2018寒假半角模型

1、半角模型過等腰 ABC（AB=AC）頂角 A 引兩條射線且它們的夾角為A，這兩條射線與底角頂點的相關(guān)直線交于 M、N兩點，則 BM、MN、NC之間必然存在固定的關(guān)系，這種關(guān)系僅與兩條相關(guān)直線及頂角 A 相關(guān)解決辦法：以 A 為中心，把 CAN（順時針或逆時針）旋轉(zhuǎn)度，至 ABN，連接 MN結(jié)論： 1、 AMN AMN， MN=MN2、若 BM、MN、 NB共線，則存在 x+y+z 型的關(guān)系若不共線，則 BMN中， MBN必與 A 相關(guān)應(yīng)用環(huán)境：1、頂角為特殊角的等腰三角形，如頂角為 30°、 45°、 60°、75° 90°，或它們的補(bǔ)角為這些

2、特殊角度的時候；2、正方形、菱形等也能產(chǎn)生等腰三角形3、過底角頂點的兩條相關(guān)直線：底邊、底角兩條角平分線、腰上的高、底角的鄰補(bǔ)角的兩條角平分線，底角的鄰余角另外兩邊等；正方形或菱形的另外兩邊4、此等腰三角形的相關(guān)弦半角模型1且1800.條件：2思路：（ 1）、延長其中一個補(bǔ)角的線段（延長 CD到 E，使 ED=BM，連 AE或延長 CB到 F，使 FB=DN，連 AF）結(jié)論：MN=BM+DNC CMN2AB AM、AN分別平分 BMN和DNM（2）對稱（翻折）思路 : 分別將 ABM和 ADN以 AM和 AN 為對稱軸翻折，但一定要證明M、P、N三點共線 . （B+D=1800 且 AB=AD

3、）例題應(yīng)用：例1、在正方形 ABCD中，若 M、 N分別在邊 BC、CD上移動，且滿足 MN=BM+DN，求證： . 45MAN= . C CMN 2AB . AM、AN分別平分 BMN和DNM.思路同上略 .例 2 拓展：在正方形 ABCD中，已知 MAN=45 ，若 M、N分別在邊 CB、DC的延長線上移動，. 試探究線段 MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系 . . 求證： AB=AH.（提示）例 3. 在四邊形 ABCD中，B+D=180 ，AB=AD，若 E、F 分別在邊 BC、EAF1BAD.CD上，且滿足 EF=BE+DF.求證：2（提示）例 4，在 ABC中， AB=AC， BAC=

4、2DAE=120°，若 BD=5， CE=8，求 DE。例五 . 請閱讀下列材料：已知：如圖1 在 Rt ABC 中，BAC90 ， ABAC ，點 D 、 E 分別為線段 BC 上兩動點，若DAE45 探究線段 BD 、 DE 、 EC 三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把AEC 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 90 ，得到ABE ，連結(jié) E D ，使問題得到解決請你參考小明的思路探究并解決下列問題：（ 1）猜想 BD 、 DE 、 EC 三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，并對你的猜想給予證明；（ 2）當(dāng)動點 E 在線段 BC 上，動點 D 運動在線段 CB 延長線上時，如圖2，其它條件不變，

5、中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明AACDCBDEBE圖1圖 2例6探究：（ 1）如圖 1，在正方形 ABCD中， E、 F 分別是 BC、 CD上的點，且 EAF45°，試判斷 BE、DF 與 EF 三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出判斷結(jié)果：；（ 2）如圖 2，若把 (1) 問中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中， AB AD， BD180°， E、F 分別是邊 BC、 CD上的點，且 EAF=1 BAD”，則（ 1）問中的2結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；（ 3）在（ 2）問中，若將 AEF 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點分別E、F

6、運動到 BC、CD延長線上時，如圖 3 所示，其它條件不變，則（1）問中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請給出結(jié)論并予以證明 .練習(xí)鞏固 1：如圖，在四邊形中，=90，若、ABCDB=DAB=ADE1BAD .F 分別在邊 BC、CD 上的點，且EAF2. 求證： EF=BE+DF.（提示）練習(xí)鞏固 2，已知：正方形 ABCD 中，MAN45 ，繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB、DC（或它們的延長線）于點M、N（ 1）如圖1，當(dāng)MAN繞點A 旋轉(zhuǎn)到BMDN時，有 BMDNMN當(dāng)MAN繞點A 旋轉(zhuǎn)到BMDN時，如圖2，請問圖1 中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請給予證明，如果不成立，請說明理

7、由；（ 2）當(dāng) MAN 繞點 A 旋轉(zhuǎn)到如圖 3 的位置時，線段 BM ，DN 和 MN 之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的猜想，并證明ADADADNNBMCBMCMBCN練習(xí)鞏固 3如圖，在四邊形 ABCD 中， ABAD ,BD90，E, F分別是(1)邊 BC,CD 上的點，且1BEFD ;EAF =BAD 求證： EF2ADFBEC(2) 如圖在四邊形 ABCD 中， AB AD, B+D 180 ， E, F 分別是邊 BC,CD 上的點，且 EAF1中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明BAD ， (1)2ADFBEC(3) 如圖，在四邊形ABCD中， ABAD ，分別是邊BC ,CDBAD

