ch8多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用Word版

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 教學(xué)目的：1、 理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。2、 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。3、 理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。4、 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。5、 掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。6、 會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。7、 了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。8、 了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。9、 理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函

2、數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡(jiǎn)多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)：1、 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；2、 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分；3、 方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算；4、 多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)；5、 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)6、 曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；7、 多元函數(shù)極值和條件極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：1、 二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；2、 全微分形式的不變性；3、 復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；4、 二元函數(shù)的二階泰勒公式；5、 隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；6、 拉格郎日乘數(shù)法；7、 多元函數(shù)的最大值和最小值。1

3、 / 44§8. 1 多元函數(shù)的基本概念 一、平面點(diǎn)集n維空間 1平面點(diǎn)集 由平面解析幾何知道, 當(dāng)在平面上引入了一個(gè)直角坐標(biāo)系后, 平面上的點(diǎn)P與有序二元實(shí)數(shù)組(x, y)之間就建立了一一對(duì)應(yīng). 于是, 我們常把有序?qū)崝?shù)組(x, y)與平面上的點(diǎn)P視作是等同的. 這種建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面. 二元的序?qū)崝?shù)組(x, y)的全體, 即R2=R´R=(x, y)|x, yÎR就表示坐標(biāo)平面. 坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合, 稱為平面點(diǎn)集, 記作 E=(x, y)| (x, y)具有性質(zhì)P. 例如, 平面上以原點(diǎn)為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是 C=(

4、x, y)| x2+y2<r2. 如果我們以點(diǎn)P表示(x, y), 以|OP|表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離, 那么集合C可表成 C=P| |OP|<r. 鄰域: 設(shè)P0(x0, y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn), d是某一正數(shù). 與點(diǎn)P0(x0, y0)距離小于d的點(diǎn)P (x, y)的全體, 稱為點(diǎn)P0的d鄰域, 記為U (P0, d), 即 或. 鄰域的幾何意義: U (P0, d)表示xOy平面上以點(diǎn)P0(x0, y0)為中心、d >0為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P (x, y)的全體. 點(diǎn)P0的去心d鄰域, 記作, 即 . 注: 如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑d, 則用U (P0)表示點(diǎn)P0的

5、某個(gè)鄰域, 點(diǎn)P0的去心鄰域記作. 點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系: 任意一點(diǎn)PÎR2與任意一個(gè)點(diǎn)集EÌR2之間必有以下三種關(guān)系中的一種: (1)內(nèi)點(diǎn): 如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P), 使得U(P)ÌE, 則稱P為E的內(nèi)點(diǎn); (2)外點(diǎn): 如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P), 使得U(P)ÇE=Æ, 則稱P為E的外點(diǎn); (3)邊界點(diǎn): 如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn), 也有不屬于E的點(diǎn), 則稱P點(diǎn)為E的邊點(diǎn). E的邊界點(diǎn)的全體, 稱為E的邊界, 記作¶E. E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E; E的外點(diǎn)必定不屬于E; 而E的邊界點(diǎn)可能屬于E, 也可能不屬于E .

6、 聚點(diǎn): 如果對(duì)于任意給定的d>0, 點(diǎn)P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn), 則稱P是E的聚點(diǎn). 由聚點(diǎn)的定義可知, 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)P本身, 可以屬于E, 也可能不屬于E . 例如, 設(shè)平面點(diǎn)集 E=(x, y)|1<x2+y2£2. 滿足1<x2+y2<2的一切點(diǎn)(x, y)都是E的內(nèi)點(diǎn); 滿足x2+y2=1的一切點(diǎn)(x, y)都是E的邊界點(diǎn), 它們都不屬于E; 滿足x2+y2=2的一切點(diǎn)(x, y)也是E的邊界點(diǎn), 它們都屬于E; 點(diǎn)集E以及它的界邊¶E上的一切點(diǎn)都是E的聚點(diǎn). 開集: 如果點(diǎn)集E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn), 則稱E為開集. 閉集: 如果點(diǎn)集的余集E

