廣義積分的收斂判別法

1、-第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計算, 在實際應(yīng)用中，我們將發(fā)現(xiàn)大量的積分是不能直接計算的，有的積分雖然可以直接計算，但因為過程太復(fù)雜，也不為計算工作者采用，對這類問題計算工作者常采用數(shù)值計算方法或Monte-Carlo方法求其近似值 . 對廣義積分而言， 求其近似值有一個先決條件 積分收斂，否則其結(jié)果毫無意義。因此，判斷一個廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理 9.1 （Cauchy收斂原理） f(x) 在 a, + ）上的廣義積分 af (x)dx收斂的充分必要條件是：0 , 存在A>0,使得 b,b >A 時，恒有b/|f ( x)dx |b證明：對lim

2、f ( x)dx0使用柯西收斂原理立即得此結(jié)論bbb同樣對瑕積分a f ( x)dx ( b 為瑕點 ), 我們有定理 9.2（瑕積分的 Cauchy收斂原理）設(shè)函數(shù) f(x) 在 a,b)上有定義， 在其任何閉子區(qū)間 a, b 上常義可積， 則瑕積bf ( x)dx收斂的充要條件是 :0 ,0, 只要分 a0</，就有b/f ( x)dx |b定義 9.5如果廣義積分| f ( x) | dx 收斂，我們稱廣義積分aaf (x)dx 絕對收斂（也稱f(x) 在 a,+) 上絕對可積 ; 如af (x)dx收斂而非絕對收斂， 則稱f ( x)dx 條件收斂， 也稱af(x) 在 a,+)

3、上條件可積由于A, A/a ，均有A /A /|A f (x)dx |A | f ( x) | dx因此，由 Cauchy收斂原理，我們得到下列定理-定理9.3如果廣義積分f ( x)dx 絕對收斂，則廣義積分af (x)dx 必收斂a它的逆命題不一定成立，后面我們將會看到這樣的例子。對其它形式的廣義積分，類似地有絕對收斂及條件收斂的定義及性質(zhì)下面我們先介紹當(dāng)被積函數(shù)非負時，廣義積分收斂的一些判別法比較判別法：定理9.4 （無限區(qū)間上的廣義積分）設(shè)在a,+) 上恒有0f ( x)k (x), （ k 為正常數(shù)）則當(dāng) a( x)dx 收斂時 ,af ( x)dx也收斂 ;當(dāng)f (x)dx發(fā)散時

4、,( x)dx 也發(fā)散aa證明：由 Cauchy收斂原理馬上得結(jié)論成立對瑕積分有類似的結(jié)論判別法定理 9.5 設(shè) f(x), g (x) 均為 a,b) 上的非負函數(shù)， b 為兩個函數(shù)的奇點，如存在一個正常數(shù) k, 使0f (x)kg( x),xa, b),則b1）如ag( x)dx收斂，則baf (a)dx也收斂。2）如baf (x)dx發(fā)散，則bag( x)dx 也發(fā)散比較判別法在實際應(yīng)用時，我們常常用下列極限形式定理 9.6如 果 f(x),g (x) 是 a,+)上的非負函數(shù),且limf (x)l,則xg(x)(1)如果0l, 且g(x)dx收斂 , 則積分f ( x)dx 也收aa斂

5、(2)如果0l, 且g(x)dx發(fā)散，則積分f ( x)dx 也發(fā)aa散-證明：如果 limf ( x)l0,則對于0(l0) ,存在 A,xg( x)當(dāng) xA 時 ,0 lf ( x)lg( x)即 (l) g( x)f (x)(l) g(x) 成 立 .顯 然 af ( x)dx 與a g(x)dx同時收斂或同時發(fā)散，在l=0 或 l= 時，可類似地討論 .使用同樣的方法，我們有定理 9.7對 以 b為唯一瑕點 的兩個瑕積分bf ( x)dx 與a g( x)dx 如果 f(x) ,g ( x) 是非負函數(shù)，且limal , 則f (x)bx bg( x)（1）當(dāng)0l,且bbg( x) d

