函數(shù)極限連續(xù)Word版

1、第一章 函數(shù)與極限函數(shù)和極限都是高等數(shù)學中最重要、最基本的概念，極值方法是最基本的方法，一切內(nèi)容都將從這二者開始。§1、 函 數(shù)一、 集合、常量與變量1、集合：集合是具有某種特定性質(zhì)的事物所組成的全體。通常用大寫字母A、B、C等來表示，組成集合的各個事物稱為該集合的元素。若事物a是集合M的一個元素，就記aM（讀a屬于M）；若事物a不是集合M的一個元素，就記aM或aM（讀a不屬于M）；集合有時也簡稱為集。注 1：若一集合只有有限個元素，就稱為有限集；否則稱為無限集。2：集合的表示方法： 3：全體自然數(shù)集記為N,全體整數(shù)的集合記為Z,全體有理數(shù)的集合記為Q,全體實數(shù)的集合記為R。以后不特

2、別說明的情況下考慮的集合均為數(shù)集。 4：集合間的基本關(guān)系：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有，必有，就稱A為B的子集，記為,或(讀B包含A)。 顯然：. 若,同時,就稱A、B相等,記為A=B。 5：當集合中的元素重復時,重復的元素只算一次.如：1,2,2,3=1,2,3。 6：不含任何元素的集稱為空集,記為,如：=,=,空集是任何集合的子集,即。 7：區(qū)間：所有大于a、小于b的實數(shù)組成一個集合,稱之為開區(qū)間,記為(a,b),即(a,b)= 。 同理：a,b=為閉區(qū)間，和分別稱為左閉右開、左開右閉的區(qū)間，統(tǒng)稱為半開區(qū)間。以上均成為有限區(qū)間，a、b分別稱為左、右端點。對無窮區(qū)間有：，2 / 4

3、4在不特別要求下，有限區(qū)間、無限區(qū)間統(tǒng)稱為區(qū)間，用I表示。 8：鄰域：設a和為兩個實數(shù)，且0.集合稱為點a的鄰域，記為,a為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑，事實上，。同理：我們稱為a的去心鄰域，或a的空心鄰域。 9：集合的內(nèi)容很多，其它內(nèi)容(如集合的運算)在此不作一一介紹了。2、常量與變量：在自然科學中，我們會遇到各種不同的量，然而在觀察這些量時，發(fā)現(xiàn)有著非常不同的狀態(tài)，有的量在過程中不起變化，保持一定的數(shù)值，此量稱為常量；又有些量有變化，可取各種不同的數(shù)值，這種量稱為變量?！纠繑S同一鉛球數(shù)次，發(fā)現(xiàn)鉛球的質(zhì)量、體積為常量，而投擲距離、上拋角度、用力大小均為變量。注1：常量與變量是相對而言的，同

4、一量在不同場合下，可能是常量，也可能是變量，如在一天或在一年中觀察某小孩的身高；從小范圍和大范圍而言，重力加速度可是常量和變量，然而，一旦環(huán)境確定了，同一量不能既為常量又為變量，二者必居其一。 2：常量一般用a,b,c等字母表示，變量用x,y,u,t等字母表示，常量a為一定值，在數(shù)軸上可用定點表示，變量x代表該量可能取的任一值，在數(shù)軸上可用動點表示，如：表示可代表中的任一個數(shù)。二、 函數(shù)的概念【例】正方形的邊長與面積之間的關(guān)系為：，顯然當確定了，也就確定了。這就是說，同一過程中變量之間往往存在著某種內(nèi)在的聯(lián)系。它們在遵循某一規(guī)律時相互聯(lián)系、相互約束著。定義：設和為兩個變量，為一個給定的數(shù)集，如