7、c為開集, 則稱E為閉集. 開集的例子: E=(x, y)|1<x2+y2<2. 閉集的例子: E=(x, y)|1£x2+y2£2. 集合(x, y)|1<x2+y2£2既非開集, 也非閉集. 連通性: 如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn), 都可用折線連結(jié)起來, 且該折線上的點(diǎn)都屬于E, 則稱E為連通集. 區(qū)域(或開區(qū)域): 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域. 例如E=(x, y)|1<x2+y2<2. 閉區(qū)域: 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域. 例如E = (x, y)|1£x2+y2£2. 有界集: 對(duì)于平面點(diǎn)集E

8、, 如果存在某一正數(shù)r, 使得 EÌU(O, r), 其中O是坐標(biāo)原點(diǎn), 則稱E為有界點(diǎn)集. 無界集: 一個(gè)集合如果不是有界集, 就稱這集合為無界集. 例如, 集合(x, y)|1£x2+y2£2是有界閉區(qū)域; 集合(x, y)| x+y>1是無界開區(qū)域; 集合(x, y)| x+y³1是無界閉區(qū)域. 2. n維空間 設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù), 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1, x2, × × × , xn)的全體所構(gòu)成的集合, 即 Rn=R´R´× × ×´

9、R=(x1, x2, × × × , xn)| xiÎR, i=1, 2, × × ×, n. Rn中的元素(x1, x2, × × × , xn)有時(shí)也用單個(gè)字母x來表示, 即x=(x1, x2, × × × , xn). 當(dāng)所有的xi (i=1, 2, × × ×, n)都為零時(shí), 稱這樣的元素為Rn中的零元, 記為0或O . 在解析幾何中, 通過直角坐標(biāo), R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點(diǎn)或向量建立一一對(duì)應(yīng), 因而

10、Rn中的元素x=(x1, x2, × × × , xn)也稱為Rn中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量, xi稱為點(diǎn)x的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量x的第i個(gè)分量. 特別地, Rn中的零元0稱為Rn中的坐標(biāo)原點(diǎn)或n維零向量. 為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系, 在Rn中定義線性運(yùn)算如下: 設(shè)x=(x1, x2, × × × , xn), y=(y1, y2, × × × , yn)為Rn中任意兩個(gè)元素, lÎR, 規(guī)定 x+y=(x1+ y1, x2+ y2, × × × , xn+

11、 yn), lx=(lx1, lx2, × × × , lxn). 這樣定義了線性運(yùn)算的集合Rn稱為n維空間. Rn中點(diǎn)x=(x1, x2, × × × , xn)和點(diǎn) y=(y1, y2, × × × , yn)間的距離, 記作r(x, y), 規(guī)定 . 顯然, n=1, 2, 3時(shí), 上術(shù)規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標(biāo)系下平面及空間中兩點(diǎn)間的距離一至. Rn中元素x=(x1, x2, × × × , xn)與零元0之間的距離r(x, 0)記作|x|(在R1、R2、R3中, 通常將

12、|x|記作|x|), 即 . 采用這一記號(hào), 結(jié)合向量的線性運(yùn)算, 便得 . 在n維空間Rn中定義了距離以后, 就可以定義Rn中變?cè)臉O限: 設(shè)x=(x1, x2, × × × , xn), a=(a1, a2, × × × , an)ÎRn. 如果 |x-a|®0, 則稱變?cè)獂在Rn中趨于固定元a, 記作x®a . 顯然, x®a Û x1®a1, x2®a2, × × × , xn®an . 在Rn中線性運(yùn)算和距離的引入,

13、 使得前面討論過的有關(guān)平面點(diǎn)集的一系列概念, 可以方便地引入到n(n³3)維空間中來, 例如, 設(shè)a=(a1, a2, × × × , an)ÎRn, d是某一正數(shù), 則n維空間內(nèi)的點(diǎn)集 U(a, d)=x| xÎ Rn, r(x, a)<d就定義為Rn中點(diǎn)a的d鄰域. 以鄰域?yàn)榛A(chǔ), 可以定義點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn), 以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念. 二. 多元函數(shù)概念 例 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系 V =pr2h.這里, 當(dāng)r、h在集合(r , h) | r>0, h>0內(nèi)取定一

