高等數(shù)學(xué)D952二元泰勒公式ppt課件

1、一、二元函數(shù)泰勒公式一、二元函數(shù)泰勒公式 二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二元泰勒公式 第九章 第五節(jié)第五節(jié) 一、二元函數(shù)的泰勒公式一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù))(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推廣多元函數(shù)泰勒公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 記號記號 (設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)): ),()(00yxfykxh),()(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),

2、(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 表示表示定理定理1.1.),(),(00yxyxfz在點設(shè)的某一鄰域內(nèi)有直到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,),(00kyhx為此鄰域內(nèi)任 一點, 則有),(),(0000yxfkyhxf),()(00yxfkhyx),()(002!21yxfkhyx),()(00!1yxfkhnyxn),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中 稱為f 在點(x0 , y0 )的 n 階泰勒公式, 稱為其拉格朗日型余項朗

3、日型余項 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 證證: : 令令),10(),()(00tktyhtxft那么 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(C)(000)(t kyt hxyxfkhtpmpmpmpmppmm一般地 ),()()0(00)

4、(yxfkhmyxm由 )(t的麥克勞林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10()0()0()0()0()(!1!21nn ),(00kyhxfnkkyxkyxfkh000!1),()(),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn) 10(nR其中),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn說明說明: :(1) 余項估計式. 因 f 的各 n+1 階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 在某閉鄰域其絕對值必有上界 M , ,22kh 令則有1)(! ) 1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(

5、! ) 1(nnnM)(no2機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2) 當(dāng) n = 0 時, 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(3) 若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域D 上的兩個一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零, .),(常數(shù)yxf由中值公式可知在該區(qū)域上 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 求函數(shù)求函數(shù))0 , 0()1ln(),(在點yxyxf解解: yxyxfyxfyx11),(),(的三階泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2,

6、 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因而,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三階泰勒公式得將ykxh,)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )

7、0, 0()(fkhyxkh)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 yx yx 2)(21yx )1ln(yx時, 具有極值二、極值充分條件的證明二、極值充分條件的證明 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令那么: 1) 當(dāng)A 0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC定理定理2 (充分條件充分條件)機動 目錄 上頁

8、 下頁 返回 完畢 證證: 由二元函數(shù)的泰勒公式由二元函數(shù)的泰勒公式, 并注意并注意0),(,0),(0000yxfyxfyx則有),(),(0000yxfkyhxfz20021),(hkyhxfxxkhkyhxfyx),(200),(200kkyhxfyy,),(),(00連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)在點由于yxyxf所以Akyhxfxx),(00Bkyhxfyx),(00Ckyhxfyy),(00機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 22221kCkhBhA其中其中 , , 是當(dāng)是當(dāng)h 0 , k 0 時的無窮小時的無窮小量量 ,于是z),(21khQ)(22kh ,很小時因此當(dāng)kh.),(確定的正負(fù)號

9、可由khQz(1) 當(dāng) ACB2 0 時, 必有 A0 , 且 A 與C 同號, )()2(),(222221kBACkBkhBAhAkhQA)()(2221kBACkBhAA可見 ,0),(,0khQA時當(dāng)從而z0 , 因而),(yxf;),(00有極小值在點yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )(2o22221kkhh,0),(,0khQA時當(dāng)從而 z0,在點因此),(yxf;),(00有極大值yx(2) 當(dāng) ACB2 0 時, 若A , C不全為零, 無妨設(shè) A0, 那么 )(),(221kkBhAkhQA)(2BAC ),(0)()(),(0000yxyyBxxAyx接近沿直線當(dāng)時

10、, 有,0kBhAAkhQ與故),(異號;),(yx當(dāng),),(0000時接近沿直線yxyy,0k有AkhQ與故),(同號.可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點因此),(yxf;),(00無極值yxxy),(00yxo機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 +xy),(00yxo假設(shè) AC 0 , 則必有 B0 , 不妨設(shè) B0 , 此時 222),(kCkhBhAkhQ),(00kyhx對點,同號時當(dāng)kh,0),(khQ,異號時當(dāng)kh,0),(khQ可見 z 在 (x0 , y0) 鄰近有正有負(fù), 在點因此),(yxf;),(00無極值yxkhB2,0z從而,0z從而(3) 當(dāng)ACB2 0 時, 假設(shè) A0,