最優(yōu)控制理論讀書報告

1、最優(yōu)控制理論讀書報告第一章 最優(yōu)控制問題與極大值原理最優(yōu)控制問題具有廣泛性、多樣性及重要性，它可以應用到不同的領域中，例如升降機的最快升降問題、防天攔截問題、雷達跟蹤問題及生產(chǎn)庫存控制問題等等。通過對這些問題的研究，我們可以看出它們都具有如下共同的特點：(1) 都有一個被控對象。它通常是由常微分方程組描述的動態(tài)模型來表征的，即 (1.1)其中是狀態(tài)量，是控制量，是時間變量，是描述被控對象動態(tài)特征的矢值函數(shù)，分別是初始和終端時刻，通常為定值，而可為定值，也可待求。通常假設：對有限時間區(qū)間給定的任一分段連續(xù)矢值函數(shù)，(1.1)都存在唯一解。(2) 都要求把被控系統(tǒng)的初態(tài)通過控制作用，在某個終端時刻

2、引導到某個終端狀態(tài)。通常要求終端狀態(tài)屬于中某個點集，稱為目標集，且 (1.2)(3) 都有一個容許控制集合。容許控制集合為是定義在上的分段連續(xù)函數(shù)，且把(1.1)的初態(tài)在終端時刻引導到目標集上 (1.3)(4) 都有一個表征系統(tǒng)品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標。由于它是一個依賴控制函數(shù)的“函數(shù)”，又稱為性能指標泛函或代價泛函。記為，它是一個依賴于控制的有限實數(shù)，即一般說的表達式中既應包含依賴于終端時刻和終端狀態(tài)的末值型項，又應包含依賴于整個控制過程的積分型項，即 (1.4)其中，即皆為標量函數(shù)。是(1.1)和對應于控制的解，又稱為軌線。歸納起來最優(yōu)控制問題可敘述為：尋求一個容許控制，使得系統(tǒng)(1.1)在該控

3、制作用下從初態(tài)出發(fā)，在某個大于的終端時刻達到目標集上，且使性能指標達到極小（若要求性能指標達到極大時，只要討論的極小便可）。如果最優(yōu)控制有解即使(1.4)達到極小的控制函數(shù)存在，記為。稱為最優(yōu)控制，與相對應的系統(tǒng)(1.1)的解稱為最優(yōu)軌線，相應的性能指標稱為最優(yōu)性能指標，稱為最優(yōu)控制問題(1.1)(1.4)的最優(yōu)解。從最優(yōu)控制問題的敘述可知。 在最優(yōu)控制問題中，根據(jù)涉及的函數(shù)的不同，有幾種不同的稱謂。例如時為快速控制問題；當都不顯含時為定常系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，否則為時變系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題；當目標集僅含一個固定點時為固定端點問題；當時為自由端點問題；當固定時為固定終端時刻問題，否則為終端時刻自由

4、問題；當時為末值指標；當時為積分型指標；當時為混合型指標。雖然最優(yōu)控制問題的指標有混合型、末值型和積分型三種，但在某些條件下，三種指標是可以相互轉(zhuǎn)換的，這種相互轉(zhuǎn)換在理論研究上是很有意義的，例如在最優(yōu)控制問題的幾何解釋時就會用到這種轉(zhuǎn)換。以下我們分別介紹不同條件下的最優(yōu)控制問題。一 控制量不受約束的最優(yōu)控制問題控制量不受約束的最優(yōu)控制問題是指在前面最優(yōu)控制問題的敘述中，控制量的取值范圍不受約，即或為中的開集。設最優(yōu)控制問題敘述中所涉及的函數(shù)關于變元都是二次連續(xù)可微的。1 終端時刻固定，終端狀態(tài)自由終端時刻固定是指是已知的，終端狀態(tài)自由是指不受任何約束，即。然后利用來討論最優(yōu)控制所應滿足的必要條