5、果對每一個，按照一定的法則變量總有確定的數(shù)值與之對應，就稱為的函數(shù)，記為.數(shù)集稱為該函數(shù)的定義域，叫做自變量，叫做因變量。 當取數(shù)值時，依法則的對應值稱為函數(shù)在時的函數(shù)值。所有函數(shù)值組成的集合稱為函數(shù)的值域。注 1：函數(shù)通常還可用等表示。 2：約定：函數(shù)的定義域就是自變量所能取的，使算式有意義的一切實數(shù)值的全體。【例1】 的定義域為，值域為。【例2】 的定義域為，值域為?！纠?】 的定義域為，值域為?！纠?】 的定義域為，的定義域為，從而顯然。 3、若對每一個，只有唯一的一個與之對應，就稱函數(shù)為單值函數(shù)；若有不止一個與之對應，就稱為多值函數(shù)。如：等。以后若不特別聲明，只討論單值函數(shù)。 4、函數(shù)

6、的表示法有三種：解析法、圖象法、列表法。其中解析法較普遍，它是借助于數(shù)學式子來表示對應法則，上例均為解析法，注意例3的法則是：當自變量在上取值，其函數(shù)值為；當取0時，；當在上取值時，其函數(shù)值為。（這種函數(shù)稱為分段函數(shù)，在以后經(jīng)常遇見，希望注意?。┍M管有幾個不同的算式，但它們合起來只表示一個函數(shù)！ 5、對中任一固定的，依照法則有一個數(shù)與之對應，以為橫坐標，為縱坐標在坐標平面上就確定了一個點。當取遍中的每一數(shù)時，便得到一個點集，我們稱之為函數(shù)的圖形。換言之，當在中變動時，點的軌跡就是的圖形?！纠?】 書上的幾個例子。（同學們自己看）【例6】 例3的圖形如下圖 三、 函數(shù)的幾種特性1、 函數(shù)的有界性

7、：設在上有定義，若對，使得：，就稱在上有界，否則稱為無界。注：1、若對，使得，就稱在上有上(下)界。在上有界在上同時有上界和下界。2、在上無界也可這樣說：對，總，使得。【例7】 上段例1、3、4中的函數(shù)是有界的；例2中的函數(shù)是無界的，但有下界。2、函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù)在區(qū)間上有定義，若對，當時總有：（1），就稱在上單調(diào)遞增，特別當嚴格不等式成立時，就稱在上嚴格單調(diào)遞增。（2），就稱在上單調(diào)遞減，特別當嚴格不等式成立時，就稱在上嚴格單調(diào)遞減。注：1、此處的定義與書上有區(qū)別，希望注意！2、 2、這樣的函數(shù)分別稱為單調(diào)函數(shù)和嚴格單調(diào)函數(shù)。3、 3、調(diào)遞增有時簡稱單增、遞增或不減，其它也一樣。【例8】

8、 符號函數(shù)和取整函數(shù)均為單增函數(shù)，但不嚴格單調(diào)?！纠?】 在上是嚴格單減函數(shù)?！纠?0】 例3中的函數(shù)在定義域上不是單調(diào)的，但在上是嚴格單減的，在上是嚴格單增的。3、函數(shù)的奇偶性：設函數(shù)的定義域為關(guān)于原點對稱的數(shù)集，即若，有，(1) 若對，有恒成立，就稱為偶函數(shù)。(2) 若對，有恒成立，就稱為奇函數(shù)?！纠?1】 ，,是偶函數(shù)，是奇函數(shù)。 ，是非奇非偶函數(shù)?！纠?1】 是奇函數(shù)。注：1、偶函數(shù)的圖形是關(guān)于軸對稱的，奇函數(shù)的圖形是關(guān)于原點對稱的。2、若是奇函數(shù)，且，則必有。3、兩偶函數(shù)和為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)和為奇函數(shù)；兩偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩奇函數(shù)的積也為偶函數(shù)；一奇一偶的積為奇函數(shù)。4、周期性：設

9、函數(shù)的定義域為，如果，使得對，有，且恒成立，就稱為周期函數(shù)，稱為的周期。【例12】 分別為周期為的周期函數(shù)，為周期為1的函數(shù)。注1：若為的周期，由定義知也都是的周期，故周期函數(shù)有無窮多個周期，通常說的周期是指最小正周期（基本周期），然而最小正周期未必都存在（為什么？）例如：，設有最小正周期。 2：周期函數(shù)在一每個周期（為任意數(shù)，為任意常數(shù)）上，有相同的形狀。四、 反函數(shù) 設的定義域為，值域為，因此，對，必，使得，這樣的可能不止一個，若將當作自變量，當作因變量，按函數(shù)的概念，就得到一新函數(shù)，稱之為函數(shù)的反函數(shù)，而叫做直接函數(shù)。注1：反函數(shù)的定義域為，值域為； 2：由上討論知，即使為單值函數(shù)，其反

