新型并聯(lián)機床數(shù)控系統(tǒng)插補算法的研究

1、新型并聯(lián)機床數(shù)控系統(tǒng)插補算法的研究1 并聯(lián)機床結(jié)構(gòu)布局并聯(lián)機床(又稱為虛擬軸機床)是二十世紀(jì)九十年代中期問世的一種新型結(jié)構(gòu)數(shù)控機床，它以并聯(lián)機構(gòu)作為主進(jìn)給機構(gòu)，具有加工精度高、結(jié)構(gòu)抗振性好、切削穩(wěn)定性好等特點。并聯(lián)機床與傳統(tǒng)數(shù)控機床的本質(zhì)區(qū)別在于其刀具在工作空間的運動是關(guān)節(jié)空間伺服運動的非線性映射(虛實映射)。一個典型的數(shù)控系統(tǒng)中包含了插補器和伺服控制器，而并聯(lián)機床的插補器是以運動學(xué)逆解作為軌跡計算的基礎(chǔ)。 圖1所示為一種新型并聯(lián)機床主進(jìn)給機構(gòu)的結(jié)構(gòu)布局簡圖。該并聯(lián)機床的主體為一四自由度空間并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)由固定平臺(A1，A2，A3)和動平臺(B1，B2，B3)組成。固定平臺與動平臺之間通過

2、四條驅(qū)動腿聯(lián)接。其中，周圍的三條驅(qū)動腿(長度分別為l1、l2、l3)與固定平臺之間通過虎克鉸聯(lián)接，與動平臺之間通過球鉸聯(lián)接；中間的驅(qū)動腿(長度為l4)一端與固定平臺中心O剛性固聯(lián)，另一端通過球鉸與動平臺聯(lián)接。 2 并聯(lián)機床運動學(xué)逆解數(shù)學(xué)模型建立圖1所示坐標(biāo)系。基礎(chǔ)坐標(biāo)系o-xyz的原點位于固定平臺中心，z 軸垂直于固定平臺。動平臺的姿態(tài)可由以下三個連續(xù)旋轉(zhuǎn)得到:繞基礎(chǔ)坐標(biāo)系的z 軸旋轉(zhuǎn) 角，繞變換后的x軸旋轉(zhuǎn)角，再繞變換后的z軸旋轉(zhuǎn)角。其位置逆解表達(dá)式為 式中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，可表示為 速度逆解表達(dá)式為 式中，G為速度傳遞矩陣，它反映了控制空間向工作空間速度傳遞的廣義傳動比。 3 并聯(lián)機床插補算

3、法分析3.1 插補方案并聯(lián)機床的CNC系統(tǒng)軟件一般采用粗插補與精插補分開進(jìn)行的方式(見圖2)，即首先在工作空間中對直線、圓弧軌跡段以及由標(biāo)準(zhǔn)CAD/CAM刀位文件描述的刀位軌跡進(jìn)行粗插補，得到刀具軌跡上離散的控制點，運用式(1)、(2)對離散點序進(jìn)行虛實變換，計算出關(guān)節(jié)空間各伺服驅(qū)動腿的位置和速度，將其送入PMAC(多軸運動控制器)，然后由PMAC提供的PVT(位置、速度和時間)插補模式對伺服軸上的離散點進(jìn)行精插補。 3.2 粗插補算法現(xiàn)以三次NURBS曲線為例對粗插補算法進(jìn)行分析。由于NURBS曲線軌跡的計算較復(fù)雜，為提高NURBS曲線插補的實時性，在插補前需進(jìn)行必要的預(yù)處理，以減少實時插補

4、的計算量。將NURBS曲線用分段矩陣形式表示并化簡，則第i段曲線的化簡結(jié)果可表示為 (3)式中，系數(shù)a、b、c、d、a1、b1、c1、d1由控制頂點和權(quán)因子決定。 根據(jù)CNC系統(tǒng)采樣插補工作原理，實時插補的任務(wù)是根據(jù)給定的進(jìn)給速度產(chǎn)生插補直線段用于逼近實際曲線。為使加工面上的切削速度保持恒定，采用直接對加工曲面進(jìn)行插補的策略，并假定在一個插補周期內(nèi)切削路徑上的進(jìn)給步長為VT(V為進(jìn)給速度，T為插補周期)。對插補過程討論如下:假設(shè)在當(dāng)前插補點pi(uj)處有一微小參數(shù)增量u，對應(yīng)于該參數(shù)增量的弦長為L，則弦長為VT時的參數(shù)增量可表示為 (4)由于u為微量，因此有L/u|pi(u)|/u=|pi(

5、u)|(pi(u)的表達(dá)式為一段已知的三次NURBS曲線)，為減少插補過程的計算量，|pi(u)|的表達(dá)式可在插補之前求得，這樣在插補過程中就省去了對曲線的求導(dǎo)過程。令Ri(u)=1/|pi(u)|，則對第i段曲線進(jìn)行插補的參數(shù)表達(dá)式為 圖3所示為對一凸曲線進(jìn)行插補的幾何模型，圖3a中pi(uj+1)為期望插補點，pi(uuj+1)為實際插補點，直線pi(uj)q為點pi(uj)處的切線，當(dāng)切線pi(uj)q與弦pi(uj)pi(uj+1)平行時，實際插補進(jìn)給步長|pi(uj)pi(uj+1)|與期望插補進(jìn)給步長|pi(uj)pi(uj+1)|相等。由于pi(uj+1)為待求的期望插補點，弦p