6、x收斂時，則f (x)dx也收斂aa（2）當(dāng)0l，且bbg( x)dx 發(fā)散時，則f ( x)dx也發(fā)散aa對無限區(qū)間上的廣義積分中，取1dx 作比較標準，則得ax p到下列 Cauchy判別法： 設(shè) f(x) 是 a,+) 的函數(shù)， 在其任意閉區(qū)間上可積 ,那么 :定理 9.8若 0 f(x)cp ， p>1, 那么積分af (x)dx收斂，cpx如 f(x)，p1,則積分 af ( x)dx發(fā)散x其極限形式為定理 9.9如 limx p f ( x)l ( 0l,p>1),則 積 分xaa f (x) dx收斂如 lim x p f ( x)l , 而 0 l, p 1, 則b

7、f (x)dx 發(fā)散 .例 9.8判斷下列廣義積分的收斂性。(1)ln(11)1dx1x1x-(2)xm(m>0,n>0)1 1 xn dx解：（ 1）因為 0ln(11)11xx1111x1xx(1x)x2由1dx 收斂推出1ln(11)1dx 收斂1x2x1 x（ 2）因為 limxn mxm1,所以當(dāng)n m>1 時，積分1xnxxmxm1 1xn dx 收斂 . 當(dāng) nm1時，積分1 1 xn dx 發(fā)散對于瑕積分，使用b1p dx 作為比較標準， 我們有下列柯a (xa)西判別法定理 9.10 設(shè) x=a 是 f(x) 在 a,b ) 上的唯一奇點，在其任意閉區(qū)間上可

8、積 ,那么（1）如 0f (x)c(c>0),p<1,bf ( x)dx 收(xa)p則 a斂（2）如 f (x)c(c>0), p 1,bf ( x)dx發(fā)散(xa)p則 a定理瑕積分的 Cauchy判斷法的極限形式為9.11設(shè) lim (x a) pf( )kxax如 0k<,p<1,則bf ( x)dx收斂a如 0<k, p1,bf (x)dx發(fā)散那么 a例 9.9判別下列瑕積分的斂散性。(1)1dx(k 2<1)0(1x2 )(1k 2 x2 )(2)2dx(p,q>0)sin p x cosq0x解：（ 1）1 是被積函數(shù)的唯一瑕點-1

9、dx1因為lim (1 x) 2222=2x 1(1 x )(1kx )2(1 k )由 p 1 知瑕積分收斂2（ 2）0 與 都是被積函數(shù)的瑕點2先討論 0 sin pdx由x 0xp11x cosq x,sin px cosq x4lim知:當(dāng) p<1 時 , 瑕積分4dx收斂 ; 當(dāng) p 1 時 ,瑕積sinpq0x cos x分 4dx發(fā)散sin p x cosq0x再討論2dx4 sin p x cosq x因 lim (x) p11x22sin p x cosqx所以當(dāng) q<1 時 ,瑕積分2dx收斂，4 sin p x cosqx當(dāng) q1 時，瑕積分2dx發(fā)散4 si

10、n p x cosq x2dx綜上所述，當(dāng) p<1且 q<1時 ,瑕積分sin p x cosq x 收斂 ; 其0他情況發(fā)散例 9.10求證 : 若瑕積分1f (x)dx收斂，且當(dāng) x0 時函數(shù) f(x)0單調(diào)趨向于 +，則 lim x f(x)=0.x0證明：不妨設(shè)x(0,1,f(x) 0,且 f(x) 在 (0, 1)上單調(diào)減少。已知1f ( x)dx收斂，由柯西收斂準則，有00,0 (<1),0x有xx f (t )dt,2從而-0< xf ( x)xx f (t )dt22或0< x f(x)2即 lim x f(x)=0.x 0例 9.1111>

11、0), 當(dāng)< 1時收斂求證瑕積分dx (0 x(1cosx)3當(dāng)1時發(fā)散 .3證明 : limx3= limx3x 0 x(1 cos x)x 0x31 cos xx2= lim12x 01cosxx2所以當(dāng) 3<1 時，即< 1 時，瑕積分收斂 當(dāng) 31，即133時，瑕積分發(fā)散前面討論的是非負函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對一般函數(shù)的反常積分的斂散性進行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果定理 9.12 （積分第二中值定理）設(shè)g (x) 在 a,b上可積， f(x)在a,b 上單調(diào)，則存在 a,b使bf (x)dxg(b)f ( x)dxf (x) g( x)dx= g(a)aa