5、件，即如果最優(yōu)解存在，所應滿足的條件。通過引入拉格朗日乘子矢值函數(shù)，將求的條件極小問題化為求的無條件極小值問題。其中為待定的矢值函數(shù)。利用分部積分，并且取哈密頓函數(shù)。通過對的變分計算，我們得到最優(yōu)控制問題中所應滿足的必要條件：(1) ，。(2) 在的一切連續(xù)時刻上皆有，故哈密頓函數(shù)作為的函數(shù)在處取得極大。當不顯含時，有常量。2 終端時刻固定，終端狀態(tài)受約束設，即。此時的最優(yōu)控制問題是在約束(1.1)和(1.2)條件下求(1.4)的極小問題。如前，通過引進拉格朗日乘子矢值函數(shù)和拉格朗日乘子，將求的條件極小問題化為求的無條件極小值問題。同樣取哈密頓函數(shù)。重復以上過程可得到最優(yōu)控制問題中所應滿足的必

6、要條件：(1) ，。(2) ，。(3) 在的一切連續(xù)時刻上皆有， 。3 終端時刻自由與控制量不受約束的極大值原理3.1終端狀態(tài)自由用類似于1中的方法，可得到該條件下最優(yōu)控制問題中所應滿足的必要條件：(1) ，(2) ，。(3) 在的一切連續(xù)時刻上皆有， 。(4) 故哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線有當不顯依賴于時間時，有。3.2終端狀態(tài)受約束用類似于2中的方法，可得到該條件下最優(yōu)控制問題中所應滿足的必要條件；除了將中的橫截條件改為和其余均與3.1中的相同。將以上結果綜合到一起，可得到如下控制量不受約束的極大值原理：定理1 給定時變最優(yōu)控制問題(1.1)(1.4)。設關于變元都是二次連續(xù)可微的，且。記哈密頓

7、函數(shù)為。若為最優(yōu)解，則一定存在矢值函數(shù)和矢值常量，使得一起滿足：(1) ，(2) ，(3) 在的一切連續(xù)時刻上皆有， 。(4) 若自由時，有。當不顯依賴于時間時，有常量，若固定時這個常數(shù)可能不為零，但當自由時，這個常數(shù)一定為零。二 控制量受約束的最優(yōu)控制問題龐德里亞金極大值原理控制變量受約束是指是有界閉集。由于最優(yōu)控制的改變量特別是其取值不能是任意的，因此不可能按以上所討論方法來獲得最優(yōu)控制所應滿足的必要條件。雖如此，但其處理問題的思路和某些技巧，仍然可以被用來獲得控制量受約束條件下最優(yōu)控制應滿足的必要條件。由于時變最優(yōu)控制問題都可以通過引入新的狀態(tài)變量將其化為定常最優(yōu)控制問題，故我們只給出了

8、定常最優(yōu)控制問題的極大值原理。定常最優(yōu)控制問題可敘述如下：狀態(tài)方程為 (1.5)其中是狀態(tài)，是控制，。 目標集為 自由 (1.6)容許控制集合的分量為分段連續(xù)函數(shù)，且為有界閉集。 (1.7)記與對應的軌線，它滿足性能指標為 (1.8)關于定常最優(yōu)控制問題(1.5)(1.8)作如下假設：設（1）關于變元是連續(xù)的，而關于是連續(xù)可微的。（2）都是有界的。我們分別就終端時刻固定與自由兩種情況進行了討論，從而得到定常最優(yōu)控制問題的極大值原理(龐德里亞金極大值原理)。1定常最優(yōu)控制問題的極大值原理(龐德里亞金極大值原理)給定定常最優(yōu)控制問題(1.5)(1.8)和目標集。設為有界閉集且(1) 關于其變元是連

9、續(xù)的，關于是連續(xù)可微的。(2) 都是有界的。記哈密頓函數(shù)為若是最優(yōu)解，則必存在維矢值函數(shù)和維常矢值，使得和一起滿足：(1) (2) (3) 對在上的一切連續(xù)時刻上有(4) 作為的函數(shù)沿著最優(yōu)控制恒為常數(shù)，即 常量, 當終端時刻固定時，這個常數(shù)可能不為零；但當自由時，這個常數(shù)必為零。由于時變最優(yōu)控制問題都可以通過引入新的狀態(tài)變量將其化為定常最優(yōu)控制問題，故我們可直接給出時變最優(yōu)控制問題的極大值原理。2時變最優(yōu)控制問題的極大值原理(龐德里亞金極大值原理)給定時變最優(yōu)控制問題：。設：(1) 關于其變元是連續(xù)的，關于變元是連續(xù)可微的。(2) 都是有界的。記哈密頓函數(shù)為如果為有界閉集且是最優(yōu)解，則一定存