14、對(duì)值(r , h)時(shí), V對(duì)應(yīng)的值就隨之確定. 例2 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p、體積V和絕對(duì)溫度T之間具有關(guān)系 ,其中R為常數(shù). 這里, 當(dāng)V、T在集合(V ,T) | V>0, T>0內(nèi)取定一對(duì)值(V, T)時(shí), p的對(duì)應(yīng)值就隨之確定.例3 設(shè)R 是電阻R1、R2并聯(lián)后的總電阻, 由電學(xué)知道, 它們之間具有關(guān)系 .這里, 當(dāng)R1、R2在集合( R1, R2) | R1>0, R2>0內(nèi)取定一對(duì)值( R1 , R2)時(shí), R的對(duì)應(yīng)值就隨之確定. 定義1 設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集, 稱映射f : D®R為定義在D上的二元函數(shù), 通常記為z=f(x, y), (x

15、, y)ÎD (或z=f(P), PÎD)其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域, x, y稱為自變量, z稱為因變量. 上述定義中, 與自變量x、y的一對(duì)值(x, y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值, 也稱為f在點(diǎn)(x, y)處的函數(shù)值, 記作f(x, y), 即z=f(x, y). 值域: f(D)=z| z=f(x, y), (x, y)ÎD. 函數(shù)的其它符號(hào): z=z(x, y), z=g(x, y)等. 類似地可定義三元函數(shù)u=f(x, y, z), (x, y, z)ÎD以及三元以上的函數(shù). 一般地, 把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間Rn內(nèi)的點(diǎn)集D, 映射f

16、: D®R就稱為定義在D上的n元函數(shù), 通常記為 u=f(x1, x2, × × × , xn), (x1, x2, × × × , xn)ÎD, 或簡(jiǎn)記為 u=f(x), x=(x1, x2, × × × , xn)ÎD, 也可記為 u=f(P), P(x1, x2, × × × , xn)ÎD . 關(guān)于函數(shù)定義域的約定: 在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)u=f(x)時(shí), 就以使這個(gè)算式有意義的變?cè)獂的值所組成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自

17、然定義域. 因而, 對(duì)這類函數(shù), 它的定義域不再特別標(biāo)出. 例如, 函數(shù)z=ln(x+y)的定義域?yàn)?x, y)|x+y>0(無界開區(qū)域); 函數(shù)z=arcsin(x2+y2)的定義域?yàn)?x, y)|x2+y2£1(有界閉區(qū)域). 二元函數(shù)的圖形: 點(diǎn)集(x, y, z)|z=f(x, y), (x, y)ÎD稱為二元函數(shù)z=f(x, y)的圖形, 二元函數(shù)的圖形是一張曲面. 例如 z=ax+by+c是一張平面, 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面. 三. 多元函數(shù)的極限 與一元函數(shù)的極限概念類似, 如果在P(x, y)®P0(x0, y0)的過程中,

18、對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x, y)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A, 則稱A是函數(shù)f(x, y)當(dāng)(x, y)®(x0, y0)時(shí)的極限. 定義2 設(shè)二元函數(shù)f(P)=f(x, y)的定義域?yàn)镈, P0(x0, y0)是D的聚點(diǎn). 如果存在常數(shù)A, 對(duì)于任意給定的正數(shù)e總存在正數(shù)d, 使得當(dāng)時(shí), 都有 |f(P)-A|=|f(x, y)-A|<e成立, 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x, y)當(dāng)(x, y)®(x0, y0)時(shí)的極限, 記為 , 或f(x, y)®A (x, y)®(x0, y0), 也記作 或f(P)®A(P®P0). 上述定義的極限

19、也稱為二重極限. 例4. 設(shè), 求證. 證 因?yàn)?, 可見"e >0, 取, 則當(dāng) , 即時(shí), 總有|f(x, y)-0|<e, 因此. 必須注意: (1)二重極限存在, 是指P以任何方式趨于P0時(shí), 函數(shù)都無限接近于A. (2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時(shí), 函數(shù)趨于不同的值, 則函數(shù)的極限不存在. 討論: 函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)有無極限？ 提示: 當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿x軸趨于點(diǎn)(0, 0)時(shí), ; 當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿y軸趨于點(diǎn)(0, 0)時(shí), . 當(dāng)點(diǎn)P (x, y)沿直線y=kx有 . 因此, 函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處無極限. 極限概念的推廣: 多元函

