二次函數(shù)課件

1、 二二 次次 函函 數(shù)數(shù)1、二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=axy=ax2 2+bx+c(+bx+c(一般式一般式) )y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k(+k(頂點式頂點式) )頂點頂點對稱軸對稱軸) )4 4a ab b4 4a ac c, ,2 2a ab b2 2(2 2a ab b直直線線x x(h,k(h,k) ) x=hx=h 2a2ab b2 2x xx xx x2 21 1+x x )()(交點式）交點式）)(x)(xa(xa(xy y2 21 1x x主要用于待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式主要用于待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式(a0)向上向上 向下向下 2.yax2b

2、xc(a0)的圖象與性質(zhì)：定義域為定義域為R.(4)值域：值域：當(dāng)a0時，值域為 ， 當(dāng)a0時，值域為 ， 遞減遞減遞增遞增 1. 根式根式 （1） n次方根次方根; 如果如果xn=a, ,那么那么x叫做叫做 a的的 , 其中其中n1,且且nN* *.nxannaxa （n為奇數(shù)）為奇數(shù)） （n為偶數(shù)）為偶數(shù)）正正數(shù)的數(shù)的奇奇次方根是次方根是正正數(shù)數(shù)負負數(shù)的數(shù)的奇奇次方根是次方根是負負數(shù)數(shù)正正數(shù)的偶次方根有數(shù)的偶次方根有兩個兩個，且互為且互為相反數(shù)相反數(shù)nana 根指數(shù)根指數(shù)（2）根式根式被開方數(shù)被開方數(shù)即即 若若 則則n次方根次方根 . .根式的性質(zhì)根式的性質(zhì) 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時，正數(shù)的為奇數(shù)時

3、，正數(shù)的n次方根是一個次方根是一個正數(shù)正數(shù)，負數(shù)的，負數(shù)的n次方次方根是一個根是一個負數(shù)負數(shù)，這時，這時，a的的n次方根用符號次方根用符號 表示表示. . 當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有次方根有兩個兩個，它們互為，它們互為相反數(shù)相反數(shù)，這時，正數(shù)的正的這時，正數(shù)的正的n次方根用符號次方根用符號 表示，負的表示，負的n次方根次方根用符號用符號 表示表示. .正負兩個正負兩個n次方根可以合寫為次方根可以合寫為( (a0)0) nananana 負數(shù)沒有偶次方根，負數(shù)沒有偶次方根， 0的任何次方根都是的任何次方根都是0，記作，記作00n1. 根式根式 （1） n次方根次方根;如果如

4、果xn=a, ,那么那么x叫做叫做 a 的的 , 其中其中n1,且且nN* *. .nnaa 公式公式1.1.（3）公式公式2.2.當(dāng)當(dāng)n為大于為大于1的的奇數(shù)奇數(shù)時時公式公式3.3.當(dāng)當(dāng)n為大于為大于1的的偶數(shù)偶數(shù)時時.nnaa |.nnaa 返回(0)(0)a aa a 知識回顧知識回顧2、冪的、冪的概念概念及性質(zhì)及性質(zhì)mnmnaa（4）正正分數(shù)指數(shù)冪：分數(shù)指數(shù)冪：N（a0,m,n且n1）注意注意:在分數(shù)指數(shù)冪里,根指數(shù)根指數(shù)作分母分母,冪指數(shù)冪指數(shù)作分子分子.（5）正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪:11mnmnmnaaa（6）0的正分數(shù)指數(shù)冪等于的正分數(shù)指數(shù)冪等于 ； 0的負分數(shù)指數(shù)

5、冪的負分數(shù)指數(shù)冪N（a0,m,n且n1）0沒有意義沒有意義（7）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)+rsr sa aa(a 0,r,s Q)rsrs(a )a(a 0,r,s Q)rrs(ab)a a(a 0,b 0,r Q)同底數(shù)冪相同底數(shù)冪相乘乘,底數(shù)不變指數(shù)相底數(shù)不變指數(shù)相加加冪的乘方底數(shù)不變冪的乘方底數(shù)不變,指數(shù)相指數(shù)相乘乘積的乘方等于乘方的積積的乘方等于乘方的積rr-ssaaa(a 0,r,s Q)同底數(shù)冪相同底數(shù)冪相除除，底數(shù)不變指數(shù)相，底數(shù)不變指數(shù)相減減返回*一般地，當(dāng)一般地，當(dāng)a0且是一個無理數(shù)時且是一個無理數(shù)時,也是一個確定的實數(shù)也是一個確定的實數(shù),故以上故以上運