12、a為了證明定理 9.12 ，我們先討論下列特殊情況引理 9.1 設(shè) f(x) 在 a,b 上單調(diào)下降并且非負，函數(shù)g (x) 在a,b 上可積，則存在c a,b ，使bf ( x) g(x)dx=f(a)cg( x)dxaa證明：作輔助函數(shù)xg tdt對的任一分法(x) = f(a)a,b( ),aP:a=x 0<x 1<x2< <x n=b-我們有bnixa f ( x) g( x)dx=xi 1f ( x)g( x)dxi 1由此得到|bf ( x) g( x)dxnxig( x)dx |f (xi 1)ai1xi1nxi=|xi 1i 1 f (x)f ( xi

13、1) g( x)dx |nxi| f ( x)f (xi 1) | g( x) | dxxi 1i 1ni ( f ) xiLi 1這里 L 是 |g(x)|在 a,b 的上界 ,wi ( f ) 是 f (x) 在 xi 1 , xi上的振幅，從這個估計式可知,當(dāng) P0 時 ,應(yīng)當(dāng)有nxg( x)dxbf ( x) g(x) dxf ( xi 1 ) x iai 1i1我們來證明min(x)nf ( xi1 )xig( x)dxmax (x)xi 1x a ,b i1x a ,b 為此，引入記號G(x)=xg(t )dta并作如下變換nf ( x)xig(x)dxi 1i 1xi 1n=f

14、( xi 1 ) G( xi )G( xi 1 )i1nn= f ( xi 1 )G( xi )f ( xi 1 )G( xi 1 )i1i1nn 1=f ( xi 1 )G( xi )f ( xi )G( xi )i1i0nn 1（ G( x0 ) G(a)=f ( xi 1 )G( xi )f ( xi )G( xi )0）i1i1-n= f ( xi 1)f (xi )G(xi ) f ( x )G( x )i 1nn因為f ( xi 1 ) f ( xi ) 0 ,f (xn )0 ,所以nxf ( xi 1) xii1g( x)dxi 1nf (xi )G(xi ) f ( xn )

15、G(xn )= f ( xi 1)i1nf ( xn ) min G( x) f ( xi 1 )f ( xi )i 1x a ,b= f (a) min G( x)x a, b同樣可證nxif ( xi 1 )g( x)dxf (a) max G( x)i 1xi1x a,b我們證明了不等式f (a) min G(x)nxig(x)dxf (a) max G( x)f ( xi 1 )x a,b i 1xi1x a,b即nxi g(x)dxmin ( x)f ( xi 1 )max ( x)x a ,b i 1xi 1x a ,b 現(xiàn)令 |p|0 , 取極限，就得到min ( x)b( x)

16、f ( x) g(x)dx maxx a,bax a ,b 因此，存在 ca,b ，使得(c) =bf (x) g(x)dx（因為(x) 在 a, b 上是連續(xù)a函數(shù)）bcg( x)dx證畢也就是f ( x) g( x)dx= f (a)aa下面我們證明定理9.12證明：如 f(x)是單調(diào)下降的，則f(x) f(b) 單調(diào)下降且非負，由引理 12.2.1知，存在 c a,b ) ,使bf (b)c f ( x) f (b) g(x) dx= f ( x)g(x)dxaa-即bcbg(x)dx,f ( x)g( x)dx= f (a) g(x)dxf (b)aac對 f(x) 單調(diào)上升的情形，可

17、作類似討論 .使用積分第二中值定理，我們得到下列一般函數(shù)的廣義積分斂散性的判別法定理 9.13若下列兩個條件之一滿足，則f (x) g( x)dx 收斂a（1）（Abel判別法）f ( x)dx收斂， g(x)在a, 上單調(diào)有a界;A（2）（ Dirichlet判別法）設(shè) F(A)=af (x)dx 在 a, 上有界，g(x) 在a, ) 上單調(diào) ,且 limg(x)=0.x證明：（1）0, 設(shè) |g(x)|M ， x a,), 因f ( x)dxa收斂，由 Cauchy收斂原理，A0a , 使A, A1A0時, 有|A1f ( x)dx |2MA由積分第二中值定理，我們得到|A1f ( x)