20、數(shù)的極限. 多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則: 與一元函數(shù)的情況類似. 例5 求. 解: =1´2=2. 四. 多元函數(shù)的連續(xù)性 定義3 設(shè)二元函數(shù)f(P)=f (x, y)的定義域?yàn)镈, P0(x0, y0)為D的聚點(diǎn), 且P0ÎD . 如果 , 則稱函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)連續(xù). 如果函數(shù)f (x, y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù), 那么就稱函數(shù)f (x, y)在D上連續(xù), 或者稱f (x, y)是D上的連續(xù)函數(shù). 二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去. 例6設(shè)f(x,y)=sin x, 證明f(x, y)是R2上的連續(xù)函數(shù). 證 設(shè)P0(x0, y

21、0)Î R2. "e>0, 由于sin x在x0處連續(xù), 故$d>0, 當(dāng)|x-x0|<d時(shí), 有 |sin x-sin x0|<e. 以上述d作P0的d鄰域U(P0, d), 則當(dāng)P(x, y)ÎU(P0, d)時(shí), 顯然 |f(x, y)-f(x0, y0)|=|sin x-sin x0|<e, 即f(x, y)=sin x在點(diǎn)P0(x0, y0) 連續(xù). 由P0的任意性知, sin x作為x, y的二元函數(shù)在R2上連續(xù). 證 對(duì)于任意的P0(x0, y0)ÎR2. 因?yàn)?, 所以函數(shù)f(x,y)=sin x在點(diǎn)P0(x

22、0, y0)連續(xù). 由P0的任意性知, sin x作為x, y的二元函數(shù)在R2上連續(xù). 類似的討論可知, 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時(shí), 它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是連續(xù)的. 定義4設(shè)函數(shù)f(x, y)的定義域?yàn)镈, P0(x0, y0)是D的聚點(diǎn). 如果函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)不連續(xù), 則稱P0(x0, y0)為函數(shù)f(x, y)的間斷點(diǎn). 例如 函數(shù),其定義域D=R2, O(0, 0)是D的聚點(diǎn). f(x, y)當(dāng)(x, y)®(0, 0)時(shí)的極限不存在, 所以點(diǎn)O(0, 0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn). 又如, 函數(shù), 其定義域?yàn)镈=(x, y)|

23、x2+y2¹1, 圓周C=(x, y)|x2+y2=1上的點(diǎn)都是D的聚點(diǎn), 而f(x, y)在C上沒有定義, 當(dāng)然f(x, y)在C上各點(diǎn)都不連續(xù), 所以圓周C上各點(diǎn)都是該函數(shù)的間斷點(diǎn). 注: 間斷點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)也可能是曲線上的點(diǎn). 可以證明, 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù); 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù); 多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù). 多元初等函數(shù): 與一元初等函數(shù)類似, 多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù), 這個(gè)式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的. 例如, sin(x+y), 都是多元初等函數(shù). 一切

24、多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域. 由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性, 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處的極限, 而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi), 則 . 例7 求. 解: 函數(shù)是初等函數(shù), 它的定義域?yàn)?D=(x, y)|x¹0, y¹0. P0(1, 2)為D的內(nèi)點(diǎn), 故存在P0的某一鄰域U(P0)ÌD, 而任何鄰域都是區(qū)域, 所以U(P0)是f(x, y)的一個(gè)定義區(qū)域, 因此 . 一般地, 求時(shí), 如果f(P)是初等函數(shù), 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn), 則f(P)在點(diǎn)P0處連續(xù), 于是 . 例8 求. 解:

25、. 多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 性質(zhì)1 (有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù), 必定在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值. 性質(zhì)1就是說, 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù), 則必定存在常數(shù)M>0, 使得對(duì)一切PÎD, 有|f(P)|£M; 且存在P1、P 2ÎD, 使得 f(P1)=maxf(P)|PÎD, f(P2)=minf(P)|PÎD, 性質(zhì)2 (介值定理) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值. §8. 2 偏導(dǎo)數(shù) 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法 對(duì)于二元函數(shù)z=f(x,

26、y), 如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定, 這時(shí)它就是x的一元函數(shù), 這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù), 就稱為二元函數(shù)z=f(x, y)對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù). 定義 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Dx時(shí), 相應(yīng)地函數(shù)有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0, y0). 如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 記作, , , 或.例如. 類似地, 函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)y 的偏導(dǎo)數(shù)定義為, 記作 , , , 或fy(x0, y0). 偏導(dǎo)函數(shù): 如果函數(shù)z=f(x,

