21-2.高中數(shù)學選修2-1知識總結--圓錐曲線與方程

1、高中數(shù)學選修2-1知識點總結 裝 訂 線 第二章 圓錐曲線與方程第二章 圓錐曲線與方程本章知識結構：圓錐曲線的實際背景標準方程雙曲線拋物線橢 圓簡單的幾何性質簡單應用本章知識要點：2.1曲線與方程一、曲線與方程 一般地，在直角坐標系中，如果某曲線（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立如下的關系： （1）曲線上的點的坐標都是方程的解； （2）以方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么，這個方程叫做曲線的方程；這個曲線叫做方程的曲線.二、求曲線的方程1.解析幾何：用坐標法研究幾何圖形的知識形成的學科叫做解析幾何.解析幾何研究的主要問題是：（1）根據已知條件，求出表示

2、曲線的方程；（2）通過曲線的方程，研究曲線的性質. 2.求曲線方程的步驟： （1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實?shù)對表示曲線上任意一點的坐標； （2）寫出適合條件的點的集合； （3）用坐標表示條件，列出方程； （4）化方程為最簡形式； （5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.簡言之：建系、取點 列式 代換 化簡 證明.2.2橢 圓一、橢圓的定義：平面內與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（其中）的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.橢圓的定義可用集合語言表示為：. 注意：當時，表示線段；當時，軌跡不存在. 二、橢圓的標準方程與幾何性質：當橢圓焦點在軸上時當

3、橢圓焦點在軸上時標準方程圖形范 圍，對稱軸軸、軸軸、軸對稱中心坐標原點坐標原點長軸短軸長軸長，短軸長長軸長，短軸長頂點坐標，焦點坐標，其中，其中離心率其中其中注意：1.、的幾何意義：叫做長半軸長；叫做短半軸長；叫做半焦距；、之間滿足. 叫做橢圓的離心率，且，可以刻畫橢圓的扁平程度，越大，橢圓越扁，越小，橢圓越圓. 2.點是橢圓上任一點，是橢圓的一個焦點，則，.3.點是橢圓上任一點，當點在短軸端點位置時，取最大值.4.橢圓的第二定義：當平面內點到一個定點的距離和它到一條定直線：的距離的比是常數(shù) 時，這個點的軌跡是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率.5.橢圓方程 常

4、用三角換元為.三、點與橢圓位置關系點與橢圓位置關系：（1）點在橢圓內（含焦點）（2）點在橢圓上（3）點在橢圓外四、直線與橢圓位置關系（1）直線與橢圓的位置關系及判定方法位置關系公共點判定方法相交有兩個公共點直線與橢圓方程首先應消去一個未知數(shù)得一元二次方程的根的判別式相切有且只有一個公共點相離無公共點（2）弦長公式：設直線交橢圓于則，或.2.3雙曲線一、雙曲線的定義平面內與兩個定點、的距離的差的絕對值等于常數(shù)（其中）的點的軌跡叫做雙曲線. 這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.雙曲線的定義可用集合語言表示為：. 注意：當時，表示分別以、為端點的兩條射線；當時，軌跡不存在.

5、二、雙曲線的標準方程與幾何性質：當雙曲線焦點在軸上時當雙曲線焦點在軸上時標準方程 圖形范 圍，或 ，或對稱軸軸、軸軸、軸對稱中心坐標原點坐標原點實軸虛軸實軸長，虛軸長實軸長，虛軸長頂點坐標焦點坐標，其中，其中漸近線，即，即離心率其中其中注意：1.、的幾何意義：叫做半實軸長；叫做半虛軸長；叫做半焦距；、之間滿足. 叫做橢圓的離心率，且. 越大，雙曲線的張口就越大.2.實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線，其離心率.3. 雙曲線的第二定義：當平面內點到一個定點的距離和它到一條定直線：的距離的比是常數(shù) 時，這個點的軌跡是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.4.直線與雙曲線位置關系同橢圓. 特別地，直線與雙曲線有一個公共點，除相切外還有當直線與漸進線平行時，也是一個公共點.5.共漸近線的雙曲線可寫成 ；共焦點的雙曲線可寫成. 2.4拋物線一、拋物線的定義：平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線.注意：當定點在定直線上時，點的軌跡為過點與直線垂直的直線.二、拋物線的標準方程與簡單幾何性質：標準方程圖形焦點坐標準線方程范圍對稱性軸軸軸軸頂點離心率注意： 1.