10、在矢值函數(shù)和常值矢量，使得一起滿足：(1) (2) (3) 對在上的一切連續(xù)時刻上有(4) 哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)解具有性質(zhì)當終端時刻自由時有當終端時刻固定時無明確解析表達式。三 與極大值原理應用有關的幾個問題通常稱滿足極大值原理的控制和軌線為極值控制和極值軌線。極值控制和極值軌線稱為極值解。如果已知最優(yōu)控制存在且唯一，而極值控制又只有一個，則這個極值解就是最優(yōu)解。但是極大值原理只是最優(yōu)控制應滿足的必要條件，因此極值控制不一定是最優(yōu)控制。所以需要討論最優(yōu)控制的充分條件。1最優(yōu)控制的充分條件定理2 給定最優(yōu)控制問題 狀態(tài)方程 (1.9)容許控制集合的分量為的分段連續(xù)函數(shù)，為有界閉集 (1.10）性能指

11、標 (1.11)其中和分別是已知的連續(xù)陣值和矢值函數(shù)；是常矢量，和關于變元是連續(xù)的，關于是連續(xù)可微的；是固定的。記設，相應軌線為，且滿足而滿足如果一起滿足即滿足極大值原理的所有條件，則必是最優(yōu)控制。對給定的最優(yōu)控制問題，能利用極大值原理求解其最優(yōu)控制的先決條件是其最優(yōu)控制的存在性，但并不是所有的最優(yōu)控制問題都存在最優(yōu)控制。實際上在所有的最優(yōu)控制問題中，最優(yōu)控制不存在的情況可分為兩類：(1) 給定狀態(tài)方程、目標集和控制約束后，通過分析可得其容許控制集合。由于容許控制不存在，當然就不會存在最優(yōu)控制了。它反映了關于最優(yōu)控制問題的提法是不合理的。(2) 雖然控制問題的提法是合理的，即容許控制集合，但最

12、優(yōu)控制確實不存在。2極小值原理最優(yōu)控制所應滿足的必要條件，除了極大值原理原理外，還有極小值原理。實際上，只要注意到兩種敘述中哈密頓函數(shù)和共軛方程的終端條件的區(qū)別，可知這兩種敘述是等價的?，F(xiàn)在我們以時變最優(yōu)控制問題的極大值原理為例來敘述其相對應的極小值原理。定理3 最優(yōu)控制所應滿足的必要條件極小值原理給定時變最優(yōu)控制問題：。設：(1) 關于其變元是連續(xù)的，而關于變元是連續(xù)可微的。(2) 都是有界的。記哈密頓函數(shù)為如果為有界閉集，且為最優(yōu)解，則一定存在矢量函數(shù)和常矢量，使得一起滿足：(1) 對在上的一切連續(xù)時刻均有(2) 哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)解具有性質(zhì)當終端時刻自由時，有當終端時刻固定時，無明確表達式

13、。3 奇異控制由極大值原理可知，若最優(yōu)控制存在，則哈密頓函數(shù)作為控制的函數(shù)在最優(yōu)控制處取得極大值，但是如果存在一個容許控制和其相應的軌線及共軛變量一起使得哈密頓變量作為控制的函數(shù)取極值時提供不出最優(yōu)控制的任何信息，則這個容許控制稱為奇異控制，顯然奇異控制可能是最優(yōu)控制也可能不是最優(yōu)控制。因此尋求奇異控制是最優(yōu)控制的必要條件是很有必要的。四 動態(tài)規(guī)劃方法與極大值原理 所謂最優(yōu)性原理，就是一個最優(yōu)過程的任何最后一段過程都是最優(yōu)的。顯然最優(yōu)性原理是最優(yōu)過程應滿足的一個必要條件。通過分析可知，如果且為最優(yōu)解，為最優(yōu)終端時刻，且關于變元是連續(xù)可微的，那么貝爾曼方程也是最優(yōu)控制應滿足的一個必要條件。其實如