27、y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x, y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù), 它就稱為函數(shù)z=f(x, y)對(duì)自變量的偏導(dǎo)函數(shù), 記作, , , 或.偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: . 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: . 求時(shí), 只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù); 求時(shí), 只要把x暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù). 討論: 下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？ , . , . 偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù). 例如三元函數(shù)u=f(x, y, z)在點(diǎn)(x, y, z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為 , 其中(x, y, z)是函數(shù)u=f(x

28、, y, z)的定義域的內(nèi)點(diǎn). 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題. 例1 求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù). 解 , ., . 例2 求z=x2sin 2y的偏導(dǎo)數(shù). 解 , . 例3 設(shè), 求證: . 證 , . . 例4 求的偏導(dǎo)數(shù). 解 ; . 例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證: . 證 因?yàn)? ; , ; , ; 所以. 例5 說明的問題: 偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào), 不能看作分子分母之商. 二元函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x0, y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: fx(x0, y0)=f(x, y0)x¢是截線z=f(x, y

29、0)在點(diǎn)M0處切線Tx對(duì)x軸的斜率. fy(x0, y0) =f(x0, y)y¢是截線z=f(x0, y)在點(diǎn)M0處切線Ty對(duì)y軸的斜率. 偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性: 對(duì)于多元函數(shù)來說, 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在, 也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 例如 在點(diǎn)(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)并不連續(xù).提示: , ; , . 當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿x軸趨于點(diǎn)(0, 0)時(shí), 有 ; 當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0, 0)時(shí), 有 . 因此, 不存在, 故函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處不連續(xù). 類似地, 可定義函數(shù)z=f(x, y)

30、對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù), 記為 , , zy , 或. 偏導(dǎo)函數(shù)的定義式: . 二. 高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù), , 那么在D內(nèi)fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函數(shù). 如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在, 則稱它們是函數(shù)z=f(x, y)的二偏導(dǎo)數(shù). 按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù) 如果函數(shù)z=f(x, y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏導(dǎo)數(shù), 則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x, y)的二階偏導(dǎo)數(shù). 按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù) , , , .其中, 稱為混合偏導(dǎo)數(shù)., , , .同樣可得三階、四階

31、、以及n 階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). 例6 設(shè)z=x3y2-3xy3-xy+1, 求、和. 解 , ; , ; , . 由例6觀察到的問題: 定理 如果函數(shù)z=f(x, y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù), 那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. 類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù). 例7 驗(yàn)證函數(shù)滿足方程. 證 因?yàn)? 所以 , , , .因此 . 例8證明函數(shù)滿足方程, 其中. 證: , .同理 , .因此 .提示: . §8. 3全微分及其應(yīng)用 一、全微分的定義 根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系, 有 偏增量與偏微分: f(x+Dx, y

32、)-f(x, y)»fx(x, y)Dx, f(x+Dx, y)-f(x, y)為函數(shù)對(duì)x的偏增量, f x(x, y)Dx為函數(shù)對(duì)x的偏微分; f(x, y+Dy)-f(x, y)»fy(x, y)Dy, f(x, y+Dy)-f(x, y)為函數(shù))對(duì)y的偏增量, f y(x, y)Dy為函數(shù)對(duì)y的偏微分. 全增量: Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y). 計(jì)算全增量比較復(fù)雜, 我們希望用Dx、Dy的線性函數(shù)來近似代替之. 定義 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y) 可表示為 , 其中A、B不

33、依賴于Dx、Dy 而僅與x、y 有關(guān), 則稱函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 而稱ADx+BDy為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分, 記作dz, 即 dz=ADx+BDy. 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 可微與連續(xù): 可微必連續(xù), 但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù). 這是因?yàn)? 如果z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微, 則 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),于是 , 從而 . 因此函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù). 可微條件: 定理1(必要條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x,

34、 y)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在, 且函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分為 . 證 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微分. 于是, 對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P ¢(x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當(dāng)Dy=0時(shí)有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx®0而取極限, 就得 , 從而偏導(dǎo)數(shù)存在, 且. 同理可證偏導(dǎo)數(shù)存在, 且. 所以 . 簡(jiǎn)要證明: 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分. 于是有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別

35、當(dāng)Dy=0時(shí)有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|). 上式兩邊各除以Dx, 再令Dx®0而取極限, 就得 , 從而存在, 且. 同理存在, 且. 所以. 偏導(dǎo)數(shù)、存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. 例如, 函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處雖然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函數(shù)在(0, 0)不可微分, 即Dz-fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy不是較r高階的無窮小. 這是因?yàn)楫?dāng)(Dx, Dy)沿直線y=x趨于(0, 0)時(shí), . 定理2(充分條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)(x, y)連續(xù), 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.