10、函數(shù)卻未必是單值函數(shù)，以后對此問題還作研究； 3：在習慣上往往用表示自變量，表示因變量，因此將中的與對換一下，的反函數(shù)就變成，事實上函數(shù)與是表示同一函數(shù)的，因為，表示函數(shù)關(guān)系的字母沒變，僅自變量與因變量的字母變了，這沒什么關(guān)系。所以說：若的反函數(shù)為，那么也是的反函數(shù)，且后者較常用； 4：反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形是對稱于（證明很簡單，大家自己看書）； 5：有些書上，對反函數(shù)的定義與此不同，希加與之區(qū)別。【例13】 函數(shù)的反函數(shù)分別為：或分別為。§1、2 初等函數(shù)一、 冪函數(shù)形如（為常數(shù)）的函數(shù)叫做冪函數(shù)。其定義域較為復雜，下作一些簡單的討論：（1） 當為非負整數(shù)時，定義域為；（2）

11、 當為負整數(shù)時，定義域為；（3） 當為其它有理數(shù)時，要視情況而定?！纠?】 的定義域為； 的定義域為； 的定義域為。（4） 當為無理數(shù)時，規(guī)定其定義域為，其圖形也很復雜，但不論取何值，圖形總過（1，1）點，當>0時，還過（0，0）點。二、 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1、 指數(shù)函數(shù)：形如的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其定義域為，其圖形總在軸上方，且過（0，1）點，（1） 當時，是單調(diào)增加的；（2） 當時，是單調(diào)減少的；以后我們經(jīng)常遇到這樣一個指數(shù)函數(shù)的意義以后講，其圖形大致如下圖所示，特別地，與關(guān)于軸對稱。2、對數(shù)函數(shù)：指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記為為常數(shù)，,稱為對數(shù)函數(shù)，其定義域為，由前面反函數(shù)的概念知：的圖形和

12、的圖形是關(guān)于對稱的，從此，不難得的圖形，的圖形總在軸右方，且過（1，0）點（1） 當時，單調(diào)遞增，且在（0，1）為負，上為正；（2） 當1時，單調(diào)遞減，且在（0，1）為正， 上為負；特別當取時，函數(shù)記為，稱為自然對數(shù)函數(shù)。三、 三角函數(shù)與反三角函數(shù)1、 三角函數(shù)三角函數(shù)主要是：正弦函數(shù)：余弦函數(shù)：正切函數(shù)：余切函數(shù)：正弦函數(shù)和余弦函數(shù)均為周期為的周期函數(shù)，正切函數(shù)和余切函數(shù)均為周期為的周期函數(shù)。正弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)都是奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)；另外還有兩個：正割和余割，其圖形在此不做討論了。2、 反三角函數(shù)：反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，它們分別為：反正弦函數(shù)：反余弦函數(shù)：反正切函數(shù)：

13、反余切函數(shù)：顯然反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，單我們可選取其一個單值分支，叫做主值，選法如下：將限制在上，得一單值函數(shù)，記為，它就是所取主值函數(shù)，叫做主值區(qū)間，顯然，同理：將限制在上，得將限制在上，得將限制在上，得從圖中不難看出和是單調(diào)遞增的，和是單調(diào)遞減的。四、 復合函數(shù)和初等函數(shù)設，定義域為，定義域為，值域為，且，這樣對于，由可算出函數(shù)值，所以，由又可算出其函數(shù)值，因此對于，有確定的值與之對應，從而得一個以為自變量，為因變量的函數(shù)，我們稱之為以為外函數(shù)，為內(nèi)函數(shù)復合成的復合函數(shù)，記為，其中為中間變量?！纠?】 就是和復合而成； 就是和復合而成。注1：并非任何兩函數(shù)都可以復合的，例如：和不能復合；