14、果貝爾曼方程式存在關于變元二次連續(xù)可微的解，那么就可以得出極大值原理的全部內(nèi)容。雖然從理論上講通過求解帶終端條件的貝爾曼方程可獲得最優(yōu)綜合函數(shù)，然而求解一個非線性偏微分方程的解，特別是解析解是非常困難的，也就是說只有當最優(yōu)控制問題比較簡單時，我們才能求得其最優(yōu)綜合函數(shù)?？傊?，第一章我們對不同條件下的最優(yōu)控制問題進行了相應的討論，綜合討論結果我們得到了不同的極大值原理，但是這些極大值原理都是最優(yōu)控制的必要條件，而非充分條件。然而若使得極大值原理是最優(yōu)控制的充要條件的最優(yōu)控制問題一定具有某些特殊的性質(zhì)，包括其狀態(tài)方程、性能指標和目標集的特殊性。接下來我們研究了一類特殊的最優(yōu)控制問題的充分條件。其實

15、利用極大值原理或者最優(yōu)控制的另外一個必要條件貝爾曼方程求解最優(yōu)控制問題都是一個非常復雜的過程，而我們知道并不是任何最優(yōu)控制問題都存在最優(yōu)控制，故如果能判斷出其最優(yōu)控制不存在也是很有意義的事情。本章所討論的最優(yōu)控制，無論是狀態(tài)方程、控制取值約束還是性能指標、目標集的描述都是非常一般的。但是對給定的一個具體最優(yōu)控制問題，如何應用極大值原理具體求解出其最優(yōu)控制將是我們接下來兩章所要討論的問題。所謂利用極大值原理求解最優(yōu)控制，原則上講就是利用最優(yōu)控制所應滿足的必要條件，從容許控制集合中把最優(yōu)控制“挑出”來，這就涉及到最優(yōu)控制是否存在，若存在是否唯一以及是否有顯式表達式等問題。由此可知，為了具體確定出最

16、優(yōu)控制問題的最優(yōu)控制，必須對具體的最優(yōu)控制問題的“極值控制”和最優(yōu)控制的一些特殊性質(zhì)進行深入的了解。第二章 快速控制問題所謂快速控制問題，是指最優(yōu)控制問題的性能指標取為狀態(tài)方程從初始狀態(tài)開始運動第一次到達目標集所用的時間，即其性能指標為。為了引進快速控制問題中的一些基本概念，我們首先討論一類仿射非線性狀態(tài)方程的快速控制問題。一 一類仿射非線性系統(tǒng)的快速控制問題一類仿射非線性系統(tǒng)的快速控制問題可以敘述為：狀態(tài)方程 (2.1)其中 控制約束 (2.2)目標集 (2.3)性能指標 (2.4)假設：(1) 關于其變元都是連續(xù)可微的。(2) 都是有界的。對于快速控制問題(2.1)(2.4),我們可將其分

17、為兩類：一類為正則快速控制問題(每個都不存在零聚點)；另一類為奇異快速控制問題(存在零聚點)。記是快速控制，是相應軌線，是共軛變量；為最優(yōu)終端時刻，那么利用極大值原理可求得正則快速控制問題的快速控制。而奇異快速控制問題的快速控制亦可能存在且滿足極大值原理的諸項條件，只是不能從極大值原理的諸條件中將它確定出而已。故在利用極大值原理求解快去控制問題時，人們必須從理論上回答三個問題：快速控制是否存在，若存在是否唯一，快速控制問題是否是正則的。但是對一般的，上述三個問題沒有有效的回答。然而當狀態(tài)方程為線性時，特別是線性定常時，我們得到了為回答上述問題的重要結果。接下來我們將分別研究線性時變快速控制問題

