分數(shù)階微分方程Word版

1、分數(shù)階微分方程第三講 分數(shù)階微分方程基本理論一、 分數(shù)階微分方程的出現(xiàn)背景及研究現(xiàn)狀1、出現(xiàn)背景分數(shù)階微積分是關于任意階微分和積分的理論，它與整數(shù)階微積分是統(tǒng)一的，是整數(shù)階微積分的推廣。整數(shù)階微積分作為描述經(jīng)典物理及相關學科理論的解析數(shù)學工具已為人們普遍接受，很多問題的數(shù)學模型最終都可以歸結為整數(shù)階微分方程的定解問題，其無論在理論分析還是數(shù)值求解方面都已有較完善的理論。但當人們進入到復雜系統(tǒng)和復雜現(xiàn)象的研究時，經(jīng)典整數(shù)階微積分方程對這些系統(tǒng)的描述將遇到以下問題：（1） 需要構造非線性方程，并引入一些人為的經(jīng)驗參數(shù)和與實際不符的假 設條件；（2） 因材料或外界條件的微小改變就需要構造新的模型；（

2、3） 這些非線性模型無論是理論求解還是數(shù)值求解都非常繁瑣。基于以上原因，人們迫切期待著有一種可用的數(shù)學工具和可依據(jù)的基本原理來對這些復雜系統(tǒng)進行建模。分數(shù)階微積分方程非常適合于刻畫具有記憶和遺傳性質(zhì)的材料和過程，其對復雜系統(tǒng)的描述具有建模簡單、參數(shù)物理意義清楚、描述準確等優(yōu)勢，因而成為復雜力學與物理過程數(shù)學建模的重要工具之一。2、研究現(xiàn)狀在近三個世紀里，對分數(shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學的純理論領域里進行，似乎它只對數(shù)學家們有用。然而在近幾十年來，分數(shù)階微分方程越來越多的被用來描述光學和熱學系統(tǒng)、流變學及材料和力學系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)識別、控制和機器人及其他應用領域中的問題。分數(shù)階微積分理論也

3、受到越來越多的國內(nèi)外學者的廣泛關注，特別是從實際問題抽象出來的分數(shù)階微分方程成為很多數(shù)學工作者的研究熱點。隨著分數(shù)階微分方程在越來越多的科學領域里出現(xiàn)，無論對分數(shù)階微分方程的理論分析還是數(shù)值計算的研究都顯得尤為迫切。然而由于分數(shù)階微分是擬微分算子，它的保記憶性（非局部性）對現(xiàn)實問題進行了優(yōu)美刻畫的同時，也給我們的分析和計算造成很大困難。在理論研究方面，幾乎所有結果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也和經(jīng)典微積分方程一樣，換句話說，這些工作基本上可以說只是經(jīng)典微積分方程理論的一個延拓。對分數(shù)階微分方程的定性分析很少有系統(tǒng)性的結果，大多只是給出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都是具有

4、局限性的。在數(shù)值求解方面，現(xiàn)有分數(shù)階方程數(shù)值算法還很不成熟，主要表現(xiàn)為：（1）在數(shù)值計算中一些挑戰(zhàn)性難題仍未得到徹底解決，如長時間歷程的計算和大空間域的計算等；（2）成熟的數(shù)值算法比較少，現(xiàn)在研究較多的算法主要集中在有限差分方法與有限單元法2 / 23；（3）未形成成熟的數(shù)值計算軟件，嚴重滯后于應用的需要。鑒于此，發(fā)展新數(shù)值算法，特別是在保證計算可靠性和精度的前提下，提高計算效率，解決分數(shù)階微分方程計算量和存儲量過大的難點問題，發(fā)展相應的計算力學應用軟件成為迫切需要關注的課題。二、 預備知識1、 分數(shù)階微積分經(jīng)典定義回顧作為分數(shù)階微積分方程的基礎，本書在第二章中對分數(shù)階微積分的定義及性質(zhì)做了系