14、 和也不能復合。 2：復合可推廣到三個或更多的函數(shù)上去，如：就是復合成的。3：在函數(shù)復合中，未必都有、的形式，一般為和，這時候就要注意哪個為外函數(shù)，哪個為內(nèi)函數(shù)，從而復合后有和之分。2、初等函數(shù) 我們把冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合后所得到的能用一個解析式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)?！纠?】 等都是初等函數(shù)。 本教材討論的主要都是初等函數(shù)。五、 雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)雙曲正弦： 雙曲余弦： 雙曲正切： 反雙曲正弦： 反雙曲余弦： （多值函數(shù)取“+”號為主值） 反雙曲正切：由于這類以后用得較少，只要掌握上面的內(nèi)

15、容就行了，其它的此外不細講了。 §1、3 數(shù)列的極限所謂的數(shù)列，通俗地講，就是將一系列的數(shù)排成一列（排）。在數(shù)學中，我們可用這樣的話來定義：定義：數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，記為，由于全體自然數(shù)可以從小到大排成一列，因此數(shù)列的對應值也可以排成一列：，這就是最常見的數(shù)列表現(xiàn)形式了，有時也簡記為或數(shù)列。數(shù)列中的每一數(shù)稱為數(shù)列的項，第項稱為一般項或通項?！纠?】 書上用圓內(nèi)接正邊形的面積來近似代替該圓的面積時，得到數(shù)列 （多邊形的面積數(shù)列）【例2】長一尺的棒子，每天截去一半，無限制地進行下去，那么剩下部分的長構(gòu)成一數(shù)列： ，通項為?！纠?】 都是數(shù)列，其通項分別為。注：在數(shù)軸上，數(shù)列的每

16、項都相應有點對應它。如果將依次在數(shù)軸上描出點的位置，我們能否發(fā)現(xiàn)點的位置的變化趨勢呢？顯然，是無限接近于0的；是無限增大的；的項是在1與兩點跳動的，不接近于某一常數(shù)；無限接近常數(shù)1。對于數(shù)列來說，最重要的是研究其在變化過程中無限接近某一常數(shù)的那種漸趨穩(wěn)定的狀態(tài)，這就是常說的數(shù)列的極限問題。我們來觀察的情況。從圖中不難發(fā)現(xiàn)隨著的增大，無限制地接近1，亦即充分大時，與1可以任意地接近，即可以任意地小，換言之，當充分大時可以小于預先給定的無論多么小的正數(shù)。例如，取，由，即從第101項開始，以后的項都滿足不等式，或者說，當時，有。同理，若取，由，即從第10001項開始，以后的項都滿足不等式，或說，當時

17、，有。一般地，不論給定的正數(shù)多么小，總存在一個正整數(shù)，當時，有。這就充分體現(xiàn)了當越來越大時，無限接近1這一事實。這個數(shù)“1”稱為當時，的極限。定義：若對（不論多么?。?，總自然數(shù)，使得當時都有成立，這是就稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為，或（）。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的?！纠?】證明數(shù)列收斂于1。證明：對，要使得，只須，所以取，當時，有，所以。注1：是衡量與的接近程度的，除要求為正以外，無任何限制。然而，盡管具有任意性，但一經(jīng)給出，就應視為不變。（另外，具有任意性，那么等也具有任意性，它們也可代替） 2：是隨的變小而變大的，是的函數(shù)，即是依賴于的。在解題中，等于多少關(guān)系不大，重

18、要的是它的存在性，只要存在一個，使得當時，有就行了，而不必求最小的。【例5】證明。證明：對，因為,因為 （此處不妨設，若，顯然有）所以要使得，只須就行了。 即有. 所以取 ，當時，因為有 ，所以。注3：有時找比較困難，這時我們可把適當?shù)刈冃?、放大（千萬不可縮小?。?，若放大后小于，那么必有?！纠?】 設，證明的極限為0，即。證明：若，結(jié)論是顯然的，現(xiàn)設，對，（因為越小越好，不妨設），要使得，即，只須兩邊放對數(shù)后，成立就行了。因為，所以，所以 。 取，所以當時，有成立。收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：定理1：（唯一性）數(shù)列不能收斂于兩個不同的極限。證明：設和為的任意兩個極限，下證。 由極限的定義，對，必分別自