18、、線性定常快速控制問題與奇異快速控制問題。二 線性時變快速控制問題 線性時變快速控制問題是指線性時變狀態(tài)方程的快速控制問題。狀態(tài)方程為 ， （2.5）其中且是的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)。容許控制集合為是的分段連續(xù)函數(shù)且 (2.6)目標集為 （2.7）性能指標為 （2.8）設且關于有直到階的連續(xù)導數(shù)。如果對空間中平行于坐標軸的單位矢量和皆有即最廣位置條件，則線性時變快速控制問題(2.5)(2.8)是正則的，其中那么由正則快速控制問題的結論可知，此時最優(yōu)控制為。三 線性定?？焖倏刂茊栴} 線性定?？焖倏刂茊栴}可敘述為：狀態(tài)方程 ， （2.9）其中是常矢量。容許控制集合是的分段連續(xù)函數(shù)且 (2.10)目標集

19、 （2.11）性能指標為 （2.12）記，則該線性快速控制問題是正則的的充要條件是。如果該線性快速控制問題是正則的，且其快速控制存在，那么快速控制必是唯一的，且快速控制為，其中有三種取值：使從1變成-1或由-1變成1的時刻稱為開關時刻。所有的開關次數(shù)之和稱為快速控制的開關次數(shù)。從工程實用考慮，由于快速控制的開關都是通過一個裝置來實現(xiàn)的，顯然裝置的造價和具體的開關次數(shù)的多少有關。因此每個開關分量的開關次數(shù)的上限在工程實現(xiàn)快速控制時是一個很重要的指標要求。在此我們有開關次數(shù)定理：線性定?？焖倏刂剖钦齽t的且快速控制存在及快速控制的第個分量的開關次數(shù)為，若的特征值皆為實的，則，其中為線性定?？刂葡到y(tǒng)(

20、2.9)的階數(shù)。對于線性定?？焖倏刂茊栴}(2.9)(2.12)，其快速控制的存在性有如下定理：1對于線性定?？焖倏刂茊栴}(2.9)(2.12)，如果存在一個容許控制在有限時間內(nèi)能把引導到坐標原點，則一定存在一個在最短時間內(nèi)把引導到坐標原點的容許控制函數(shù)，即快速控制存在。2設線性定常系統(tǒng)是完全能控的，即，且的所有特征值都具有負實部，則對任一，一定存在容許控制，在有限時間內(nèi)把引導到中的坐標原點。3設線性定常系統(tǒng)是完全能控的，即，的所有特征值都具有非正實部，且至少存在一個具有零實部的特征值，則對于任一，一定存在容許控制，在有限時間內(nèi)把引導到中的坐標原點。4設線性定常系統(tǒng)是正則的，的所有特征值皆具有非

21、正實部，且至少存在一個具有零實部的特征值，則對任一初態(tài)，皆存在著快速控制，且的分量皆為的分段常值函數(shù)。線性定?？焖倏刂茊栴}的最優(yōu)性能指標只依賴于初態(tài)，而與初始時刻無關，即 。如果能求得快速控制和最優(yōu)軌線以及初態(tài)函數(shù)的最優(yōu)性能指標，那么用哈密頓-雅可比-貝爾曼方程來判斷由極大值原理得到的結果是否正確時很有用的。四 快速控制問題的奇異性由第一節(jié)知道：(1)若快速控制問題(2.1)(2.4)是奇異的，必存在一個整數(shù)，使得開關函數(shù)在上有零聚點。(2) 快速控制問題(2.1)(2.4)的奇異性和其快速控制的存在性是兩個范疇內(nèi)的問題，它們是互相無關的。(3) 即使奇異快速控制問題(2.1)(2.4)存在快

22、速控制,它也不能通過極大值原理來求得，得另外尋求必要條件。然而關于奇異快速控制問題的性質(zhì)和其快速控制的存在性，目前只有一些離散的而不是系統(tǒng)的理論結果，這里我們僅對單輸入快速控制問題進行了討論。本章我們對一類特殊的最優(yōu)控制問題快速控制問題進行了討論，得到如果快速控制問題是正則的，就有快速控制為。接下來分別就時變快速控制問題和定?？焖倏刂茊栴}進行了研究，分別得到快速控制存在的一些定理。而奇異快速控制問題的快速控制亦可能存在且滿足極大值原理的諸項條件，只是不能從極大值原理的諸條件中將它確定出而已。故在利用極大值原理求解快速控制問題時，人們必須從理論上回答三個問題：快速控制是否存在，若存在是否唯一，快