6、算律對實數(shù)指數(shù)冪同樣適用運算律對實數(shù)指數(shù)冪同樣適用.二次二次函數(shù)函數(shù)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)(a0)的圖象和性質(zhì)的圖象和性質(zhì)拋物線拋物線頂點坐標頂點坐標對稱軸對稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+c(a0)x+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+c(a0)x+c(a0)ax2+bx+c0(a0)ax2+bx+c0)x=x1 或或x=x2x|xx2x|x1 x 0-4ac 0有一個交點有一個交點= b= b2 2-4ac = 0-4ac = 0沒有交點沒有交點= b= b2 2-4ac 0-4ac 0頂點頂點0

7、 00 0a a0 00 0a ax x無論取何值無論取何值,y,y總是大于零總是大于零y0 xx x無論取何值無論取何值,y,y總是小于零總是小于零y0 x4.一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布.(1)方程方程ax2+bx+c=0(a0)兩根：兩根：一正一負一正一負 bacabaca兩正根兩正根兩負根兩負根一零根一零根ac0 x1+x2=- 0 x1x2= 0;0 x1+x2=- 0;C=00 x1x2=0ca221212( )(0)0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx + + + + + + 設(shè)設(shè)一一元元二二次次方方程程的的兩兩根根為為(1)(k k方方程程兩兩根

8、根都都小小于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k (2)(k k方方程程兩兩根根都都大大于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k 12(3)(xkxk 為為常常數(shù)數(shù)）( )0f k 112212(4)(,kxxkkk 為為常常數(shù)數(shù)）121202()0()0bkkaf kf k 112212(5)(,xkkxkk 為為常常數(shù)數(shù)）12()0()0f kf k 12(7) (, ,mxnpxqm n p q 為為常常數(shù)數(shù)）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q (8)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的正正根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件002(0)

9、0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x + ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的負負根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一負負根根可用韋達定理表達式來書寫：可用韋達定理表達式來書寫：ac0也可也可f(0)01212(6),xxkk，有有且且只只有有一一個個根根在在（）內(nèi)內(nèi)1k2k1k2k1k2k1k2k12() ()0f kf k 1202bkka 或或1121()022f kkkbka + + 或或2122()022f kkkbka + + 或或

10、12(7) (, ,mxnpxqm n p q 為為常常數(shù)數(shù)）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q 根的分布圖象充要條件x1x2mmx1x2x1mx2 (8)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的正正根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x + ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的負負根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一負負根根可用韋達定理表達式來書寫：可用韋達

11、定理表達式來書寫：ac0也可也可f(0)0根的分布圖象充要條件x1、x2(k1，k2)x1，x2有且僅有一個在(k1，k2)內(nèi)3.一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布.(1)方程方程ax2+bx+c=0(a0)兩根：兩根：一正一負一正一負 cabaca兩正根兩正根兩負根兩負根一零根一零根ac0 x1+x2=- 0 x1x2= 0;ba0 x1+x2=- 0;C=0221212( )(0)0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx + + + + + + 設(shè)設(shè)一一元元二二次次方方程程的的兩兩根根為為(1)(k k方方程程兩兩根根都都小小于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k

12、 (2)(k k方方程程兩兩根根都都大大于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k 12(3)(xkxk 為為常常數(shù)數(shù)）( )0f k 112212(4)(,kxxkkk 為為常常數(shù)數(shù)）121202()0()0bkkaf kf k 112212(5)(,xkkxkk 為為常常數(shù)數(shù)）12()0()0f kf k 1212(6),xxkk，有有且且只只有有一一個個根根在在（）內(nèi)內(nèi)1k2k1k2k1k2k1k2k12() ()0f kf k 1202bkka 或或1121()022f kkkbka + + 或或2122()022f kkkbka + + 或或12(7) (, ,mxnpxqm n p

13、 q 為為常常數(shù)數(shù)）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q (8)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的正正根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x + ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有兩兩個個不不相相等等的的負負根根可用韋達定理表達式來書寫條件可用韋達定理表達式來書寫條件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一負負根根可用韋達定理表達式來書寫：可用韋達定理表達式來書寫：ac0也可也可f(0)0)的兩的兩根根x1、x2的分布范圍與二次方程系數(shù)之的

