第二型曲線曲面積分的計算方法

1、第二型曲線曲面積分的計算方法PB07210153 劉羽第二型曲線曲面積分與第一型曲線曲面積分相比有明顯不同的幾何意義和 物理意義，第一型曲線曲面積分分別可以看成是定積分與二重積分的更一般情 況，其意義較易理解，計算也相對比較簡單。而第二型曲線曲面積分又稱為對坐 標的積分，具有第一型不具有的方向性，計算較為復雜，物理意義十分明顯，分 別是變力沿曲線做功和向量場過曲面的通量，這在物理學上有重要的應用，與格 林定理，斯托克斯定理，高斯定理緊密相關，是微積分中的重點和難點，以下簡 單介紹第二型曲線曲面積分的常用計算方法。1 第二型曲線積分計算方法向量場F = Pi Qj Rk，是曲線L上指向指定方向的

2、單位切向量，則 稱形式積分丄Pdx Qdy Rdz二l Fdl為第二型曲線積分，右端是F在L 上第一型曲線積分。這里要理解的方向性，dx=t|dl是有向曲線微元dl在 Ox軸方向投影，dx可正可負(與定積分不同)，這正是第二型曲線積分具有 方向性的原因。計算第二型曲線積分的方法主要有定義法，參數(shù)法，利用性質(zhì)以及利用Green公式和Stokes公式。1)定義法當已知或易于表達時，可考慮用定義法，一般用得較少。(2) 參數(shù)法參數(shù)法是計算第二型曲線積分最常用的方法，將其轉化為定積分，應用 時要特別注意上下限的確定(根據(jù)所給的方向而不是大小)。設有向曲線L的參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t),z=z

3、(t),其起點對應t=a，終點對 應t=b，則l P d x Qdy R d z=bP(x(t),y t )z t(対 t( )Q x(t (y ,t (z)t (y)t (P)X t( W t),z t z t dt 計算時只要將所有量(包括微分量)用參數(shù)變量表示出來即可，不需記憶此式。例1 求曲線積分ydx+zdy + xdz，其中L是x + y = 2與x2 y2 z2 =2(x y)的交線，從原點看去是逆時針方向。解：在曲線L滿足的方程組中消去y并化簡得2(x-1)2 z2，可知L在Ozx平面上的投影曲線是橢圓2(x -1)2 z2 =2，注意到坐標原點在平面x y =2的X :的一側

4、，所以從x軸正方向看曲線是順時針方向設 z = . 2 cost, x = 1 si nt,y=2X=1nt,0 t2n ,且其方向是參數(shù)減少方向，從而ydx z dy x=dz(1 st n )Co.s2cost( cos ) t (1 si nt )( t 2 si n )L 2 二=f=2dt =2屈(3) 利用第二型曲線積分的性質(zhì)，如用分段法，分項法，方向性來簡化 計算。(4) 利用Green公式和Stokes公式。Green公式:Stokes屮Q Pdx Qdy =公式s :y工Q要注意兩個公式都只對閉合曲線成立，有時當所求曲線部分十分復雜 而非閉合部分僅為一條直線或簡單曲線時，可采

5、用補線法進行計算，這 時要特別注意方向性，最好畫圖避免錯誤。Green公式的一個應用 Green公式可以求平面閉合曲線圍成區(qū)域的面積：S = JJdxdy = xdy =叫 ydxD2.第二型曲面積分計算方法彳 4 T 彳片、向量場v二Pi Q j Rk， n是指向雙側曲面定側的單位法向量，稱形 式積分11 Pdydz Qdzdx Rdxdy二vLndS為第二型曲面積分，右端是丄n在曲面SSS4 4上的第一型曲面積分。這里要理解 dydz=i|_ndS，其大小為dS在Oyz平面上投影的大小，其符號由n與i的夾角是銳角或鈍角而定，是有正負的，是4有向面積元ndS在Oyz平面上投影。計算第二型曲面

6、積分的常用方法主要有定義法，參數(shù)法，單一坐標平 面投影法，分項投影法，以及利用高斯公式求解等。(1) 定義法當單位法向量容易求得，易于表達時可考慮用定義法。(2) 參數(shù)法 常用球面參數(shù)和柱面參數(shù)：球面參數(shù)：x 二 Rs in vcos，y 二 Rs in v si n,z 二 Rcosv，可推廣至 U橢球面。柱面參數(shù)； x 二 acosv, y 二 asinv,z=z其他參數(shù)由于計算復雜使用不多。(3) 單一坐標平面投影法(參數(shù)法特例) 設以Oxy平面為投影面iiPdydz Qdzdx Rdxdy = ；(-zxP-zyQ R)dxdySD以Oyz,Ozx平面為投影面情況類似。(4) 分項投影

7、法分項投影法是利用第二型曲面積分的線性性：iiPdydz Qdzdx Rdxdy = Pdydz 亠 11 Qdzdx 亠 11 RdxdySSSS分別將右式三項投影到Oyz,Ozx,Oxy平面上，由于11 Pdydz = Pdydz ,11 Pdydz = Pdydz ,11 Pdydz = PdydzSD1SD1SD1分別投影直接計算二重積分，避免投影到一面上求偏導的計算，此法非常 實用，看似復雜，實則簡單，非常實用。計算中要注意原曲面與投影曲面一一對應，若不一一對應要分片投影，如一個完整的球投影到 Oxy平面上，上下半球曲面要分別投影計算。 計算中注意利用方向性等性質(zhì)以簡化計算。2 2例2 計算 /dzdx zdxdy，其中S是橢球面 z 1，外側。S44此題可利用參數(shù)法，單一坐標平面投影法，分項投影法等多種方法計算, 難度不大，答案是空。3(5) 利用高斯公式口 Pdydz Qdzdx Rdxdy -s! )dxdydz v x : y : x注意公式只對閉合曲面成立，Gauss公式將第二型曲面積分轉化為三 重積分，被積函數(shù)(向量場散度)容易求得，有時十分方便求解。如果空 間曲面較為復雜但只差一個簡單曲面或平面即可構成閉合曲面，則可利用補面法進行計算，此時也應特別注意方向的判斷。