6、i ( uj)pi(uj+1)的方向未知，因此用曲線段pi(uj)pi(uj+1)的中間點pi(uj+uj+1)/2處的切線近似取代與弦pi(uj)pi(uj+1)平行的切線(見圖3b)，這樣式(5)可用更精確的表達(dá)式表示為 (6)式中，uj+1為待求插補點處的參數(shù)值，它是一未知量。由于每一插補段均為微小段，連續(xù)兩段插補段之間的參數(shù)增量變化不大，因此可將式(6)表示為 (7)式(7)即為插補運算的最終表達(dá)式。 3.3 精插補算法PMAC(多軸運動控制器)提供了多種精插補模式。PVT插補模式(又稱為位置、速度和時間運動模式)可為用戶提供更為直接的控制軌跡形狀。在PVT模式下，軌跡段插補周期T為一

7、設(shè)定的常數(shù)，加速度與時間成線性關(guān)系，因此位置是時間的三次曲線函數(shù)。在給定PVT段的位置、速度和加速度隨時間的變化關(guān)系可表示為 a(t)=a0+t(8)4 并聯(lián)機床插補誤差分析并聯(lián)機床的插補誤差可分為在工作空間的粗插補誤差和在控制空間(關(guān)節(jié)空間)的精插補誤差。并聯(lián)機床的粗插補誤差主要與插補周期、速度對插補精度的影響有關(guān)。由于按上述算法得到的所有插補點均在曲線上，無徑向誤差，因此誤差主要來源于進(jìn)給步長逼近實際曲線所引起的弓高誤差和實際切削進(jìn)給步長與期望切削進(jìn)給步長之間的誤差。插補的弓高誤差h與步長L以及曲率半徑之間的近似關(guān)系式為 (9)由于曲率半徑計算相當(dāng)復(fù)雜(尤其對于NURBS曲線)，因此可選取

8、曲線段的中點和弦的中點之間的距離近似表示弓高誤差，即 (10)實際進(jìn)給步長與期望進(jìn)給步長之間的長度誤差為 的大小將影響切削進(jìn)給速度的平穩(wěn)性，從而影響加工表面質(zhì)量。 并聯(lián)機床的精插補誤差主要與虛實映射的非線性特性及PVT插補有關(guān)。由前述插補方法可知，并聯(lián)機床首先在工作空間進(jìn)行粗插補，通過虛實映射變換將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到關(guān)節(jié)空間，最后由PMAC進(jìn)行PVT精插補。這種插補方法雖能保證工作空間離散插補點的精確性，但由于PVT插補模式轉(zhuǎn)換到工作空間將產(chǎn)生復(fù)雜的軌跡曲線，因此在兩離散點之間將引起實際軌跡與理想軌跡之間的差異。設(shè)PVT模式精插補產(chǎn)生的誤差為C(L1，L2，L3，L4)，在工作空間形成的對應(yīng)誤差為q(

9、Z，)，由此可得 式中，M-1為由伺服軸PVT插補誤差轉(zhuǎn)換到刀具軌跡誤差的線性映射矩陣。5 插補實例設(shè)第i段插補曲線為pi(u)=3u/(u3+1)，2u2/(u33+1)，u3/(u3+1)(0u1)，假定插補期望進(jìn)給步長VT=0.04mm，周期T=0.01s，允許弓高誤差h0.001mm。運用式(7)方法在刀具作業(yè)空間對曲線進(jìn)行粗插補，并分析計算插補誤差。圖4所示為分別采用兩種插補方法(對刀位軌跡(球形刀具的球心軌跡)進(jìn)行插補和直接對加工曲面進(jìn)行插補)時切削進(jìn)給速度波動的對比情況(圖中實線1表示期望切削進(jìn)給速度曲線，點劃線2表示直接對加工曲面進(jìn)行插補時的切削進(jìn)給速度曲線，虛線3表示對刀具球心軌跡進(jìn)行插補時的切削進(jìn)給速度曲線)：圖5所示為分別采用兩種插補算法(本文提出的插補算法和參數(shù)均勻分割插補算法(u=0.05)時弓高誤差變化曲線的對比情況(圖中實線1表示本文提出的插補算法，虛線2表示參數(shù)均勻分割插補算法)。由圖可見，本文提出的插補算法可實現(xiàn)切削進(jìn)給速度的近似恒定，提高插補弓高誤差變化的平穩(wěn)性，從而可提高并聯(lián)機床的加工質(zhì)量。 6 結(jié)語本文提出一種基于粗、精插補策略的新型并聯(lián)機床插補算法。在粗插補中采用了直接對加工曲面進(jìn)行插補