23、速控制問題是否是正則的。目前就奇異快速控制問題，我們僅有一些離散的而沒有系統(tǒng)的理論，這里僅就單輸入快速控制問題為例進行了討論。第三章 線性二次最優(yōu)控制作為最優(yōu)控制問題的另一特殊情況線性二次最優(yōu)控制，它不但在工程實踐中經(jīng)常碰到，而且它也是處理一類非線性控制問題的一種方法。我們分別就線性系統(tǒng)二次最優(yōu)調(diào)節(jié)問題、具有指數(shù)衰減速度的最優(yōu)調(diào)節(jié)問題、線性系統(tǒng)的最優(yōu)輸出跟蹤問題及線性系統(tǒng)的受限奇異最優(yōu)調(diào)節(jié)問題進行了研究。現(xiàn)將線性時變二次指標的最優(yōu)控制問題敘述如下：狀態(tài)方程， （3.1）性能指標 （3.2）其中的元皆為的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)，且對任意的，。 控制約束，即控制取值不受約束，且是固定的。通過考查線性時

24、變最優(yōu)跟蹤問題，可以進一步了解了指標中的含義以及選取的標準。給定線性時變系統(tǒng) (3.3)其中是狀態(tài)，是控制，是輸出。的元都是的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)。一般有。所謂最優(yōu)跟蹤問題就是使系統(tǒng)(3.3)的輸出盡量跟上一個已知信號。為跟蹤誤差。直觀上講，選擇控制應使跟蹤誤差盡量小，為了避免所獲得的最優(yōu)控制取值“過大”，通常在性能指標中要引進對控制取值的約束。通常我們?nèi)⌒阅苤笜藶椋?(3.4)其中。一個跟蹤系統(tǒng)的二次性能指標，不但反映了跟蹤誤差“小”的要求，而且也反映了能量省的要求。一般我們要求和不同時為零。如果在(3.3)中取，且跟蹤信號，那么(3.3)和(3.4)就變?yōu)?3.1)和(3.2)。一 線性系統(tǒng)

25、二次最優(yōu)調(diào)節(jié)問題若固定，就稱上述特殊的最優(yōu)跟蹤問題稱為有限時間的(二次)最優(yōu)調(diào)節(jié)問題；若將終端時刻的限制去掉，就變?yōu)闊o窮時間的最優(yōu)調(diào)節(jié)問題。這一部分我們就將分別對不同情況的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題進行討論。1 時變系統(tǒng)有限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題所謂時變系統(tǒng)有限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題是指，狀態(tài)方程為(3.1)而性能指標為(3.2)且固定，控制取值不受約束即的最優(yōu)控制問題。對于該類最優(yōu)調(diào)節(jié)問題，我們利用極大值原理求解最優(yōu)調(diào)節(jié)器(即最優(yōu)綜合函數(shù))的結構形式，最后得到如下關于最優(yōu)綜合函數(shù)及最優(yōu)性能指標的定理。定理3.1 對于線性時變系統(tǒng)(3.1)(3.2)，其中的元皆為的連續(xù)或分段連續(xù)函數(shù)，且對任意的，。如果固定且，則最

26、優(yōu)綜合函數(shù)存在且唯一，可表達為，其中為如下黎卡提矩陣微分方程的唯一非負定解，而最優(yōu)性能指標為 。 在該定理中，我們并沒有要求狀態(tài)方程(3.1)完全能控，這是因為在線性時變有限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題中，只要狀態(tài)盡量接近零狀態(tài)而非，且其不能控狀態(tài)對性能指標的貢獻是有限值的原因。在下面將會看到，如果要求或，就必須對狀態(tài)方程(3.1)加上完全能控的假設。2 時變系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)器問題若將線性時變系統(tǒng)(3.1)(3.2)中的矩陣改為定常矩陣，可知此時狀態(tài)方程是定常的，而性能指標中的加權陣也與時間無關，只要是固定的有限值，其反饋增益陣仍是時變的，在此我們將對終端時刻的限制去掉，也就變?yōu)榱藷o窮時間的最優(yōu)調(diào)節(jié)問

