電磁場(chǎng)與波期末復(fù)習(xí)上

1、電 磁 場(chǎng) 與 波 復(fù) 習(xí) 資 料電磁場(chǎng)與波知識(shí)要點(diǎn)第一 第二章公式：ì 體電荷密度: = dqïVdVïïdq1. 電荷密度： í面電荷密度：S =ïdS注意電流密度的概念。rïï線電荷密度：îl= dqdl題有：2.5 應(yīng)用 JV題 2.4= V × vì 體電流密度: r = r × di = × r2. 電流密度： JVen dSV v（P35）írrdirïï面電流密度：JîS = en×= S ×

2、; v dlìrrdqd ÑòS J × dS = - dt = -òV dt dVï3. 電流連續(xù)性方程： í r rd ïÑ × J = -îdt(可由定理得）（P37）（時(shí)間從閉合曲面內(nèi)流出的電荷等于 V 內(nèi)減少的電荷）（對(duì)恒定電流，其電荷密度在空間上的分布是不隨時(shí)間變化的，則Ñ× J = 0 ，故恒定電流場(chǎng)是無散場(chǎng)）rqnqirr'4. 庫侖力：F =4åi=1rr 3 (r - ri )irr'r - r '5. 點(diǎn)電荷電

3、場(chǎng)：r1E = 4nåi =1qi r - ri3 (r - ri )（P40）rr' r 1 ånqir - rirr'6. 電場(chǎng)的電勢(shì)： （r )=4i=1+ C(C根據(jù)定義的零電勢(shì)點(diǎn)來確定）rrrIdl ´( r - r' )r4rr'7薩伐爾定理： B = 0 Ñò3r - r(電流元Idl ） （P46）rJVr - rirr'8. 磁場(chǎng)的磁矢位： A = 4 òVdV + Crr1q內(nèi)自9. 定理：ÑòS E × dS = òV dV = .特

4、別地，對(duì)于靜電荷：（P44）rrr 0 r0rrÑ × E =0Ñ´ E = 0(說明靜電荷產(chǎn)生的場(chǎng)是保守場(chǎng)Ñò E × dl= 0）微 學(xué) 一 班，嚴(yán) 禁 盜 版 行 為! 1 ìrr電 磁 場(chǎng) 與 波 復(fù) 習(xí) 資 料ïÑò D × dS =q內(nèi)自（P53）10. 有介質(zhì)的 定理：íïîrrÑ× D = 內(nèi)自利用 定理求電場(chǎng)通常只用于對(duì)稱分布的問題中，關(guān)鍵是選擇 面：（1）.所求電場(chǎng)的點(diǎn)應(yīng)該在 面上；（2）.面必須為封閉曲面

5、；習(xí)題 2.19 和 2.23（3）.在整個(gè)或分段 面上，E或 E × dS是恒定的。11. 安培環(huán)路定理： Ñò B × dl =0 I內(nèi)自Ñ´ B = 0 × Jrrr¶D（P48）12. 后的安培環(huán)路定律： Ñ´ H = J傳 + ¶t（全電流定律）（p68）13. 電位移矢量： D = 0 E + P = 0r EP =0 (r -1)ErBrrr14. 磁場(chǎng)強(qiáng)度： H = - MB = 0r Hrrå pirrr15. 極化強(qiáng)度矢量： P = limDV ®

6、;0 DV（電偶極矩： p = ezqd從-到 ），極化強(qiáng)度矢量表示體積中(ez+電偶極矩的矢量和，反映了物質(zhì)在電場(chǎng)下被極化的。 （P51） = -Ñ × P= P × rr 為面法線)極化電荷密度： p，極化面電荷密度： spen(enrrr16. 電流的磁偶極矩： pm = i × en DS(en DS 為分子電流所圍成的面積元矢量）（p55）rrå pm磁化強(qiáng)度矢量： M = lim( 體積內(nèi)的分子磁矩的矢量和）DV ®0 DV磁介質(zhì)內(nèi)磁化電流體密度： JM= Ñ´ MIM = òS JM 

7、15; dSr（p57）磁介質(zhì)表面的面電流密度： JSM= M ´ en(M 與外磁場(chǎng)方向一致）介質(zhì)中的安培環(huán)路定理： Ñò H × dl=I內(nèi)傳Ñ ´ H = J 傳 （p58）習(xí)題 2.24，求電17. 介質(zhì)中的歐姆定律： J = Eìï（p61） = - dFdt動(dòng)勢(shì)常用此式rrïrï¶Brrr18. 感應(yīng)定律：íÑòC E × dlï= -òS ¶t dS + ÑòC (v ´