36、 定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù). 按著習(xí)慣, Dx、Dy分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 則函數(shù)z=f(x, y)的全微分可寫作 . 二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如函數(shù)u=f (x, y, z) 的全微分為 . 例1 計(jì)算函數(shù)z=x2y +y2的全微分. 解 因?yàn)? , 所以dz=2xydx+(x2+2y)dy . 例2 計(jì)算函數(shù)z=exy在點(diǎn)(2, 1)處的全微分. 解 因?yàn)? , , , 所以 dz=e2dx+2e2dy . 例3 計(jì)算函數(shù)的全微分. 解 因?yàn)? , , 所

37、以 . *二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 當(dāng)二元函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn)P (x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f x (x, y) , f y (x, y)連續(xù), 并且|Dx|, |Dy|都較小時(shí), 有近似等式Dz »dz= f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy , 即 f (x+Dx, y+Dy) » f(x, y)+f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy . 我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算. 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解

38、 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 則有 V=p r 2h . 已知r=20, h=100, Dr=0. 05, Dh=-1. 根據(jù)近似公式, 有 DV»dV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh =2p´20´100´0. 05+p´202´(-1)=-200p (cm3). 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200p cm3. 例5 計(jì)算(1. 04)2. 02的近似值. 解 設(shè)函數(shù)f (x, y)=x y . 顯然, 要計(jì)算的值就是函數(shù)在x=1.04, y=2.02時(shí)的函數(shù)值f(1.04, 2.02). 取x=1,

39、 y=2, Dx=0.04, Dy=0.02. 由于f (x+Dx, y+Dy)» f(x, y)+f x(x, y)Dx+f y(x, y)Dy =x y+yxy-1Dx+x yln x Dy , 所以(1.04)2. 02»12+2´12-1´0.04+12´ln1´0.02=1.08. 例6 利用單擺擺動(dòng)測(cè)定重力加速度g的公式是 .現(xiàn)測(cè)得單擺擺長(zhǎng)l與振動(dòng)周期T分別為l=100±0.1cm、T=2±0.004s. 問由于測(cè)定l與T的誤差而引起g的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？ 解 如果把測(cè)量l與T所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作

40、|l|與|T|, 則利用上述計(jì)算公式所產(chǎn)生的誤差就是二元函數(shù)的全增量的絕對(duì)值|g|. 由于|l|, |T|都很小, 因此我們可以用dg來近似地代替g. 這樣就得到g的誤差為 ,其中dl與dT為l與T的絕對(duì)誤差. 把l=100, T=2, dl=0.1, T=0.004代入上式, 得g的絕對(duì)誤差約為 . . 從上面的例子可以看到, 對(duì)于一般的二元函數(shù)z=f(x, y), 如果自變量x 、y 的絕對(duì)誤差分別為dx、dy, 即 |x |£dx, |y |£dy, 則z的誤差 ;從而得到z的絕對(duì)誤差約為 ;z的相對(duì)誤差約為 . §8. 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)z=f

41、(u, v), 而u=j(t), v=y(t), 如何求？ 設(shè)z=f(u, v), 而u=j(x, y), v=y(x, y), 如何求和？ 1. 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形 定理1 如果函數(shù)u=j(t)及v=y(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=fj(t), y(t)在點(diǎn)t可導(dǎo), 且有 . 簡(jiǎn)要證明1: 因?yàn)閦=f(u, v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 所以它是可微的, 即有 .又因?yàn)閡=j(t)及v=y(t)都可導(dǎo), 因而可微, 即有 , , 代入上式得 , 從而 . 簡(jiǎn)要證明2: 當(dāng)t取得增量Dt時(shí), u、v及z相應(yīng)地也取得增

