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1、§6-3 利用微分關(guān)系作梁的內(nèi)力圖一、彎矩、剪力與荷載集度之間的微分關(guān)系如圖6-12所示,梁上作用一分布荷載,荷載集度為的連續(xù)函數(shù),并規(guī)定以向上為正。取A為坐標(biāo)原點,x軸向右為正。圖6-12無荷載的梁段,有。假想用截面和截取長為的微段作為分離體圖6-12b,其上荷載集度視為均布。設(shè)距離坐標(biāo)原點x處的截面的內(nèi)力為和 ,距坐標(biāo)原點的截面的內(nèi)力則為和。因為整梁平衡,因此微段也平衡。由得: (6-13)由此得到結(jié)論一:梁上任一橫截面上的剪力對的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在該截面處的分布荷載集度。此微分關(guān)系的幾何意義是,剪力圖上某點切線的斜率等于相應(yīng)截面處的分布荷載集度。對微段右側(cè)截面的形心取矩,由得:
2、略去二階微量,得: (6-14)由此得到結(jié)論二:梁上任一橫截面上的彎矩對的一階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的剪力。此微分關(guān)系的幾何意義是,彎矩圖上某點切線的斜率等于相應(yīng)截面處的剪力。對式(6-14)兩邊求導(dǎo),得: (6-15)由此得到結(jié)論三:梁上任一橫截面上的彎矩對的二階導(dǎo)數(shù)等于該截面處的分布荷載集度。此微分關(guān)系的幾何意義是:彎矩圖上某點的曲率等于相應(yīng)截面處的分布荷載集度。由分布荷載集度的正負(fù)可以判斷彎矩圖的凸凹方向。二、荷載、剪力圖和彎矩圖之間的關(guān)系利用荷載集度、剪力、彎矩之間的微分關(guān)系和幾何意義,可得到繪制梁的剪力圖和彎矩圖的規(guī)律,如表6-1所示。表6-1 荷載、剪力圖和彎矩圖之間的關(guān)系 內(nèi)力圖各種荷
3、載情況剪力圖彎矩圖1q = 0無分布荷載剪力圖為水平直線彎矩圖為斜直線2均布荷載向上3 均布荷載向下4C截面有突變C截面有轉(zhuǎn)折5C截面無變化C截面有突變6Q = 0截面M有極值三、簡易法繪制剪力圖和彎矩圖繪制剪力圖和彎矩圖的關(guān)鍵是確定圖線的類型和位置。利用荷載集度、剪力和彎矩之間間的函數(shù)關(guān)系來判斷每一區(qū)段剪力圖和彎矩圖的圖線類型(表6-1),然后用截面法確定控制截面的剪力值和彎矩值,從而簡便地繪出內(nèi)力圖。這種方法稱為簡易作圖法。例6-7 如圖6-13所示,簡支梁受力偶作用,試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。圖6-13解:(1)計算支座反力以整梁為研究對象,假設(shè)支座反力、方向向上,列平衡方程:由得:,由
4、得:,(2)分段根據(jù)梁上荷載情況,分 AB、BC兩段作內(nèi)力圖。(3)剪力圖,如圖6-13b所示(表6-2)表6-2 剪力圖區(qū)段荷載情況Q圖線類型控制截面值(kN)AB下斜直線BC水平直線(4)彎矩圖,如圖6-13c所示(表6-3)表6-3 彎矩圖區(qū)段荷載情況剪力QM圖線類型控制截面值(kN·m)AB正負(fù)下凸曲線,BCQ0下斜直線Q = 0M有極值例6-8 如圖6-14所示,簡支梁受力偶作用,試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。圖6-14解:(1)計算支座反力以整梁為研究對象,假設(shè)支座反力、方向向上,列平衡方程:由得:,由得:,(2)分段根據(jù)梁上荷載情況,分 AC、CD、DB、BE三段作內(nèi)力圖。(3)剪力圖,如圖6-14b所示(表6-4)表6-4 剪力圖區(qū)段荷載情況Q圖線類型控制截面值(kN)AC水平直線 CD水平直線DB水平直線BE下斜直線(4)彎矩圖,如圖6-14c所示(表6-5)表6-5
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