8、B) × dlr（p64）ïrr¶Brrrïîr¶DÑ´ E = - ¶t + Ñ´(v ´ B)位移電流： Jd = ¶t（位移電流只表示電場(chǎng)的變化率， 像傳導(dǎo)電流一樣產(chǎn)生熱效應(yīng)）微 學(xué) 一 班 ，嚴(yán) 禁 盜 版 行 為! 2 電 磁 場(chǎng) 與 波 復(fù) 習(xí) 資 料19.方程組：ì rrr¶Dï Ñ´ H = J傳 + ¶t(全電流定律，表明磁場(chǎng)的旋 是傳導(dǎo)電流和位移電流）ï rrrï&#

9、182;B¶t微分形式： íÑ´ E = -ï rr(電磁感應(yīng)定律，表明變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生有旋度的電場(chǎng)）ïÑ × B = 0（磁通連續(xù)性原理，表明磁場(chǎng)是無散場(chǎng)，磁力線總是閉合的曲線）ï rrî Ñ × D = 內(nèi)自（定律，表明電荷是電場(chǎng)的散）ìrrr¶ rrïÑò H × dlï= òS(J + D )dS¶tïrr¶ rr積分形式： ïÑò

10、 E × dl= -ò B dS（p71）írr S ¶tïïÑòïrB × dS =0r習(xí)題 2.21îïÑò D × dS =òV 內(nèi)自dVì rrrJ = E在線性各向同性介質(zhì)中本構(gòu)ï D = 0r E = E20.本構(gòu)： í rrrïîB = 0 r H = H21. 電磁場(chǎng)的邊界條件 （p77）ìrrrrïen ´(H1 - H2 ) = JS或H

11、1t - H2t = JSï (JS 為分界面上的電流，JS ¹ 0說明H 在分界面上切向分量不連續(xù)。）ïrrrïen ´ (E1 - E2 ) = 0或E1t - E2t = 0（說明電場(chǎng)強(qiáng)度在分界面上的切向分量是連續(xù)的。）írrrïen × (B1 - B2 ) = 0或B1n - B2n = 0ï（說明磁感應(yīng)強(qiáng)度在分界面上的法向分量是連續(xù)的。）ï rrrï en × (D1 - D2 ) = Sï或D1n - D2n = Sîï (S 為分

12、界面上的電荷密度，S ¹ 0說明D在分界面上法向分量不連續(xù)。）（1）.理想介質(zhì)表面的邊界條件（理想介質(zhì)中 S = 0 ， JS = 0 ：ìrrr磁場(chǎng)強(qiáng)度和電場(chǎng)強(qiáng)度在切向連續(xù)（若不等于 0 則不連續(xù)en ´(H1 - H2 ) = 0或H1t - H2t = 0ï rrrï en ´ (E1 - E2 ) = 0或E1t - E2t = 0í rrr磁感應(yīng)強(qiáng)度和電位移矢量在切向連續(xù)（若不等于 0 則不連續(xù)ï en × (B1 - B2 ) = 0或B1n - B2n = 0ï rrrî

13、 en × (D1 - D2 ) = 0或D1n - D2n = 0（2）.理想導(dǎo)體（ ® ¥ ）的邊界條件：ìrrren ´ H1 = JSï rr習(xí)題 2.27ï en ´ E1 = 0í rrï en × B1 = 0ï rrî en × D1 = S22. 常用的矢量運(yùn)算 （P341）A × (B ´ C) = B × (C ´ A) = C × ( A ´ B)A´ (B &#

14、180; C) = B × ( A × C) - C × ( A × B)微 學(xué) 一 班 ，嚴(yán) 禁 盜 版 行 為! 3 Ñ´(Ñu) = 0Ñ × (Ñ´ A) = 0電 磁 場(chǎng) 與 波 復(fù) 習(xí) 資 料Ñò A × dS =òV Ñ × AdVÑò B × dl=òS Ñ´ B × dS圓柱坐標(biāo)系中：球坐標(biāo)系中：rr ¶ur¶ur &#