19、然數(shù)，當時，有(1) 當時，有(2)令，當時，（1），（2）同時成立。現(xiàn)考慮： 由于均為常數(shù)，所以的極限只能有一個。注：本定理的證明方法很多，書上的證明自己看?！纠?】證明數(shù)列是發(fā)散的。證明：（反證法）假設收斂，由唯一性，設，按定義，對自然數(shù)，當 時，考慮，而，總是一個“1”，一個“”，所以,所以矛盾， 所以 發(fā)散。定理2. （有界性）若數(shù)列收斂，那么它一定有界，即：對于數(shù)列 ，若正數(shù)，對一切，有。證明：設，由定義對自然數(shù)當時，所以當時，令，顯然對一切，。注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收斂。例如數(shù)列是有界的（），但函數(shù)收斂。此點希望注意！§1、4 函數(shù)的極限由上節(jié)知，數(shù)列是自變

20、量取自然數(shù)時的函數(shù)，因此，數(shù)列是函數(shù)的一種特性情況。此處講的是函數(shù)的極限，就是數(shù)列極限意義的。它主要表現(xiàn)在兩個方面：一、 自變量任意接近于有限值，或講趨向（于）（記）時，相應的函數(shù)值的變化情況。二、當自變量的絕對值無限增大，或講趨向無窮大（記）時，相應的函數(shù)值的變化情況。一、 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限與數(shù)列極限的意義相仿，自變量趨于有限值時的函數(shù)極限可理解為：當時，（為某常數(shù)），即當時，與無限地接近，或說可任意小，亦即對于預先任意給定的正整數(shù)（不論多么?。?，當與充分接近時，可使得小于。用數(shù)學的語言說，即定義1：如果對（不論它多么?。?，總，使得對于適合不等式 的一切所對應的函數(shù)值滿足：，就稱

21、常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記為 ，或 （當時）注1：“與充分接近”在定義中表現(xiàn)為：，有，即。顯然越小，與接近就越好，此與數(shù)列極限中的所起的作用是一樣的，它也依賴于。一般地，越小，相應地也小一些。 2：定義中表示，這說明當時，有無限與在點（是否有）的定義無關(guān)（可以無定義，即使有定義，與值也無關(guān)）。 3：幾何解釋：對，作兩條平行直線。由定義，對此。當，且時，有。即函數(shù)的圖形夾在直線之間（可能除外）。換言之：當時，。從圖中也可見不唯一！【例1】 證明 （為一常數(shù)）證明：對，可取任一正數(shù)，當時，所以?！纠?】 證明證明：對，要使得，只須， 所以取顯然當時，有?！纠?】 證明 。證明：對，因為所以 此處，即

22、考慮附近的情況，故不妨限制為，即，。因為，要使,只須 ，即。?。◤膱D形中解釋），當時，有。定理1：（保號性）設，（i） 若，則，當時，。（ii） 若，必有。證明：（i）先證的情形。取，由定義，對此，當時，即。 當時，取，同理得證。 （ii）(反證法)若，由(i) 矛盾，所以。 當時，類似可證。注：(i)中的“”，“”不能改為“”，“”。 在(ii)中，若，未必有。在函數(shù)極限的定義中，是既從的左邊（即從小于的方向）趨于，也從的右邊（即從大于的方向）趨于。但有時只能或需要從的某一側(cè)趨于的極限。如分段函數(shù)及在區(qū)間的端點處等等。這樣，就有必要引進單側(cè)極限的定義：定義2：對，當時，當時，有.這時就稱為當