42、量Du、Dv及Dz . 由z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 有 , , 令Dt®0, 上式兩邊取極限, 即得 . 注:. 推廣: 設(shè)z=f (u, v, w), u=j(t), v=y(t), w=w(t), 則z=fj(t), y(t), w(t)對(duì)t 的導(dǎo)數(shù)為: . 上述稱為全導(dǎo)數(shù). 2. 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形 定理2 如果函數(shù)u=j(x, y), v=y(x, y)都在點(diǎn)(x, y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=f j(x, y), y(x, y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏

43、導(dǎo)數(shù)存在, 且有 , . 推廣: 設(shè)z=f(u, v, w ), u=j(x, y), v=y(x, y), w=w(x, y), 則 , . 討論: (1)設(shè)z=f(u, v), u=j(x, y), v=y(y), 則？ 提示: , . (2)設(shè)z=f(u, x, y), 且u=j(x, y), 則？ 提示: , . 這里與是不同的, 是把復(fù)合函數(shù)z=fj(x, y), x, y中的y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù), 是把f(u, x, y)中的u及y看作不變而 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù). 與也朋類似的區(qū)別. 3復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù), 又有多元函數(shù)的情形 定理3 如果函數(shù)u=j(x, y)在點(diǎn)(x,

44、 y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù), 函數(shù)v=y(y)在點(diǎn)y可導(dǎo), 函數(shù)z=f(u, v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則復(fù)合函數(shù)z=fj(x, y), y(y)在點(diǎn)(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, 且有 , . 例1 設(shè)z=eusin v, u=xy, v=x+y, 求和. 解 =eusin v×y+eucos v×1 =ex yy sin(x+y)+cos(x+y), =eusin v×x+eucos v×1 =exyx sin(x+y)+cos(x+y). 例2 設(shè), 而. 求和. 解 . . 例3 設(shè)z=uv+sin t , 而u=et, v=c

45、os t. 求全導(dǎo)數(shù). 解 =v×et+u×(-sin t)+cos t =etcos t-e tsin t+cos t =et(cos t-sin t)+cos t . 例4 設(shè)w=f(x+y+z, xyz), f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 求及. 解 令u=x+y+z, v=xyz , 則w=f(u, v). 引入記號(hào): , ; 同理有,等. , . 注: , . 例5 設(shè)u=f(x, y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式: (1); (2). 解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得 u=f(x, y)=f(rcos, rsin)=F(r, ), 其中x

46、=rcos, y=rsin, , .應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, 得 , .兩式平方后相加, 得 .再求二階偏導(dǎo)數(shù), 得 .同理可得 .兩式相加, 得 . 全微分形式不變性: 設(shè)z=f(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有全微分 . 如果z=f(u, v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 而u=j(x, y), v=y(x, y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則 . 由此可見, 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù), 它的全微分形式是一樣的. 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性. 例6 設(shè)z=e usin v, u=x y, v=x+y, 利用全微分形式不變性求全微分. 解 = e usin vdu+ e ucos v

47、dv = e usin v(y dx+x dy )+ e ucos v(dx+dy) =( ye usin v+ e ucos v)dx+(xe usin v+ e ucos v )dy =e xy y sin(x+y)+cos(x+y)dx+ e xy x sin(x+y)+cos(x+y)dy . §8. 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x, y)在點(diǎn)P(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), F(x0, y0)=0, Fy(x0, y0)¹0, 則方程F(x, y)=0在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有

48、連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x), 它滿足條件y0=f(x0), 并有 . 求導(dǎo)公式證明: 將y=f(x)代入F(x, y)=0, 得恒等式 F(x, f(x)º0, 等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得 , 由于F y連續(xù), 且Fy(x0, y0)¹0, 所以存在(x0, y0)的一個(gè)鄰域, 在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y ¹0, 于是得 . 例1 驗(yàn)證方程x2+y2-1=0在點(diǎn)(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f(x), 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x=0的值. 解 設(shè)F(x, y)=x2+y2-1, 則Fx=2x, Fy=2y, F(0, 1)=0,

49、Fy(0, 1)=2¹0. 因此由定理1可知, 方程x2+y2-1=0在點(diǎn)(0, 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x=0時(shí)y=1的隱函數(shù)y=f(x). , ; , . 隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù). 一個(gè)二元方程F(x, y)=0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù), 一個(gè)三元方程F(x, y, z)=0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù). 隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)F(x, y, z)在點(diǎn)P(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù), 且F(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)¹0 , 則方程F(x, y, z)=0在點(diǎn)(x0, y0, z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x, y), 它