15、182;urr ¶ur 1 ¶ur1¶uÑu = e ¶ + e ¶ + ez ¶zÑu = er ¶r + e r ¶ + e r sin ¶rr1 ¶1 ¶¶rr1 ¶21¶1¶Ñ × A = ¶ ( A ) + ¶ ( A ) + ¶z ( Az )Ñ × A = r2 ¶r (r Ar ) + r sin ¶ (sin A ) +

16、 r sin ¶ ( A )rr1Ñ´ A =re¶ re¶rez¶rr1rer¶rre¶r sin re¶¶¶¶zr 2 sin¶r¶¶A AAzArrAr sin AÑ´ A =r 21¶¶u1 ¶2u¶2ur1 ¶¶u1¶¶u1¶2uÑ u =() +2 2 ¶¶ 2 ¶ 2¶z2&

17、#209; u =(r r2 ¶r) +(sin ) +¶rr 2 sin ¶¶r 2 sin2 ¶ 223. 幾種常見的電場(chǎng)、磁場(chǎng)分布：(1) 均勻帶電直線段的電場(chǎng)強(qiáng)度：ìE =l(cos- cos )íï40 ïEzï=lî40 E =l(sinzE12（有限長(zhǎng)導(dǎo)線）2 - sin1)12= 0（無限長(zhǎng)導(dǎo)線，即當(dāng) ® 0, ® 時(shí)）20 (2) 載流直線段的磁感應(yīng)強(qiáng)度：r = r 0 I (cos - cos )（有限長(zhǎng)）Be 412r = r0 I（無線長(zhǎng)導(dǎo)線

18、，即當(dāng)® 0,® 時(shí)）Be 212(3) 均勻帶電圓環(huán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度：E(0, 0, z) =20al z(a2 + z2 )3/ 2(4) 載流圓環(huán)軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度：rr 0B(0, 0, z) = e Ia2z 2(a2 + z2 )3/2rr 0IB(0, 0, 0) = ez 2a（Z=0，即在圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度）微 學(xué) 一 班 ，嚴(yán) 禁 盜 版 行 為! 4 電 磁 場(chǎng) 與 波 復(fù) 習(xí) 資 料(5) 均勻帶電圓環(huán)面的軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度：（右圖中在半徑為 a 到 b 之間電荷）br rr z11E(r ) = ez S (20-z2 + a2)z2 + b2（當(dāng)

19、a ® 0 時(shí)，表示實(shí)心圓24. 第二章知識(shí)框架：第三章公式1. 靜電場(chǎng)基本方程和邊界條件：在其軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度）(P89)ìrrrrïÑò D × dS =òV 內(nèi)自dV = q內(nèi) 自ìÑ × D = 積分形式： írr微分形式： írr內(nèi)自ïîÑò E × dl =0î Ñ´ E = 0ì rrr邊界條件： ï en ´ (E1 - E2 ) = 0ír

20、rrïîen × (D1 - D2 ) = S2. 靜電場(chǎng)的電位函數(shù)和其邊界條件：（P92）- ¢=1r q r4 rrïì 1 = 2rrE = -Ñr(r ) （求電場(chǎng)的另一種常用的）ï介質(zhì)中的邊界條件：íî 1¶1 - ¶n2¶2 = -¶nS（ S 為邊界上的電荷面密度）微 學(xué) 一 班 內(nèi) 部 資料 ，嚴(yán) 禁 盜 版 行 為! 5 ì = 常數(shù)ï電 磁 場(chǎng) 與 波 復(fù) 習(xí) 資 料若其中一介質(zhì)為導(dǎo)體，因?yàn)閷?dǎo)體為等勢(shì)體，則3. 靜電

21、場(chǎng)的微分方程：（P92）í ¶ï ¶Sn= -îr2r (r )泊松方程： Ñ (r ) = -0（空間中有 電荷分布時(shí)，滿足該方程）拉斯方程： Ñ2r(r ) = 0（空間中無 電荷）對(duì)于泊松方程，通常用場(chǎng)中電勢(shì)的積分表達(dá)式直接確定解的通式，再由邊界條件確定未知常量，而不是直接解微分方程。4. 導(dǎo)體系統(tǒng)的電容：（P95）電容的計(jì)算式： C = q 。U計(jì)算電容主要的 有：（1） 假設(shè)導(dǎo)體上分別帶有+q 和-q 的電荷，求解導(dǎo)體間的電勢(shì)差，由式可求得。（2） 假設(shè)導(dǎo)體間的電勢(shì)差，求一個(gè)導(dǎo)體上分布的電荷，由式可求得。常見的導(dǎo)體