23、時的左右極限，記為或。 或。定理2：。【例4】，因為，所以不存在?！纠?】設，求。 解：顯然 因為，所以。二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義3：設當時是有定義的，若對，當時，有，就稱為當時的極限，記為或（當時）。注1：設在上有定義，若對，當時，有，就稱為當時的極限，記為，或（當）（，或（當）。 2：。 3：若，就稱為的圖形的水平漸近線（若或，有類似的漸近線）?！纠?】 證明。證明：對，因為，所以要使得，只須，故取，所以當時，有，所以。 §1、5 無窮小與無窮大一、無窮小 若當或時的極限為零，就稱為當或時的無窮小，即有定義1：對若，使得當時，有成立，就稱為當時的無窮小，記為。注1：除

24、上兩種之外，還有的情形。2：無窮小不是一個數(shù)，而是一個特殊的函數(shù)（極限為0），不要將其與非常小的數(shù)混淆，因為任一常數(shù)不可能任意地小，除非是0函數(shù)，由此得：0是唯一可作為無窮小的常數(shù)。【例1】 因為，所以當時為無窮??；同理：，所以當時為無窮小，而，所以當時不是無窮小。定理1：當自變量在同一變化過程（或）中時：（i）具有極限的函數(shù)等于其極限與一個無窮小之和，即：為的極限為無窮小。（ii）若一函數(shù)可表示為一常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是其極限（證明在下一節(jié)）。二、無窮大 若當或時，就稱為當或時的無窮大。定義2：若對，使得當時，有，就稱當時的無窮大，記作:。注1：同理還有時的定義。 2：無窮大也不是

25、一個數(shù)，不要將其與非常大的數(shù)混淆。 3：若或，按通常意義將，的極限不存在。【例2】 可證明，所以當時為無窮大。定理2：當自變量在同一變化過程中時，（i）若為無窮大，則為無窮小。（ii）若為無窮小，且，則為無窮大。（證明自己看） §1、6 極限運算法則由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。定理1：有限個無窮小的和仍為無窮小，即設（證明在后面）。注1：與都表示函數(shù)與，而不是常數(shù)。 2： “”下放沒標自變量的變化過程，這說明對及均成立，但須同一過程。定理2：有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即設有界，。證明：證明時的情況，設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有界，即，當時，有

26、，又設為當時的無窮小，即，故對，當時，有 所以，即為無窮??；同理可證時的情形。推論1：常數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小，即若為常數(shù)，。推論2：有限個無窮小的乘積仍為無窮小，設。定理3：若，則存在，且。證明： 只證，過程為，對，當 時，有，對此，當時，有，取，當時，有 所以。 其它情況類似可證。注1：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形。 2：在本定理中，設，反之，若，其中，即證§1.5定理1。3：若令，即證定理1。定理4：若，則存在，且。證明：因為，由§1.5定理1（i）（均為無窮?。?，記，由定理2的推論1.2及定理1為無窮小，再由§1.5定理1（iii）。推論1：（為常數(shù)

27、）。推論2：（為正整數(shù)）。定理5：設，則。證明：設（為無窮?。?，考慮差： 其分子為無窮小，分母，我們不難證明有界（詳細過程見書上）為無窮小，記為，所以，由§1.5定理1（ii）。注：以上定理對數(shù)列亦成立。定理6：如果，且，則?！纠?】?！纠?】。推論1：設為一多項式，當。推論2：設均為多項式，且，由定理5，?！纠?】?！纠?】（因為）。注：若，則不能用推論2來求極限，需采用其它手段。【例5】求。解：當時，分子、分母均趨于0，因為，約去公因子，所以 。【例6】求。解：當全沒有極限，故不能直接用定理3，但當時，所以?！纠?】求。解：當時，故不能直接用定理5，又，考慮：， 由§1

28、.5定理2（ii）?！纠?】設為自然數(shù)，則 。證明：當時，分子、分母極限均不存在，故不能用§1.6定理5，先變形： 【例9】求。解：當時，這是無窮多項相加，故不能用§1.6定理3，先變形： 原式。【例10】證明為的整數(shù)部分。證明：先考慮，因為是有界函數(shù)，且當時，所以由§1.6定理2。§1.7 極限存在準則、兩個重要極限準則I：如果數(shù)列滿足下列條件：（i）對;（ii）那么，數(shù)列的極限存在，且。證明：因為，所以對，當時，有，即 ，對，當時，有，即，又因為，所以當時，有， 即有：，即，所以 。準則I如果函數(shù)滿足下列條件：（i）當時，有。（ii）當時，有。那么當