27、題。對于這種問題，我們可將其視為其相應線性時變有限時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題的最優(yōu)調(diào)節(jié)器的一個極限過程。為了保證最優(yōu)調(diào)節(jié)器存在，我們假設線性時變系統(tǒng)在任意都是完全能控的。通過討論我們可得到關于線性時變系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題的定理。定理3.2 對于時變系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題，設任取線性時變系統(tǒng)都是能控的，則時變系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題的最優(yōu)解存在唯一，其最優(yōu)調(diào)節(jié)器為，其中為如下黎卡提微分方程的極限解。3 定常系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題由以上兩部分可以看到，對于時變系統(tǒng)有限時間和無窮時間的最優(yōu)調(diào)節(jié)問題，它們的反饋增益陣都是時變的，這就給工程實現(xiàn)造成了很大的麻煩。然而對于定常系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題，其反饋

28、增益陣是定常的，因此對研究定常系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題是很有必要的。在此我們有關于定常系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題的定理。定理3.3 對于定常系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題。設線性定常系統(tǒng)是完全能控的，即，若，則定常系統(tǒng)無窮時間的最優(yōu)調(diào)節(jié)器存在唯一，其表達式為，其中滿足如下黎卡提代數(shù)方程， 且以為初態(tài)的最優(yōu)性能指標為。由于對任意都有，故。對于定常系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題除了討論最優(yōu)控制，我們還討論了其最優(yōu)閉環(huán)的穩(wěn)定性，為了保證最優(yōu)閉環(huán)是漸近穩(wěn)定的，必須對權陣加上某些條件，假設有分解。我們有如下關于定常系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題的定理。定理3.4 對于定常系統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題。設是完全能控(即)，且對有

29、分解，完全能觀測(即)，則最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)，一定是漸近穩(wěn)定的，其中是黎卡提代數(shù)方程的唯一正定解。定理3.5 對于定常統(tǒng)無窮時間最優(yōu)調(diào)節(jié)問題。設能穩(wěn)定 (即)，且對有分解，能檢測(即)，則最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)，一定是漸近穩(wěn)定的，其中是黎卡提代數(shù)方程的唯一非負定解。4 黎卡提代數(shù)方程的求解方法綜上可知，在求解最優(yōu)調(diào)節(jié)器時，都用到了黎卡提方程的解，所以如何求黎卡提方程的解就顯得很重要了。在此我們給出一些求解黎卡提代數(shù)方程的解的方法。(1) 直接展開法，這適用于結構簡單且維數(shù)較小的系統(tǒng)。(2) 利用，即求黎卡提微分方程解的極限。(3) 將化為若爾當型，若，則。(4) 解線性代數(shù)方程組。(5) 迭代逼近算法我們可根

30、據(jù)黎卡提方程的形式的不同，采用不同的方法求解。雖然我們討論了最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，但是卻不能保證其狀態(tài)有事先指定的衰減速度，然而在實際工程中，我們總希望最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)具有事先給定的衰減速度，故研究具有指定衰減速度的最優(yōu)調(diào)節(jié)問題就顯得尤為重要，這就是我們接下來要介紹的問題。二 具有指定衰減速度的最優(yōu)調(diào)節(jié)問題所謂為線性定常系統(tǒng)設計具有指定衰減速度(即),指如下最優(yōu)控制問題。狀態(tài)方程 (3.5)性能指標 (3.6)其中。如果能控，對的任意分解完全能觀測，則存在唯一的具有指定衰減速度的最優(yōu)調(diào)節(jié)器，使得最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)，的解滿足。其中為如下黎卡提代數(shù)方程的唯一正定解。三 線性系統(tǒng)的最優(yōu)輸出跟蹤問題在前面我們已經(jīng)給出了線性系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤問題(3.3)(3.4)，我們?nèi)岳脴O大值原理來求解，得到如下結論。對于線性系統(tǒng) (3.7)和性能指標 (3.8)其中固定，是已知的