廣義反常積分簡單提課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 廣義（反常）積分廣義（反常）積分 一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分 二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分 三、小結三、小結定義定義 1 1 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間), a上連續(xù)，取上連續(xù)，取ab ，如果極限，如果極限 babdxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間), a上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .一、無窮限的廣義積

2、分一、無窮限的廣義積分類類似似地地，設設函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,(b 上上連連續(xù)續(xù)，取取ba ，如如果果極極限限 baadxxf)(lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間,(b 上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),( 上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和

3、為函數(shù)稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間),( 上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 計算廣義積分計算廣

4、義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 證證明明廣廣義義積積分分 11dxxp當當1 p時時收收斂斂， 當當1 p時時發(fā)發(fā)散散. 證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當因此當1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當當1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.例例 4 4 證證明明廣廣義義積積分分 apxdxe當當0 p時時收收斂斂， 當當0

5、p時時發(fā)發(fā)散散. 證證 apxdxe bapxbdxelimbapxbpe lim pepepbpablim 0,0,pppeap即即當當0 p時時收收斂斂，當當0 p時時發(fā)發(fā)散散.定義定義 2 2 設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點點a的右鄰域內無界取的右鄰域內無界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限

6、不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)的廣義積分類似地，設函數(shù)類似地，設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上連續(xù)，上連續(xù)，而在點而在點b的左鄰域內無界的左鄰域內無界. .取取0 ，如果極限，如果極限 badxxf)(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),ba上的廣義積分，上的廣義積分，記作記作 badxxf)( badxxf)(lim0. .當當極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當當極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .設函數(shù)設函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點上除點)

7、(bcac 外連外連續(xù)，而在點續(xù)，而在點c的鄰域內無界的鄰域內無界. .如果兩個廣義積分如果兩個廣義積分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收斂，則定義都收斂，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否則則，就就稱稱廣廣義義積積分分 badxxf)(發(fā)發(fā)散散. .定義中定義中C為為瑕點瑕點，以上積分稱為，以上積分稱為瑕積分瑕積分.例例5 5 計算廣義積分計算廣義積分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的無無窮窮間間斷斷點點. axadx022 axadx0220l

8、im aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 例例 6 6 證證明明廣廣義義積積分分 101dxxq當當1 q時時收收斂斂，當當1 q時時發(fā)發(fā)散散. 證證, 1)1( q 101dxx 10ln x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因因此此當當1 q時時廣廣義義積積分分收收斂斂，其其值值為為q 11；當當1 q時時廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. 101dxxq例例7 7 計算廣義積分計算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1

9、ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.例例8 8 計算廣義積分計算廣義積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕點瑕點 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 無界函數(shù)的廣義積分（無界函數(shù)的廣義積分（瑕積分瑕積分）無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意注意：不能忽略內部的瑕點）：不能忽略內部的瑕點） b

10、adxxf)(三、小結三、小結思考題思考題積分積分 的瑕點是哪幾點？的瑕點是哪幾點？ 101lndxxx思考題解答思考題解答積分積分 可能的瑕點是可能的瑕點是 101lndxxx1, 0 xx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是瑕點不是瑕點, 101lndxxx的瑕點是的瑕點是. 0 x一、一、 填空題：填空題： 1 1、 廣義積分廣義積分 1pxdx當當_時收斂； 當時收斂； 當_時發(fā)時發(fā)散；散； 2 2、 廣義積分廣義積分 10qxdx當當_時收斂； 當時收斂； 當_時發(fā)時發(fā)散；散； 3 3、 廣 義 積 分廣 義 積 分 2)(lnkxxdx在在 _ 時 收 斂 ； 在

11、時 收 斂 ； 在_ 時發(fā)散；時發(fā)散； 4 4、廣廣義義積積分分 dxxx21= =_ _ _ _ _； 練練 習習 題題5 5、 廣廣 義義 積積 分分 1021xxdx_ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 廣廣義義積積分分 xdttf)(的的幾幾何何意意義義是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 二、二、 判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計算判別下列各廣義積分的收斂性，如果收斂，則計算廣義積分的值：廣義積分的值： 1 1、 0coshtdtep

12、t )1( p； 2 2、 222xxdx ； 3 3、 0dxexxn（為自然數(shù)為自然數(shù)n） ；） ；4 4、 202)1(xdx； 5 5、 211xxdx； 6 6、 022)1(lndxxxx；7 7、 10ln xdxn. .三、三、 求當求當為為何何值值時時k，廣義積分，廣義積分)()(abaxdxbak 收斂？又收斂？又為為何何值值時時k，這廣義積分發(fā)散？，這廣義積分發(fā)散？四、四、 已知已知 xxxxxf2,120,210,0)(，試用分段函數(shù)表示，試用分段函數(shù)表示 xdttf)(. .一、一、1 1、1, 1 pp；2 2、1,1 qq； 3 3、1,1 kk；4 4、發(fā)散；、發(fā)散； 5 5、1 1； 6 6、過點、過點軸軸平平行行于于 yx的直的直線左邊線左邊, ,曲線