29、時，的極限存在，且等于。作為準則I的應用，下面將證明第一個重要極限：。證明：作單位圓，如下圖：設為圓心角，并設見圖不難發(fā)現(xiàn)：，即：，即 ， （因為，所以上不等式不改變方向） 當改變符號時，及1的值均不變，故對滿足的一切 ，有。 又因為， 所以 而 ，證畢。【例1】?！纠?】。【例3】。【例4】。準則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限 如果數(shù)列滿足：，就稱之為單調(diào)增加數(shù)列；若滿足：，就稱之為單調(diào)減少數(shù)列；同理亦有嚴格單增或單減，以上通稱為單減數(shù)列和嚴格單減數(shù)列。 如果，使得：，就稱數(shù)列為有上界；若，使得：，就稱有下界。準則：單調(diào)上升，且有上界的數(shù)列必有極限。準則: 單調(diào)下降，且有下界的數(shù)列必有極限。注1：由

30、前已知，有界數(shù)列未必有極限，若加單調(diào)性，就有極限。 2：準則，可推廣到函數(shù)情形中去，在此不一一陳述了。作為準則的一個應用，下面來證明極限是不存在的。先考慮取正整數(shù)時的情形：對于，有不等式：，即：，即：（i）現(xiàn)令，顯然，因為將其代入，所以，所以為單調(diào)數(shù)列。（ii）又令，所以 ，即對， 又對所以是有界的。由準則或知 存在，并使用來表示，即注 1：關(guān)于此極限存在性的證明，書上有不同的方法，希望同學自己看！ 2：我們可證明：，具體在此不證明了，書上也有，由證明過程知：。 3：指數(shù)函數(shù)及自然對數(shù)中的底就是這個常數(shù)?！纠?】 【例2】 【例3】 【例4】 Cauchy 極限存在準則：數(shù)列收斂對，當時，有

31、。注 1：此定理證明較繁，在此不證了。 2：本定理理論性較強，但不實用，故只須了解就行了。§1、8 無窮小的比較 在§1、6中我們討論了無窮小的和、差、積的情況，對于其商會出現(xiàn)不同的情況，例如： （為常數(shù)，為自然數(shù)）可見對于取不同數(shù)時，與趨于0的速度不一樣，為此有必要對無窮小進行比較或分類：定義：設與為在同一變化過程中的兩個無窮小，(i) 若，就說是比高階的無窮小，記為；(ii) 若，就說是比低階的無窮小；(iii) 若，就說是比同階的無窮小；(iv) 若，就說與是等價無窮小，記為?！纠?】 當時，是的高階無窮小，即；反之是的低階無窮??； 與是同階無窮??；與是等價無窮小，即

32、。注 1：高階無窮小不具有等價代換性，即：，但，因為不是一個量，而是高階無窮小的記號； 2：顯然(iv)是(iii)的特殊情況； 3：等價無窮小具有傳遞性：即； 4：未必任意兩個無窮小量都可進行比較，例如：當時，與既非同階，又無高低階可比較，因為不存在； 5：對于無窮大量也可作類似的比較、分類； 6：用等價無窮小可以簡化極限的運算，事實上，有：定理：若均為的同一變化過程中的無窮小，且，及，那么。【例2】 求。解：因為當時，所以 ?！纠?】 求解：因為當時， 所以 原式。7：在目前，常用當時，等價無窮小有：；8：用等價無窮小代換適用于乘、除，對于加、減須謹慎！ §1.9 函數(shù)的連續(xù)性與

