解答解答 原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求xtttxfxlndsin)(1 xxttttt11d1dsin xttt1d1sin 1dsin1xttt0 成立時(shí)成立時(shí)x的取值范圍的取值范圍, 0sin1 tt由由,)1 , 0(時(shí)時(shí) t

25、,)1 , 0(時(shí)時(shí)知當(dāng)知當(dāng) x. 0)( xf 4.2 微積分基本公式微積分基本公式34例例 , 0, 1, 0, 0, 0, 1)(xxxxf設(shè)設(shè) xttfxF0,d)()(那那么么(A) F(x)在在x = 0點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)不連續(xù).(B) F(x)在在),( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),在在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo).(C) F(x)在在),( 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),且滿足且滿足).()(xfxF (D) F(x)在在),( 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),但不一定滿足但不一定滿足).()(xfxF )(xF 0 x0 x0 x xt0d1, 0 xt0d)1(,x,x 考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(四四)選擇題選擇題,4分分 4.2 微積分

26、基本公式微積分基本公式35例例 已知函數(shù)已知函數(shù) .21, 1,10,01, 1)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxxf求積分上限的函數(shù)求積分上限的函數(shù).d)()(1 xttfx 解解分段函數(shù)分段函數(shù) )(x ,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xtd1,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xttd.21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xttd)1(10,22x,2322 xx, 1 x1 錯(cuò)錯(cuò)! 4.2 微積分基本公式微積分基本公式36已知函數(shù)已知函數(shù) .21, 1,10,01, 1)(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxxf求積分上限的函數(shù)求積分上限的函數(shù).d)()(1 xttfx 正確做法正確做法,)0 , 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xt1d1.

27、1 x xttfx1d)()( , 1 , 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xttfx1d)()( 1dt xtd00t1.212x ,2 , 1(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x xttfx1d)()( 1dt01 0dt1t xt1d)1( t.22xx .21,2,10,21,01, 1)(22時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxxxx 4.2 微積分基本公式微積分基本公式37例例 解解 nnnnn12111lim求極限求極限此極限實(shí)為一積分和的極限此極限實(shí)為一積分和的極限. ninin11limnninin111lim1 ix i xd 10)1ln(x . 2ln )1()(limd)(10 niiibaxfxxf 定積

28、分是代數(shù)和的推廣定積分是代數(shù)和的推廣,無(wú)窮小的無(wú)限項(xiàng)的代數(shù)和無(wú)窮小的無(wú)限項(xiàng)的代數(shù)和.即它表示每項(xiàng)為即它表示每項(xiàng)為用定積分求極限時(shí)用定積分求極限時(shí),需將需將(1)式中的兩個(gè)式中的兩個(gè)任意量任意量 用特殊的值處理用特殊的值處理.10 x 11 4.2 微積分基本公式微積分基本公式38)21(lim2nnnn 求求極極限限解解 原式原式= nnnnnn211lim ninn11lim xxd10ni .32 4.2 微積分基本公式微積分基本公式39考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(二二)填空填空3分分 填空題填空題 nnnnnncos12cos1cos11lim 22解解nninin1cos1lim1 xxd2cos2102 原式原式.22 xx dcos1 10 4.2 微積分基本公式微積分基本公式40 微積分基本公式微積分基本公式:積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)(變上限積分變上限積分): xattfxd)()( 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù):)()(xfx )()(d)(aFbFxxfba 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與牛頓萊