加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合提高解題能力

1、 加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合，提高解題能力例談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 摘要：恩格斯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)”數(shù)學(xué)中的兩大研究對(duì)象“數(shù)”和“形”的矛盾統(tǒng)一是數(shù)學(xué)發(fā)展的內(nèi)在因素?cái)?shù)形結(jié)合是貫穿于數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線，使數(shù)學(xué)在實(shí)踐中的應(yīng)用更加廣泛和深遠(yuǎn)一方面，借助于圖形的性質(zhì)將許多抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡(jiǎn)單化，給人以直觀感；另一方面，將圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，可以獲得準(zhǔn)確的結(jié)論“數(shù)”和“形”的信息轉(zhuǎn)換、相互滲透，不僅使解題簡(jiǎn)潔明快，還開拓解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問(wèn)題開辟了一條重要的途徑數(shù)形結(jié)合是連接“數(shù)”和“形”的“橋”，它不僅是一種重要的解題方法，更是一種重要的數(shù)學(xué)思

2、想 關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合、以形助數(shù)、以數(shù)解形，函數(shù)，方程，不等式，比較大小，絕對(duì)值 一、數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思索，使抽象思維與形象思維結(jié)合，通過(guò)“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，從而利用數(shù)形的辯證統(tǒng)一，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。 二、研究的目的和意義 數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)華羅庚教授說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非”數(shù)形結(jié)合就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過(guò)圖形的描述、代數(shù)的論證來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法數(shù)形結(jié)合的

3、思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化 數(shù)形結(jié)合思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的精髓之一，是把許多知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的“橋”在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多抽象問(wèn)題學(xué)生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直觀、易感知的問(wèn)題，學(xué)生就易理解，就能把問(wèn)題解決，從而獲得成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心尤其是對(duì)于較難問(wèn)題，學(xué)生若能獨(dú)立解決或在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下把問(wèn)題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、興趣和積極性同時(shí)，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷進(jìn)行嘗試、運(yùn)用，許多問(wèn)題就能迎刃而解

4、三、數(shù)形結(jié)合在提高學(xué)生解題能力中的作用 題型一 數(shù)形結(jié)合思想在絕對(duì)值方面的應(yīng)用 大家都知道絕對(duì)值的另一種理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離.如-8表示-8到原點(diǎn)0的距離，也就是數(shù)軸上-8和0之間的距離，可表示為-8-08.又如數(shù)軸上-4和2之間的距離是6也就是-4-26.在學(xué)習(xí)絕對(duì)值的過(guò)程中，我們利用了數(shù)軸，這體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 例1 求|x-1|+|x+2|的最小值 解析 |x-1|表示x到1的距離，而|x+2|則表示x與-2之間的距離。在數(shù)軸上，找到到1與-2的距離之和最小的點(diǎn)，我們知道它一定位于1與-2之間，由此我們可知最小距離為3，即|x-1|+|x+2|的最小值為3. 注 該題也可采用去絕對(duì)值

5、的辦法，但相對(duì)來(lái)說(shuō)較為繁瑣，需對(duì)x的大小分三種情形進(jìn)行討論，對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)不易理解掌握. 題型二 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)方面的應(yīng)用 例2 已知直線y1=x,y2=x+1,y3=x+5的圖象如圖（1）所示，若無(wú)論x取何值，y總?cè)1,y2,y3中的最小值，求y的最大值. y y1 y y1 y2 y2 0 y3 x 0 y3 x 圖(1) 圖（2） 解析 由于y總?cè)1,y2,y3中的最小值，則所有圖像中最下方的部分就組成了函數(shù)y的圖像，因此y關(guān)于x的圖像就是圖（2）中的實(shí)線部分，是一條折線.由圖看出這條折線有一個(gè)最高點(diǎn)P，只需求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)就可求出y的最大值.由y2=x+1,y3=-x+5得方程

6、組y=x+1,y=-x+5解之得x=,y=.所以，y的最大值為 題型三 數(shù)形結(jié)合思想在方程方面的應(yīng)用例3 函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，那么關(guān)于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情況是（ ） A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 y B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 3 C. 沒有實(shí)數(shù)根 0 x D.無(wú)法確定 解析 所給的方程是一元二次方程，一般通過(guò)計(jì)算來(lái)判定根的情況.如果發(fā)揮圖像的作用，答案幾乎可以一眼看穿.把方程ax2+bx+c-3=0寫成ax2+bx+c=3,它的根就是函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與直線y=3交點(diǎn)的橫坐標(biāo).由圖可知拋物線y=ax2+bx+c與直線y=3只有一個(gè)交點(diǎn)（就是拋物線

7、的頂點(diǎn)），因此方程ax2+bx+c-3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，選B. 題型四 數(shù)形結(jié)合思想在不等式方面的應(yīng)用 例4 如圖，是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱軸為直線x=1，若其與x軸一交點(diǎn)為A（3,0）則由圖象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是 解析 根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性可知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0），補(bǔ)全函數(shù)圖像可知當(dāng)1x3時(shí)這條拋物線上的點(diǎn)在x軸的下方，因此不等 y ax2+bx+c0的解集是1x3. 0 1 3 x 題型五 數(shù)形結(jié)合思想在比較大小方面的應(yīng)用 例5 若函數(shù)y=x2-4x+c,那么（ ） A.(2)f(1)f(4) y B.f(1)f(2)f(4) 0 1 2 3 xC.f(2)f(4)f(1) f(1) f(3) D.(4)f(2)f(1) f(2) 解析 所要比較的三個(gè)函數(shù)值不在同一單調(diào)區(qū)間，可以 考慮運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，f(1)=f(3),則可用二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.選A. 從以上各例可以看出，解題時(shí)如能見“數(shù)”想“形”，以“形”助“數(shù)”，使“數(shù)”與“形”珠聯(lián)璧合，相