平面向量的概念及線性運算(2)

1、.平面向量的概念及線性運算知識點：1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小，又有方向的量統(tǒng)稱為向量；平面向量是自由向量向量的大小叫做向量的長度 (或稱模 )零向量長度為 0 的向量；其方向是任意的記作 0單位向量長度等于 1 個單位的向量非零向量 a 的單位向量為 a|a|如果表示兩個向量的有向線段所在的平行向量直線平行或重合， 則稱這兩個向量平行0 與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0 的相反向量為 02.向量的線性運算向量運算定義法則 (或幾何意義 )運算律交換律：a bba加法求兩個向量和的運算結(jié)合律：(

2、ab)ca(bc)減法求 a 與 b 的相反向量 b 的和ab a ( b)的運算叫做 a 與 b 的差三角形法則(1)|a|a|；(2)當 0 時， a 的方向與 a(1)(a)()a；數(shù)乘求實數(shù) 與向量 a 的積的運算的方向相同；當 0 時， a(2)()aaa；的方向與 a 的方向相反；當 (3)(ab)ab 0 時， a 0.3.向量共線的判定定理a 是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使得 ba，則向量 b 與非零向量 a 共線選擇題：給出下列命題：零向量的長度為零，方向是任意的；若a，b 都是單位向量，則ab；向量 AB)與 BA相等則所有正確命題的序號是 (AB CD解析根據(jù)零向量的

3、定義可知正確； 根據(jù)單位向量的定義可知， 單位向量的模相等， 但方向不一定相同，故兩個單位向量不一定相等，故錯誤；向量 AB與BA互為相反向量，故錯誤已知下列各式：ABBCCA；AB MBBOOM；OAOBBOCO；ABACBDCD，其中結(jié)果為零向量的個數(shù)為()A1B2C3D4解析由題知結(jié)果為零向量的是，故選B.設(shè) a0 為單位向量，若a為平面內(nèi)的某個向量，則0；若a與0 平行，則 0；若aa|a|aaa|a|a與 a0平行且 ，則a 0 上述命題中，假命題的個數(shù)是()|a| 1a .A 0B1C2D 3解析向量是既有大小又有方向的量，a 與|a|a0 的模相同，但方向不一定相同， 故 是假命

4、題；若 a與 a0平行，則a與0 的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時0，故 也是假命aa|a|a題綜上所述，假命題的個數(shù)是3.設(shè) a0， 0 分別是與，b同向的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是()baA a0 b0Ba0b01C|a0| |b0| 2D|a0b0| 2解析 是單位向量， |a0 ，0 | 1|b | 1設(shè) a 是非零向量， 是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 ()A a 與 a 的方向相反2C | a|a|D|a|aBa 與 a 的方向相同解析 對于 A ，當 0 時， a 與 a 的方向相同，當 0 時， a 與 a 的方向相反， B 正確；對于 C，|a| |a|，由于

5、 |的大小不確定，故 | a|與 |a|的大小關(guān)系不確定；對于 D， |a 是向量，而 |a|表示長度，兩者不能比較大小.設(shè) a、b 是兩個非零向量 ()A若 |ab|a|b|，則 abB若 a b，則 |ab|a| |b|C若 |ab|a|b|，則存在實數(shù) ，使得 baD若存在實數(shù)，使得 ba，則 |ab| |a|b|解析 對于 A ，可得 cosa，b 1，ab 不成立；對于 B，滿足 ab 時|ab| |a|b|不成立；對于 C，可得 cos a， b 1，成立，而 D 顯然不一定成立)如圖，已知 ABa， ACb，BD3DC，用 a，b表示 AD，則 AD等于 (3131131A a

6、4bB.4a4bC.4a4bD.4a4b 1 1解析 CB AB AC a b，又 BD3DC， CD4CB4(a b)，11 3 AD AC CDb4(ab)4a4b如圖，在正六邊形 ABCDEF 中， BACDEF()A 0B. BEC.ADD.CF解析 由題圖知 BACD EF BAAFCBCBBFCF.()如圖所示，已知 AB 是圓 O 的直徑，點 C，D 是半圓弧的兩個三等分點， AB a，A C b，則 AD1111A a2bB.2a bCa2bD.2a b. 1 1 解析連接 CD， C，D 是半圓弧的三等分點， 得 CDAB 且CD2AB2a， AD AC CDb12a)已知向