8、C 180E ,F延長線上的點，且 EAF1， (1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證BAD2明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明FADBCE（ 4）如圖， 將邊長為 4cm的正方形紙片 ABCD沿 EF 折疊（點 E、F 分別在邊 AB、CD上），使點 B 落在 AD邊上的點 M處，點 C 落在點 N 處， MN與 CD交于點 P，連接 EP（ 1）如圖，若 M為 AD邊的中點， AEM的周長 =6cm；求證： EP=AE+DP；（2）隨著落點 M在 AD邊上取遍所有的位置（點 M不與 A、D 重合）， PDM的周長是否發(fā)生變化？請說明理由（ 5） . 如圖 17，正方形 ABC

9、D，E、F 分別為 BC、CD邊上一點（ 1）若 EAF=45o 求證： EF=BE+DF（ 2）若 AEF繞 A 點旋轉(zhuǎn)，保持 EAF=45o ，問 CEF的周長是否隨 AEF位置的變化而變化？（ 3）已知正方形 ABCD的邊長為 1，如果 CEF的周長為 2求 EAF的度數(shù)練習(xí)鞏固 4. 如圖，五邊形 ABCDE中， AB=BC=CD=DE=EA， CAD1BAE ，求2 BAE練習(xí)鞏固 5. 如圖，已知在正方形ABCD中，MAN=45°，連接 BD與 AM， AN分別交于 E、 F 兩點。求證：（1）MN=MB+DN；（2）點 A 到 MN的距離等于正方形的邊長；（3）CMN的

10、周長等于正方形ABCD邊長的 2 倍；（4）S ABCD2AB；S CMNMN（5）若MAB=20°，求AMN；（6）若 MAB045 ，求AMN；（7） EF2EB2DF2 ；（8）AEN與AFM是等腰三角形；（9）SAEF1 。SAMN2練習(xí)鞏固 6. 在等邊ABC 的兩邊 AB ， AC 所在直線上分別有兩點 M ，N ，D 為ABC 外一點，且 MDN60 ， BDC 120 ， BD CD ，探究：當(dāng)點 M ，N 分別愛直線 AB ，AC 上移動時， BM ，BN ，MN 之間的數(shù)量關(guān)系及AMN 的周長 Q 與等邊ABC 的周長 L 的關(guān)系NAAAMNNMBBCBCCMDD

11、D圖圖圖（ 1）如圖，當(dāng)點 M ，N 在邊 AB ，AC 上，且 DMDN 時， BM ，NC ，MN 之間的數(shù)量關(guān)系式 _；此時 Q_L（ 2）如圖，當(dāng)點 M ，N 在邊 AB ，AC 上，且 DMDN 時，猜想 (1)問的兩個結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；（ 3）如圖，當(dāng)點 M ，N 分別在邊 AB ，CA 的延長線上時，若 ANx ，則 Q_(用 x ，L 表示 )練習(xí)鞏固 7. 如圖所示， ABC是邊長為 1 的等邊三角形， BDC是頂角為 120° 的等腰三角形，以 D為頂點作一個 60°的 MDN，點 M，N分別在 AB，AC上，求 AMN的周長練習(xí)鞏固

12、 8. 如圖，在正方形 ABCD中， BE=3，EF=5，DF=4，求 BAE+ DCF為多少度。鞏固練習(xí) 9、（三新練習(xí)冊 P131）如圖 1，RtABCRt EDF，ACB= F=90°， A= E=30° EDF繞著邊 AB的中點 D旋轉(zhuǎn)， DE，DF分別交線段 AC于點 M，K(1) 如圖 2、圖 3，當(dāng) CDF=0° 或 60°時， AM+CK_MK( 填“ >”，“ <”或“=”) 如圖 4，當(dāng) CDF=30° 時， AM+CK_MK( 只填“ >”或“ <”) (2) 猜想：如圖 1，當(dāng) 0° C

13、DF60°時， AM+CK_MK，證明你所得到的結(jié)論(3) 如果MK2CK2AM2 ，請直接寫出的度數(shù)和 MK 的值CDFAM* 必會結(jié)論 -圖形研究正方形半角模型【例】已知：正方形 ABCD ， E 、 F 分別在邊 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、 AF分別交 BD于H 、G，連 EF.一、全等關(guān)系（1）求證： DFBE EF； DG2BH HG2； AE 平分BEF ， AF 平分 DFE .二、相似關(guān)系（2）求證： CE2DG ； CF2BH ； EF2HG .（3）求證： AB2BG DH ； AG2BG HG ； BEDF1 .CECF2三、垂直關(guān)系（4）求

