第五章空間力系 第二節(jié) 力對(duì)軸的矩

1、 1 1、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示、力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示 力矩矢力矩矢（3 3）作用點(diǎn)：）作用點(diǎn)：O點(diǎn)點(diǎn). .（2 2）方向）方向: :右手螺旋法則決定右手螺旋法則決定三要素：三要素：F, ,A x y zr（1 1）大小大小: :力力 與力臂的乘積與力臂的乘積FhOMFOOMF = rFB第二節(jié)第二節(jié) 力對(duì)軸的矩與力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量定義力對(duì)軸的矩與力對(duì)點(diǎn)的矩的矢量定義OMF = rFxyzxyzFFFijk=xyzFFFF =ij+kxyzr = i+ j+ k其中：其中：jkixyzOF, ,A x y zrhOMFB()OxMF=()OyMF=()OzMF=()OzyxyFzFMF()Oxzy

2、zFxFMF()OyxzxFyFMF即即()yxxFyFi()zyyFzF()xzxFzFjkFxyFzF一、力對(duì)軸的矩的定義一、力對(duì)軸的矩的定義 zOxyxyMMF d FF力對(duì)軸的矩定義為力在垂直于力對(duì)軸的矩定義為力在垂直于軸的平面上的投影對(duì)軸與平面軸的平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)的矩，即交點(diǎn)的矩，即說(shuō)明：說(shuō)明：2）若力的作用線與某軸相交或平）若力的作用線與某軸相交或平1）力對(duì)軸的矩為代數(shù)量，其正負(fù)）力對(duì)軸的矩為代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)按右手螺旋法則確定；號(hào)按右手螺旋法則確定；行，則力對(duì)該軸的矩必為零。行，則力對(duì)該軸的矩必為零。二、力對(duì)軸的矩的解析算式二、力對(duì)軸的矩的解析算式 zOxyyxMMxFy

3、FFF同理可得力同理可得力 F 對(duì)對(duì) x 、y 軸的矩的軸的矩的解析算式，有解析算式，有xzyMyFzFF其中，（其中，（x , y , z ）為力）為力 F 作用點(diǎn)的坐標(biāo)，作用點(diǎn)的坐標(biāo)，F(xiàn)x、Fy、Fz 為力為力 F 在在x 、y、z 軸上的投影。軸上的投影。yxzMzFxFF()Oy MF()Oz MF()Ox MF 力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力與軸相交或與軸平行（力與軸在同一平面內(nèi)），力對(duì)該軸的矩為零力對(duì)該軸的矩為零. .三、力對(duì)軸的合力矩定理三、力對(duì)軸的合力矩定理 合力對(duì)任一軸的矩就等于其各分力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和，即合力對(duì)任一軸的矩就等于其各分力對(duì)同一軸的矩的代數(shù)和

4、，即 RxxiMM FFRyyiMM FFRzziMM FF例例1 如圖，手柄如圖，手柄 ABCE 位于位于 xy 平面內(nèi)，在平面內(nèi)，在 D 處受力處受力 F 的作用。力的作用。力 F 位于垂直于位于垂直于 y 軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為 。已知已知 AB = BC = l ，CD = a，桿桿 BC 平行于平行于 x 軸，桿軸，桿 CE 平行于平行于 y 軸。試求力軸。試求力 F 對(duì)對(duì)x、y、z 三軸的矩。三軸的矩。解法一：解法一：利用合力矩定理求解利用合力矩定理求解將力將力 F 作正交分解，分力大小作正交分解，分力大小 sinxFFcoszFF根據(jù)力對(duì)軸的

5、合力矩定理，即有根據(jù)力對(duì)軸的合力矩定理，即有xxxxzMMMFFF0cosyyxyzzMMMFBCFl FFF0sinzzxzzxMMMFABCDF la FFFzFxFcosF la 0zFABCD解法二：解法二：利用力對(duì)軸的矩的解析算式求解利用力對(duì)軸的矩的解析算式求解力力F 在在 x、y 、z 軸上的投影為軸上的投影為sinxF0yF coszFF 力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)為力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)為xl yla 0z 代入解析算式，即得代入解析算式，即得cos0cosxzyMyFzFlaFF la F()0coscosyxzMzFxFlFFl F0sinsinzyxMxFyFlaFF la F兩種計(jì)算方法結(jié)果相同兩種計(jì)算方法結(jié)果相同例例2 如圖，長(zhǎng)方體邊長(zhǎng)分別為如圖，長(zhǎng)方體邊長(zhǎng)分別為a、b、c，沿其對(duì)角線，沿其對(duì)角線 AB 作用一力作用一力F。試求力。試求力 F 對(duì)對(duì) x ，z 及及 y1 三軸的矩。三軸的矩。 DABOyFFzFxF解：將解：將力力 F 作三維正交分解，其中分力大小作三維正交分解，其中分力大小222xaFFabc222ybFFabc222zcFFabc利用力對(duì)軸的矩的合力矩定理，即得利用力對(duì)軸的矩的合力矩定理，即得222xxzbcMMFabcFF222zzxabMMFabc FF11222y