33、間斷點一、 函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性是函數(shù)的重要性態(tài)之一，在實際問題中普遍存在連續(xù)性問題，從圖形上看，函數(shù)的圖象連綿不斷。在數(shù)學上，我們有：定義 1：設在的某鄰域內(nèi)有定義，若，就稱函數(shù)在 點處連續(xù)。注 1：在點連續(xù)，不僅要求在點有意義，存在，而且要，即極限值等于函數(shù)值。 2：若，就稱在點左連續(xù)。若，就稱在點右連續(xù)。 3：如果在區(qū)間上的每一點處都連續(xù)，就稱在上連續(xù)；并稱為上的連續(xù)函數(shù)；若包含端點，那么在左端點連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點連續(xù)是指左連續(xù)。定義1：設在的某鄰域內(nèi)有定義，若對，當時，有，就稱在點連續(xù)。 下面再給出連續(xù)性定義的另一種形式：先介紹增量：變量由初值變到終值，終值與初值的差稱為的增量，記

34、為，即；可正、可負、也可為零，這些取決于與的大小。 我們稱為自變量在點的增量，記為，即或；相應函數(shù)值差，稱為函數(shù)在點的增量，記為，即，即或，。定義1：設在的某鄰域內(nèi)有定義，若當時，有，即，或，就稱在點連續(xù)。定理：在點連續(xù)在點既左連續(xù)，又右連續(xù)?！纠?】 多項式函數(shù)在上是連續(xù)的；所以，有理函數(shù)在分母不等于零的點處是連續(xù)的，即在定義域內(nèi)是連續(xù)的。以上由§1.6【例2】的推論1、推論2即得?！纠?】不難證明在上是連續(xù)的。【例3】證明在點連續(xù)。證明：，又，所以由定理 在點連續(xù)； 或由前§1.4習題5知，所以 在點連續(xù)。【例4】討論函數(shù) 在的連續(xù)性。解： ，因為，所以該函數(shù)在點不連續(xù)

35、，又因為，所以為右連續(xù)函數(shù)。二、 間斷點 簡單地說，若在點不連續(xù)，就稱為的間斷點，或不連續(xù)點，為方便起見，在此要求的任一鄰域均含有的定義域中非的點。間斷點有下列三種情況：（1）在沒有定義；（2）不存在；（3）雖然不存在，也雖然在點有定義，但。種常見的間斷點類型：【例5】設，當，即極限不存在，所以為的間斷點。因為，所以為無窮間斷點?！纠?】在點無定義，且當時，函數(shù)值在與之間無限次地振蕩，而不超于某一定數(shù)，見書上圖，這種間斷點稱為振蕩間斷點。1. 均為振蕩間斷點。2、 不連續(xù)，連續(xù)。【例7】 在點無定義，所以為其間斷點，又，所以若補充定義，那么函數(shù)在點就連續(xù)了。故這種間斷點稱為可去間斷點?！纠?】

36、 例4的函數(shù)在點不連續(xù)，但左、右極限均存在，且有不等于的，這種間斷點稱為跳躍間斷點。例如在處即為跳躍間斷點。歸納：(1)，為無窮間斷點； (2)震蕩不存在，為震蕩間斷點； (3)，為可去間斷點； (4)，為跳躍間斷點。 如果在間斷點處的左右極限都存在，就稱為的第一類間斷點，顯然它包含(3)、(4)兩種情況；否則就稱為第二類間斷點。 §1、10 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、 續(xù)函數(shù)的運算定理1(連續(xù)函數(shù)的四則運算法則)：若均在連續(xù)，則及（要求）都在連續(xù)。定理2（反函數(shù)的連續(xù)性）：如果在區(qū)間上單值，單增（減），且連續(xù)，那么其反函數(shù)也在對應的區(qū)間上單值，單增（減），且連續(xù)。注1：亦為的反函數(shù)，如上知：在上有上述性質(zhì)。定理3：設當時的極限存在且等于，即，又設在處連續(xù)，那么，當時，復合函數(shù)的極限存在，且等于，即。注2：可類似討論時的情形。定理4：設函數(shù)在點連續(xù)，且，函數(shù)在點連續(xù)，那么，復合函數(shù)在點處連續(xù)。注3：定理3、4說明與的次序可交換。注4：在定理3中代入，即得定理4?！纠?】 由于（為正整數(shù)）在上嚴格單調(diào)且連續(xù)，由定理2，其反函