5、統(tǒng)的介紹，為了接下來討論的需要，我們首先對其進行一個簡要的回顧。（1）分數(shù)階微積分的主要思想如上圖所示，分數(shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的整數(shù)階微積分，從而將微積分的概念延拓到整個實數(shù)軸，甚至是整個復平面。但由于延拓的方法多種多樣，因而根據(jù)不同的需求人們給出了分數(shù)階微積分的不同定義方式。然而這些定義方式不僅只能針對某些特定條件下的函數(shù)給出，而且只能滿足人們的某些特定需求，迄今為止，人們?nèi)匀粵]能給出分數(shù)階微積分的一個統(tǒng)一的定義, 這對分數(shù)階微積分的研究與應用造成了一定的困難。（2）幾種經(jīng)典的分數(shù)階微積分定義下面我們試圖從理論依據(jù)、定義域、表達式和優(yōu)缺點幾個方面給出常見的四種分數(shù)階微積分定義的比較

6、圖。從上圖我們看到，在分數(shù)階微積分的發(fā)展過程中，人們根據(jù)不同的需求，從不同角度給出了分數(shù)階微積分的定義，但這些定義無論從對象上還是從表達式上都無法實現(xiàn)統(tǒng)一，它們之間的關系大致可以用下圖來表示。注：條件1：在上逐段連續(xù)，且在任何有限子區(qū)間上可積；條件2：在上具有階連續(xù)導數(shù)；條件3：，；條件4：，。由上圖我們可以看到，對于不同的分數(shù)階微積分定義方式有著不同定義域，即便是在公共區(qū)域內(nèi)，不同的定義方式之間也無法實現(xiàn)完全的統(tǒng)一，這對分數(shù)階微積分的應用和研究造成了一定的困難，因此人們迫切期望著分數(shù)階微積分的一種哪怕是形式上的統(tǒng)一定義方式。2、 M-R序列分數(shù)階微分的定義為了滿足實際需要，下面我們試圖從形式

7、上對分數(shù)階微積分給出一種統(tǒng)一的表達式。分數(shù)階微積分的主要思想是推廣經(jīng)典的累次微積分，所有推廣方法的共同目標是以非整數(shù)參數(shù)取代經(jīng)典微積分符號中的整數(shù)參數(shù)，即： 實際上，任意的階微分都可以看成是一列一階微分的疊加： （1）由此，我們可以給出一種在很多實際應用中十分重要的分數(shù)階微積分的推廣方式。首先，我們假設已有一種合適的推廣方式來將一階微分推廣為（）階微分，即是可實現(xiàn)的。那么類似地可得到（1）的推廣式為： （2）這種推廣方式最初是由和提出來的，其中采用的是分數(shù)階微分定義，他們稱之為序列分數(shù)階微分。序列分數(shù)階微分的其他形式可以通過將替換為分數(shù)階微分、分數(shù)階微分或其他任意形式分數(shù)階微分來得到。進一步，

8、如果我們將（2）中的分數(shù)階微分替換為不同階數(shù)的分數(shù)階微分可得到序列分數(shù)階微分更一般的表達式： （3）根據(jù)問題的需要，可以是分數(shù)階微分、分數(shù)階微分、分數(shù)階微分或其他任意形式的分數(shù)階微分，從這一點看來，我們可以說序列分數(shù)階微分從形式上給出了分數(shù)階微積分在時域上的一個統(tǒng)一表達式，分數(shù)階微分、分數(shù)階微分和分數(shù)階微分都只是序列分數(shù)階微分的一種特殊情況。故而，下面我們在對分數(shù)階微積分方程進行理論分析的時候可以僅僅針對序列分數(shù)階微積分來給出結論。3、M-R序列分數(shù)階微分的Laplace變換下面我們考慮如下形式的序列分數(shù)階微分的Laplace變換。 （4） （5） （6） 在R-L分數(shù)階微分定義下有： （7）

9、重復利用上式次可得： （8）注：雖然上述序列分數(shù)階微分的Laplace變換是在R-L分數(shù)階微分定義下進行證明的，但是該結論對其他幾種分數(shù)階微積分也是成立的。4、泛函理論基礎定理1（Schauder不動點定理）設是空間的有界閉子集，如果是連續(xù)映射，那么在中存在不動點，即使得的點存在。定義1（Lipschitz條件）設是距離空間，是從到的映射，如果存在常數(shù)，使得對所有的，則稱滿足條件，成為的常數(shù)。特別的，如果，則稱為壓縮映射。定理2（ Banach壓縮映像原理）設是距離空間，是壓縮映射，則在中恰有一個不動點。設這個不動點為，則對任何初始點，逐次迭代點列，收斂于，且關于收斂速度有如下估計式：其中，是