7、量 AB a3b，BC5a 3b，CD 3a3b，則 (AA，B，C 三點共線BA，B，D 三點共線CA，C，D 三點共線DB，C，D 三點共線 解析： BD BC CD 2a6b2(a3b)2AB，BD、AB共線，又公共點 B，A、B、D 三點共線)設(shè) D 為 ABC 所在平面內(nèi)一點， BC3CD，則 (1 41 44 141 A. AD 3AB3ACB.AD3AB3ACC.AD3AB3ACD.AD3AB3AC解析1 4 BC 3CD， AC AB 3(AD AC ，即4ACAB3AD，AD3AB3AC.) 設(shè) D，E，F(xiàn) 分別為 ABC 的三邊 BC，CA，AB 的中點，則 EBFC等于

8、()11 A. BCB.2ADC.ADD.2BC解析 1 1 1EBFC CB BCACAD2(AB)2(AC)2(AB)在 ABC 中， ABc，ACb，若點 D 滿足 BD2DC，則 AD等于 (21522112A. 3b3cB.3c3bC.3b3cD. 3b3c解析 BD 2DC， ADAB BD 2DC2(AC AD)，2 12 1 3AD2ACAB，AD3AC3AB3b3c.設(shè) M 為平行四邊形 ABCD 對角線的交點， O 為平行四邊形 ABCD 所在平面內(nèi)任意一點， 則OA OB )OC OD等于 (A. OMB 2OMC3OMD4OM.解析OAOBOC OD (OAOCOD2O

9、M2OM4OM)(OB)已知點 O，A，B 不在同一條直線上，點 P 為該平面上一點，且 2OP 2OABA，則 ()A點 P 在線段 AB 上B點 P 在線段 AB 的反向延長線上C點 P 在線段 AB 的延長線上D點 P 不在直線 AB 上 解析 2OP2OABA，2APBA， 點 P 在線段 AB 的反向延長線上，故選B.1在 ABC 中，已知 D 是 AB 邊上的一點，若AD2DB，CD3CACB，則 等于 ()2112A. 3B.3C 3D3解析1 2，2 AD 2DB，即 CDCA2(CBCD ，CD3CB3.)3CA在線段 CD 上(與點 C，D 不重合 )，若在 ABC 中，點

10、 D 在線段 BC 的延長線上，且 BC3CD，點 O)xAB(1x)AC，則 x 的取值范圍是 (AOA. 0，1B. 0，1C. 1，0D. 1，02323解析設(shè) CO yBC， AO AC COACyBCACy(ACAB (1y)AC.)yAB，1， BC 3CD，點 O 在線段 CD 上(與點 C， D 不重合 )， y031 AO xAB(1 x)AC， x y，x ，0.3已知 a，b 是不共線的兩個向量， AB xab，ACayb(x，yR)，若 A，B，C 三點共線，則點 P(x，y)的軌跡是 ()A直線B雙曲線C圓D橢圓x ，? xy1，故選 B.解析 若 A，B，C 三點共

11、線， AB AC，即 xab(ayb)?1 y，設(shè) a，b 不共線， AB 2apb，BC a b，CD a2b，若 A，B，D 三點共線，則實數(shù) p 的值為 ().A 2B 1C1D2解析 BC a b， CD a 2b， BD BC CD 2ab.又 A，B，D 三點共線， AB，BD共線設(shè) AB BD， 2apb (2ab)，22， p ， 1，p 1.已知平面內(nèi)一點P 及 ABC，若 PAPBPCAB，則點 P 與 ABC 的位置關(guān)系是 ()A點 P 在線段 AB 上B點 P 在線段 BC 上C點 P 在線段 AC 上D點 P 在ABC 外部解析由 PAPBPCAB得PAPCABPB

12、AP，即PCAPPA2AP，所以點 P 在線段 AC 上 已知點 O 為 ABC 外接圓的圓心，且 OAOBOC0，則 ABC 的內(nèi)角 A 等于 ()A30B60C 90D120 的重心，解析 由 OA OB OC0，知點 O 為 ABC又 O 為 ABC 外接圓的圓心， ABC 為等邊三角形， A 60.填空題：設(shè) D，E 分別是 ABC 的邊 AB，BC 上的點，AD 1， 2若 1 21，2為實數(shù)，2AB BE3BC. DEABAC()則 12的值為 _12 12 12 解析DEDBBE2AB3BC2AB3(ACAB)6AB3AC，12，故 1 21 DE 1 2， 1 ， 22.ABA