14、證：AGEG ；AHFH；tanHCFABBE.（5) 、和差關(guān)系求證：BGDG2BE ；ADDF2DH ；| BEDF |2|BHDG |.中考鏈接 -正方形二相關(guān)題型 - 半角模型1，（2016 石景山 28）在正方形 ABCD中， E 為邊 CD上一點，連接 BE（ 1）請你在圖 -1 畫出 BEM，使得 BEM與 BEC關(guān)于直線 BE對稱；（ 2）若邊 AD上存在一點 F，使得 AF+CE=EF，請你在圖 2 中探究 ABF與CBE的數(shù)量關(guān)系并證明；（ 3）在（ 2）的條件下，若點 E 為邊 CD的三等分點，且 CE<DE，請寫出求cosFED的思路（可以不寫出計算結(jié)果 ）BAB

15、ABAFCEDCEDCD圖 1圖 2備用圖答案石景山 28（1）補(bǔ)全圖形，如圖1 所示BAM1 分CED（2）ABF 與證明：連接 BFCBE 的數(shù)量關(guān)系：ABF， EF ，延長 DC 到G，使得四邊形 ABCD 為正方形，CBECGAF45 2分，連接 BG 3分BA ABBC ，ABCDABC90 BAF BFBG，BCG ABFCBG F AFCEEF ， EFGE 4 分 GCED BEF BEG FBE = MBEABFCBE ABFCBE45 5 分（ 3）求解思路如下：a設(shè)正方形的邊長為 3a ， AF 為 x ，則 EF xa ， DF 3ax ；b在 Rt EFD 中，由 E

16、F 2DF 2DE2 ,可得 x23a22ax2a從而得到 x 與 a 的關(guān)系 2x3a ；c根據(jù) cos FED DE2a ，可求得結(jié)果 7 分EFxa2，（2016 門頭溝 28）在正方形 ABCD中，連接 BD（1）如圖 1，AEBD于 E直接寫出 BAE的度數(shù)（ 2）如圖 1，在（1）的條件下，將 AEB以 A 旋轉(zhuǎn)中心，沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到 AB'E' ，AB'與 BD交于 M，AE'的延長線與 BD交于 N 依題意補(bǔ)全圖 1； 用等式表示線段 BM、 DN和 MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明（ 3）如圖 2，E、F 是邊 BC、CD上的點

17、， CEF周長是正方形 ABCD周長的一半， AE、AF分別與 BD交于 M、 N，寫出判斷線段 BM、DN、 MN之間數(shù)量關(guān)系的思路（不必寫出完整推理過程）ADADENFMBCB EC門頭溝 28（本小題滿分 7 分）解：（1）BAE°1分=45（2） 依題意補(bǔ)全圖形（如圖 1）；2222分 BM、DN和 MN之間的數(shù)量關(guān)系是 BM+ND=MN 3分AFB證明：如圖 ，將 AND繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)90°，得1ADB FBA， ，DN BF，AF AN=1= 3=正方形ABCD AEBD， ， ADB= ABD=45°FBM=FBA+ ABD=ADB+ABD=9

18、0°AD3E'1 2N222由勾股定理得 FB BM FM+=E旋轉(zhuǎn) ABE得到 AB'E' ，F(xiàn)M E'AB' =45°，B'B圖 1C 2+3=90° 45°=45°，又 1= 3，AD 2+1=45°即FAM=45° FAM=E'AB' =45°NFAMAM，AF AN，M又=AFMANMGBECFM MN=圖 2222FB BM FM，又+=222DN BM MN+= 5分（3）判斷線段 BM、 DN、MN之間數(shù)量關(guān)系的思路如下：a如圖 ，將A

19、DF繞點 A 瞬時針旋轉(zhuǎn)°得 ABG，推出 DF GB；290=b由 CEF的周長等于正方形ABCD周長的一半，得EF DF BE；c 由 DF GB和EF DF BE推出= +EF GE，進(jìn)而得AEG AEF；=+=d由AEG AEF推出 EAF= EAG=45°；222e與同理， 可證 MN BM DN=+7分3（. 2016一模（ ）如圖1，點 E、 F 分別是正方形 ABCD的邊 BC、 CD上的點，1 EAF=45°，連接 EF，則 EF、BE、 FD之間的數(shù)量關(guān)系是： EF=BE+FD連結(jié) BD，交 AE、 AF于點 M、N，且 MN、BM、DN滿足 MN 2BM 2DN 2 ，請證明這個等量關(guān)系；（ 2）在 ABC中， AB=AC，點 D、E 分別為 BC邊上的兩點如圖 2，當(dāng) BAC=60°， DAE=30°時， BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系是_；如圖3，當(dāng)BAC，(0°<°，DAE1時， BD、 DE、EC應(yīng)滿足的=<90 )=2等量關(guān)系是 _【參