22、系統(tǒng)的電容：（1） 同心球形電容器：（電容器內(nèi)外球半徑為 a 和 b,介質(zhì)介電常數(shù)為 ）C = 4 (a + b)b - a當(dāng) a ® 0 時(shí)， C = 4 a（表示孤立導(dǎo)體球的電容）（2） 平行雙線傳輸線：（導(dǎo)線半徑為 a，兩導(dǎo)體間軸線間距為 D）長(zhǎng)度上的電容：0C = ln(D - a) / a若 D ? a ，則有C =0ln D - ln a（3） 同軸線導(dǎo)線系統(tǒng)：（內(nèi)外導(dǎo)體半徑為 a 和 b，中間的介電常數(shù)為 ）長(zhǎng)度上的電容： C =òò115. 靜電場(chǎng)的能量 （P102）2ln b - ln a體分布電荷：We= 2 V V dV面分布電荷：We= 2

23、 S SdSN 個(gè)帶電導(dǎo)體系統(tǒng)：We= 1 Nå2 i =1iqi電容中的電場(chǎng)能：We= 1 CU 22w = 1 r r1 r r12電場(chǎng)的能量體密度： eD × E2在各向同性介質(zhì)中： we = 2 D × E = 2 E6. 恒定電場(chǎng)（ º 常數(shù)）的基本方程和邊界條件：（P106）ìrrïÑò J × dS =0ì Ñ × J = 0保守場(chǎng)積分形式： írr微分形式： í rrïîÑò E × dl

24、=0îE = -Ñ微 學(xué) 一 班 ，嚴(yán) 禁 盜 版 行 為! 6 ì rrr電 磁 場(chǎng) 與 波 復(fù) 習(xí) 資 料邊界條件： ï en × (J1 - J2 ) = 0írrrïîen ´ (E1 - E2 ) = 07. 恒定電場(chǎng)的點(diǎn)位函數(shù)和邊界條件：（P107）ì¶1 = ¶2Ñ2 = 0ï邊界條件： í1 ¶n2 ¶n8. 恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)的比擬：（P107）恒定電場(chǎng)和靜電場(chǎng)中的對(duì)應(yīng)物理量：ïî 1 =

25、2靜電場(chǎng)EDqC （電容）恒定電場(chǎng)EJIG （電導(dǎo)）（在一個(gè)場(chǎng)的公式中，按上述的對(duì)應(yīng)替換，即可得到在另一種場(chǎng)中的表達(dá)形式。常見的方程比擬參見 P107 的表 3.2.1）8. 恒定磁場(chǎng)的基本方程和邊界條件 （P111）ìrrrrïÑòC H × dl =òS J × dSìÑ´ H = J積分形式： írr微分形式： í rrïî ÑòS B × dS = 0î Ñ × B = 0ì r

26、rrírn12邊界條件： ïe × (B - B ) = 0rrrïîen ´ (H1 - H 2 ) = JS9. 矢量磁位的微分方程：B = Ñ´ A泊松方程： Ñ2 × A = - J拉斯方程： Ñ2 × A = 0r rrJ (r )dVrrr - r¢（和電位一樣，泊松方程的是 A(r ) = 4 òV+ C 的形式。在直角坐標(biāo)系中，還可以分解為Ñ2 A = - J ,Ñ2 A = - J ,Ñ2 A = - J 在

27、解方程 ）xxyyzz10. 電感注意內(nèi)自感，外自感，互感的區(qū)別，計(jì)算磁通時(shí)，注意是用的哪部分電流，可以參考書上例 3.3.3。（P117）11. 計(jì)算互感的公式（公式）： M12 = 4ÑòC ÑòCdl2 × dl1- rr12r1r2（P120）（計(jì)算自感或互感的其他還有：（1）假設(shè)回路中的電流為 I ；根據(jù) I 求出磁感應(yīng)強(qiáng)度 B ；再求出回路鉸鏈的磁鏈；最后計(jì)算比值，求出自感或互感。（2）用磁場(chǎng)能量間接求電感。）W = 1r r1rr12212. 磁場(chǎng)能量： m2 òV J × AdV + 2 òV B × HdV = 2(L1I1+ L2 I2) + MI1I2w = 1 rr磁場(chǎng)能量體密度： mB × H213. 邊值問題