13、C63如圖，在平行四邊形ABCD 中，對角線 AC 與 BD 交于點 O，ABADAO，則 _解析 ABCD 為平行四邊形， AB ADAC2AO，已知 ABADAO，故 2已知 ABCD 的對角線 AC 和 BD 相交于 O，且OAa，OBb，則DC_，BC _(用.a，b 表示 )解析如圖， DCABOBOAba，BCOCOB OAOB ab.已知 a 與 b 是兩個不共線向量，且向量ab 與 (b 3a)共線，則 _.1解析 由已知得 ab k(b 3a)， k，3，3k1.解得1k3.已知 O 為四邊形ABCD 所在平面內(nèi)一點，且向量 OA， OB， OC，OD滿足等式 OAOCOB

14、OD，則四邊形 ABCD 的形狀為 _ 解析由 OA OC OBOD得OAOBODOC， BA CD，四邊形 ABCD 為平行四邊形的形狀為若點 O 是 ABC 所在平面內(nèi)的一點，且滿足 |OBOC OC2OA ，則_|OB|ABC解析： OBOC2OA(OB OA OAAC，OBOCCBABAC，)(OC)AB ， ，為矩形的三個頂點， 為直角三角形 |ABAC |ABAC ，故ABC|A BC 2 設(shè)點 M 是線段 BC 的中點，點 A 在直線 BC 外， BC 16，|ABAC AC ，則|AM|_|AB|解析 1 由 |AB AC|ABAC 得， AC，則 AM 為 RtABC 斜邊

15、BC 上的中線， |AM |AB|2|BC| 2 在 ABC 中，點 M，N 滿足AM2MC，BNNC 若MNxAB yAC，則 x _；y_. 1 11 1 1 1 解析MN MCCN3AC2CB3AC2(ABAC)2AB6AC，11 x2， y6.解答題：在 ABC 中，D、E 分別為 BC、AC 邊上的中點， G 為 BE 上一點，且 GB 2GE，設(shè) AB a， AC b，試用 a，b 表示 AD，AG. 111 解 AD2(ABAC) 2a2b. 2 1 2 1 1 1 11ABBGAB3BEAB BC3(ACAB3AC3a3b.AG3(BA)3AB)3AB設(shè)兩個非零向量 e和 e

16、不共線12 e1 2，3e12， 8e12，求證： 、 、D三點共線；(1)如果 ABeBC2eCD2eAC e1 2，2e12，2e12，且、D三點共線，求k的值(2)如果 ABeBC3eCDkeAC(1)證明e1 2， 3e12， 8e12， ABeBC2eCD2e21121 AC AB BC 4e12(2CD，AC與CD共線e8e2e )又AC與CD有公共點 C，A、C、D 三點共線 2 12 12， 、三點共線，(2)解 ABBC(e1 CDACe )(2e3e )3e2eA AC與 CD共線，從而存在實數(shù) 使得 ACCD，即 3e12 12，得 32，解得 3，k42e(2eke )

17、 2 k，23.專項能力提升設(shè) a，b 不共線， AB 2apb，BC a b，CD a2b，若 A，B，D 三點共線，則實數(shù) p 的值是 (A 2B 1C 1D2解析 BC a b， CD a 2b， BD BC CD 2ab.又 A，B，D 三點共線， AB，BD共線設(shè) AB BD， 2apb (2ab)，22， p ， 1，p 1.如圖，已知 AB 是圓 O 的直徑，點 C，D 是半圓弧的兩個三等分點，AB a，AC b，則AD等于 (1111A a2bB.2abCa2bD. 2ab解析連接 CD，由點 C， D 是半圓弧的三等分點， 1 1得 CDAB 且CD 2AB2a，1 AD A

18、C CDb2a.).)設(shè) G 為 ABC 的重心，且 sinAGAsinBGBsinCGC0，則 B 的大小為 (A45B60C30D15 ，將其代入解析 G 是 ABC 的重心，GA GB GC 0，GA (GBGC sinBGB)sinA GAsinCGC0，得 (sinB sinA)GB (sinC sinA)GC 0.又GB，GC不共線， sinBsinA0，sinC sinA0，則 sinB sinAsinC根據(jù)正弦定理知b ac， ABC 是等邊三角形，則角B60設(shè) e1 與 2 是兩個不共線向量， 3e12， ke1 2， 3e12，若， ，三點共線，eAB2e CBeCD2keA B D則 k 的值為 ()943A4B 9C 8D不存在解析由題意， A， B， D 三點共線，故必存在一個實數(shù)，使得 ABBD.2， ke1 2 ，3e12，又 AB 3e1CD2eCBe2ke12， BD CDCB3e1 2 1 2(3(2k2ke(kee )k)e1)e 3e1 2 1 2， 33k ，解得 k 92e(3k)e(2k1)e2 2k 1 ，4.在 ABCD 中， ABa，ADb，AN3NC，M 為 BC 的