10、的常數(shù)。三、 解的存在唯一性理論近年來，分數(shù)階微分方程已經(jīng)在國內(nèi)外引起極大的研究興趣，尤其是關于其解的性質(zhì)的研究，諸如存在性及唯一性等，其中大多數(shù)的研究方法是通過把分數(shù)階初值問題轉(zhuǎn)換成等價的分數(shù)階積分方程,然后運用不動點定理來得到分數(shù)階初值問題解的存在唯一性結果。已有研究結果主要有以下限制：（1） 函數(shù)的定義區(qū)間為有限區(qū)間；（2） 函數(shù)在定義域上需滿足條件；因此，目前人們在這方面所做的工作都是希望設法在放寬上述兩個限制條件后給出分數(shù)階微積分方程的解的存在唯一性定理。下面我們對分數(shù)階微分方程初值問題的現(xiàn)有理論結果作一個簡單的介紹，相應的結論都是針對定義在有限區(qū)間上的M-R序列分數(shù)階微分形式，在滿

11、足條件下給出的，當然，由前面的介紹可知，這些結論也可直接推廣到其他分數(shù)階微分形式。 1、 線性分數(shù)階微分方程解的存在唯一性定理考慮如下形式的初值問題： 且，即 （11）第一步：假設，考慮由此得到的退化問題解的存在唯一性。定理1 如果，則方程 （12）有滿足初值條件（10）的唯一解。定理的證明過程如下：步驟一 通過Laplace變換證明解的存在性；下面我們設法構造一個待求解問題解，對式（12）做Laplace變換可得： （13）其中，、分別是、的Laplace變換。利用初值條件（10）可得： （14）對上式做Laplace逆變換可得： （15）步驟二 由分數(shù)階微分的線性性和Laplace變換的性

12、質(zhì)證明唯一性。假設有存在兩個滿足上述初值問題的解、令 ，有分數(shù)階微分方程的線性性可得： （16）從而有 （17）由Laplace變換的性質(zhì)可知：在上幾乎處處成立。故原方程的解在上唯一。注：上述證明過程中用到的Laplace變換法是一種常用的分數(shù)階微分方程求解方法，該方法步驟簡單，適用范圍較廣，在實際中有著重要應用，后面將對其進行詳細介紹。第二步：運用第一步的結論證明原初值問題解的存在唯一性。定理2 如果且是上的連續(xù)函數(shù)，則初值問題（9）（10）有唯一解。定理的證明過程如下：步驟一 化微分方程為積分方程假設原方程有解并記，那么運用定理1可得： （18）將上式代入到原微分方程表達式（9）可得： （

13、19） 其中 （20） （21）步驟二 證明變換后的積分方程有唯一解用不動點定理易證結論成立。步驟三 說明原微分方程有唯一解由定理1易得。2、 一般形式的分數(shù)階微分方程的存在唯一性定理考慮如下形式的微分方程： （22） ， （23）其中，的定義域為平面上的一個子區(qū)域，且存在上的子區(qū)域滿足： ， （24）定理3 設為上的連續(xù)實值函數(shù)，且在上關于滿足條件，即 （25）從而，對任意 且 那么，方程（22）（23）在區(qū)域有唯一的連續(xù)解。定理的證明過程如下：步驟一 化微分方程為等價積分方程；對方程（22）按,，逐次進行分部積分可得： （26）步驟二 證明上述等價積分方程解的存在性；構造函數(shù)序列， 如下：

14、 （27） （28）首先，我們可以證明對任意的及任意的有。 （29）進一步，我們可由數(shù)學歸納法證明，對任意的有下式成立： （30）證明過程如下：在式（29）中令可得： （31）假設當時，式（30）成立，即下式成立: （32）那么，當時有： （33）從而由歸納法可知，對任意的，式（30）成立。進而，有的收斂性可知，函數(shù)序列收斂。令，易證是等價積分方程（26）的解，也即是原微分方程（22）的解。步驟三 證明上述等價積分方程解的唯一性；假設也是等價積分方程（26）的解，令，有： （34）由的連續(xù)性可知，存在常數(shù)，使得對任意的，。利用式（34）可得： （35）將該估計過程重復次可得： （36）又 故，