14、分布范圍與二次方程系數(shù)之間的關(guān)系間的關(guān)系,如下表所示如下表所示:根的分布圖象充要條件x1x20 f(k)0 - k2bakx10 f(k)0 - kx1k0 x1、x2(k1,k2) f(k1)0 f(k2)0 k1- k22ba2ba第第7 7講講 知識梳理知識梳理奇偶性：奇偶性：函數(shù)為偶函數(shù) .b0二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一二次函數(shù)的圖象：拋物線一二次函數(shù)的圖象：拋物線開口方向：開口方向：對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性:頂點坐標：頂點坐標：最值：最值：（）（）x R時時 ( 2 ) x m,n(m0,a0,則則x=-b/2a,yx=-b/2a,yminmin=f(

15、-b/2a)=(4ac-b=f(-b/2a)=(4ac-b2 2)/4a)/4aymax=maxf(m),f(n)(或比較區(qū)間端點與對稱或比較區(qū)間端點與對稱軸距離的大小來確定軸距離的大小來確定,在離對稱軸遠的端點處在離對稱軸遠的端點處取得最大值取得最大值.)a0,ymax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a,ymin=minf(m),f(n(或仿照或仿照ymax的方法確定的方法確定)n-b/2an-b/2am-b/2a時時, ,二次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)二次函數(shù)是單調(diào)函數(shù), ,可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象確定最值可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象確定最值. .函數(shù)值大小的比較函數(shù)值大小的比較: :設(shè)設(shè)P,QP

16、,Q是二次函數(shù)圖象是二次函數(shù)圖象上二點上二點, , 則當(dāng)則當(dāng)a0a0時時, ,距離對稱軸越近的點距離對稱軸越近的點, ,其其縱坐標越小縱坐標越小, ,而當(dāng)而當(dāng)a0a0時時, ,則反之則反之. . 1、求下列二次函數(shù)的最大值、求下列二次函數(shù)的最大值或最小值或最小值32) 1 (2+ + + xxyxxy42)2(2 x0yx=11-2熱身訓(xùn)練熱身訓(xùn)練) 13(23)1(2 + + xxyx、求下列二次函數(shù)的最大值、求下列二次函數(shù)的最大值或最小值或最小值x0y-3123 xymin=4.25 ymax=f(1)=2x0yx=114時時當(dāng)當(dāng)3 x526max y時時當(dāng)當(dāng)1 x56min y0 xy

17、1,31251)2(2 + + xxxy5 x1-32,11221)3(2 + + xxxyx0y-122 x時時當(dāng)當(dāng)1 x25min y時時當(dāng)當(dāng)2 x5max y時時當(dāng)當(dāng)1 x25min y時時當(dāng)當(dāng)2 x5max y根據(jù)閉區(qū)間函數(shù)最值的求法求最植。根據(jù)閉區(qū)間函數(shù)最值的求法求最植。2、 判斷判斷-b/2a是否在閉區(qū)間內(nèi)。是否在閉區(qū)間內(nèi)。3、1、 配方，求二次函數(shù)圖象的對稱配方，求二次函數(shù)圖象的對稱軸方程軸方程x=-b/2a;：上上的的最最大大值值與與最最小小值值在在區(qū)區(qū)間間求求函函數(shù)數(shù)1,1)(32 + + + Raaxxy解：解：32+ + + axxy43)2(22aax + + + 2a

18、x 對對稱稱軸軸為為時時即即當(dāng)當(dāng)212)1( aa上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增，在在1132 + + + axxy時時當(dāng)當(dāng)1 xay 4min時時當(dāng)當(dāng)1 xay+ + 4maxyx0-112ax 時時即即當(dāng)當(dāng)00021)2( aa時時當(dāng)當(dāng)2ax 432minay 時時當(dāng)當(dāng)1 xay+ + 4max時時即即當(dāng)當(dāng)02120)3( aa時時當(dāng)當(dāng)2ax 432minay 時時當(dāng)當(dāng)1 xay 4max時時即即當(dāng)當(dāng)212)4( aa上上單單調(diào)調(diào)遞遞減減在在1,132 + + + axxy時時當(dāng)當(dāng)1 xay 4max時時當(dāng)當(dāng)1 xay+ + 4minx0y-11x0y1-1x0y-114:和最小值和最小值上的最大值上的最大值在在求函數(shù)求函數(shù)1,322+ + + ttxxy解解:2)1(3222+ + + + xxxy1 x對對稱稱軸軸時時即即當(dāng)當(dāng)011)1( + +tt上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減在在 1,322+ + + ttxxy時時當(dāng)當(dāng)tx 322max+ + tt