18、 g( x)dx | g( A) | |f (x)dx | g( A1 ) | | A1 f ( x)dx |AAM | f ( x)dx | M |A1f ( x)dx |A+=22再由 Cauchy收斂原理知f (x) g(x)dx收斂a(2) 設(shè) M 為 F(A) 在a,+) 上的一個上界， 則A, A1 a, 顯然有|A1 f ( x)dx |2MA同時 ,因為 lim g(x)=0 ，所以存在 A0a, 當(dāng) x>A 0 時 ,x有g(shù)(x)|<4M于是，對 A, A1A0 有-Af (x)dx | | g( A1 ) | |A1f ( x)dx |1 f (x)dx | |

19、 g( A) | |AA2M | g( A) |2M | g( A1 ) |+=22由 Cauchy收斂原理知f ( x) g( x)dx收斂a例 9.12 討論廣義積分1cosx dx 的斂散性，x解：令 f(x)= 1 ,g(x)=cosxx則當(dāng) xAF(A)=1時， f(x) 單調(diào)下降且趨于零，cos xdx= sin Asin1在 a,) 上有界由 Dirichlet判別法知1cos x dx 收斂，x另一方面| cos x |cos2 x1 cos2xxx2x因1dx發(fā)散，cos2x dx收斂12x12xcos2x dx 發(fā)散從而非負函數(shù)的廣義積分12x由比較判別法知| cos x

20、| dx 發(fā)散，1x所以1cos x dx條件收斂xcos x arctan xdx的斂散性例 9.13討論廣義積分1xcos x dx收斂 , 而 arctanx解：由上一題知，廣義積分1x在 a,+) 上 單 調(diào) 有 界 ， 所 以 由 Abel判別法知cosx arctan xdx收斂。1x當(dāng) x 3,)時, 有另一方面 ,| cos x arctan x | cosx |xx-前面已證| cos x | dx 發(fā)散1 x由比較判別法知1| cosx arctan x | dx發(fā)散, 所以xc oxsa r c xt a n1dx條件收斂 .x對瑕積分也有下列形式的Abel 判別法和 D

21、irichlet 判別法定理9.14 若下列兩個條件之一滿足，則bf ( x) g(x)dx收斂：a（b為唯一瑕點）b（1）（Abel判別法）a界f ( x)dx收斂 ,g(x) 在 a, b ) 上單調(diào)有bf ( x)dx在 a, b ) 上有界 ,(2) (Dirichlet 判別法 ) F () = ag(x) 在 ( 0,b a上單調(diào) , 且 limg(x)0 .x b證明 : (1)只須用第二中值定理估計b/f ( x) g( x)dxb讀者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成 (1) 的證明 .(2)讀者可以仿照定理11.2.8(2)的作法完成 (2) 的證明 .1sin例

22、9.14 討論積分1px dx(0<p2)的斂散性0x解: 對于 0<p<1 ,因為1sin1xx px p由 1 1p dx收斂知0 x1sin1x dx0 x p絕對收斂斂-對于 0 p<2, 因為函數(shù) f(x) = x2 p , 當(dāng) x 0 時單調(diào)趨于 0, 而函數(shù)sin 1g(x)=x2x滿足1sin 11x dx| cos1 cos | 2x p所以積分sin 11sin 11x dx2x dx 收斂 .0xp0 x2 px但在這種情況下,10 x p x dx 是發(fā)散的 ,1事實上sin 1sin 2 11cos 2由xxxx px p2x p2x p11c

23、os2sin 111x px dx 發(fā)散因 0 2xpdx 發(fā)散 ,0 2x px dx 收斂 , 知0從而當(dāng) 0 p<2時 , 積分條件收斂 . 最后我們討論p=2 的情形 ,因為1sin 1cos1 cos1x dxx2n-sin 1當(dāng)0 時,上式無極限 , 所以積分 1x dx發(fā)散 .0 x2值得注意的是, 兩種廣義積分之間存在著密切的聯(lián)系,設(shè)b為 f(x) 的瑕點 , 作變換1, 則有f ( x)dx 中 x=ay=ax a1)f (abf ( x)dx =y dy, 而后者是無限區(qū)間上的廣義積分 .a1y2b a習(xí)題9.21、論下列積分的斂散性（包括絕對收斂， 條件收斂，發(fā)散）(1)ln ln x2sin xdx；ln x(2)0sin