15、也即。注：有上面的介紹可知，整個線性分數(shù)階微積分方程解的存在唯一性理論的證明過程都是建立在不動點理論的基礎上的，使得我們必須將討論范圍限制在有限區(qū)間內(nèi)的滿足Lipschitz條件的函數(shù)上，如何打破這個限制是一個值得思考的問題。在某些情況下，定理3可直接作為分數(shù)階微分方程的求解方法，通常稱之為存在唯一性解法。 由上面的介紹，我們可將分數(shù)階微積分方程存在唯一性理論及其所面臨的問題描述如下：3、 分數(shù)階微分方程初值問題解的依賴性下面我們來考察初值條件的微小變化將對方程的解造成怎樣的影響，為此，我們在初值條件中引入一個微小的改變量。 ， （37）其中為任意常數(shù)。定理4 設是初值問題（22）（23）的解

16、，是初值問題（22）、（37）的解，那么對任意的有： （38）其中為函數(shù)。證明：步驟一 用定理3的方式構造兩組函數(shù)序列，和 ，使得，。步驟二 由數(shù)學歸納法容易證明 （39）步驟三 對上式兩端取極限可得： （40）四、 Laplace變換求解法隨著分數(shù)階微分方程在工程應用中出現(xiàn)得越來越頻繁，給出分數(shù)階微分方程的有效而簡便的求解方法便顯得越來越重要，然而現(xiàn)有的求解方法都有著各種各樣的缺陷。下面我們介紹一種基于Laplace變換的分數(shù)階微分方程求解方法，該方法簡單、直觀，適用于常系數(shù)線性分數(shù)階微分方程的求解。1、 Laplace變換求解法（1） Laplace變換求解法的主要步驟步驟一：對原微分方程

17、做Laplace變換，化微分方程為代數(shù)方程；步驟二：求解該代數(shù)方程，得到原問題在變換域上的解；步驟三：對該變化域上的解做Laplace逆變換得到原問題的時域解。（2） Laplace變換求解法的應用下面我們通過兩個例子來說明Laplace變換法的應用方法。例1 我們考慮用Laplace變換法對如下的非齊次標準分數(shù)階微分方程的初值問題進行求解。， （41）， （42）其中，解：對方程（41）兩端做Laplace變換，并利用初值條件（42）可得：從而 （43）對式（31）做Laplace逆變換可得原微分方程的解為： （44）注：某些文獻中也給出了該問題用迭代法進行求解的過程，雖然兩種解法的結果相同

18、，但顯然Laplace求解法更為直觀、簡便。例2 下面我們考慮用Laplace變換法對序列分數(shù)階微分方程的初值問題進行求解。 （45）， （46）解：對方程（45）兩端做Laplace變換，并利用初值條件（46）可得：從而 （47）對式（35）做Laplace逆變換可得原微分方程的解為： （48）其中，。注：對比上面兩個初值問題容易看到他們在形式上非常相似，唯一的差別體現(xiàn)在一個是基于經(jīng)典分數(shù)階微積分定義的標準分數(shù)階微分方程，一個是基于序列分數(shù)階微積分定義的序列分數(shù)階微分方程，從而在初值地給法不一樣。但我們發(fā)現(xiàn)它們的解在表達式上也非常地相近，對比結果如下： 通過上面的對比可以發(fā)現(xiàn)，對應的標準分數(shù)階微分方程和序列分數(shù)階微分方程的解有一個共同點，即它們具有同樣的函數(shù)，下面我們就展開討論。2、 Green函數(shù)考慮如下的初值問題：， （49）其中（1） 定義若函數(shù)滿足如下條件，則稱其為方程（37）的函數(shù)：1）對任意的；2），（是Kronecker delta函數(shù)）； 3），。（2） 性質(zhì)1）是方程（49）的解；2）對常系數(shù)分數(shù)階微分方程有：；3）對的適當微分可得到一組齊次方程（）的線性無關解。下面我們利用函數(shù)的定義來證明上述三個性質(zhì)。證明1）：計算如下： （50）將上述等式所表示的，累加