【步步高】2014屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.1函數(shù)及其表示教案 理 新人教A版

1、§2.1函數(shù)及其表示2014高考會這樣考1.考查函數(shù)的定義域、值域、解析式的求法；2.考查分段函數(shù)的簡單應(yīng)用；3.由于函數(shù)的基礎(chǔ)性強，滲透面廣，所以會與其他知識結(jié)合考查復(fù)習(xí)備考要這樣做1.在研究函數(shù)問題時，要樹立“定義域優(yōu)先”的觀點；2.掌握求函數(shù)解析式的基本方法；3.結(jié)合分段函數(shù)深刻理解函數(shù)的概念1 函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作yf(x)，xA.(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量

2、，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集(3)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法、列表法2 映射的概念設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射3 函數(shù)解析式的求法求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法4 常見函數(shù)定義域的求法(1)分式函數(shù)中分母不等于零(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.(3)一次函

3、數(shù)、二次函數(shù)的定義域為R.(4)yax (a>0且a1)，ysin x，ycos x，定義域均為R.(5)ytan x的定義域為.(6)函數(shù)f(x)xa的定義域為x|xR且x0難點正本疑點清源1 函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素是：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系值域是由函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系所確定的兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致時，則認為兩個函數(shù)相等2 函數(shù)與映射(1)函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于，集合A與集合B只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射(2)映射不一定是函數(shù)，從A到B的一個映射，A、B若不是數(shù)集，則這個映射便不是函數(shù)3 函數(shù)的定義域(1)解決函數(shù)問題，函數(shù)的定義域必經(jīng)優(yōu)

4、先考慮；(2)求復(fù)合函數(shù)yf(t)，tq(x)的定義域的方法：若yf(x)的定義域為(a，b)，則解不等式得a<q(x)<b即可求出yf(q(x)的定義域；若yf(g(x)的定義域為(a，b)，則求出g(x)的值域即為f(t)的定義域1 (2011·浙江)設(shè)函數(shù)f(x)，若f(a)2，則實數(shù)a_.答案1解析f(x)，f(a)2，a1.2 (課本改編題)給出四個命題：函數(shù)是其定義域到值域的映射；f(x)是函數(shù)；函數(shù)y2x (xN)的圖象是一條直線；f(x)與g(x)x是同一個函數(shù)其中正確命題的序號有_答案解析對于函數(shù)是映射，但映射不一定是函數(shù)；對于f(x)是定義域為2，值域

5、為0的函數(shù)對于函數(shù)y2x (xN)的圖象不是一條直線；對于由于這兩個函數(shù)的定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù)3 函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，那么，f(x)的定義域是_；值域是_；其中只與x的一個值對應(yīng)的y值的范圍是_答案3,02,31,51,2)(4,54 (2012·江西)下列函數(shù)中，與函數(shù)y定義域相同的函數(shù)為 ()Ay ByCyxex Dy答案D解析函數(shù)y的定義域為x|x0，選項A中由sin x0xk，kZ，故A不對；選項B中x>0，故B不對；選項C中xR，故C不對；選項D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域為x|x0，故選D.5 (2012·福建

6、)設(shè)f(x)g(x)則f(g()的值為 ()A1 B0 C1 D答案B解析根據(jù)題設(shè)條件，是無理數(shù)，g()0，f(g()f(0)0.題型一函數(shù)與映射例1有以下判斷：(1)f(x)與g(x)表示同一函數(shù)；(2)函數(shù)yf(x)的圖象與直線x1的交點最多有1個；(3)f(x)x22x1與g(t)t22t1是同一函數(shù)；(4)若f(x)|x1|x|，則f0.其中正確判斷的序號是_思維啟迪：可從函數(shù)的定義、定義域和值域等方面對所給結(jié)論進行逐一分析判斷答案(2)(3)解析對于(1)，由于函數(shù)f(x)的定義域為x|xR且x0，而函數(shù)g(x)的定義域是R，所以二者不是同一函數(shù)；對于(2)，若x1不是yf(x)定義

7、域的值，則直線x1與yf(x)的圖象沒有交點，如果x1是yf(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線x1與yf(x)的圖象只有一個交點，即yf(x)的圖象與直線x1最多有一個交點；對于(3)，f(x)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對于(4)，由于f0，所以ff(0)1.綜上可知，正確的判斷是(2)(3)探究提高函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系這三要素不是獨立的，值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；因此當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)特別值得說明的是，對應(yīng)關(guān)系是就效果而言的(判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的

8、任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同)不是指形式上的即對應(yīng)關(guān)系是否相同，不能只看外形，要看本質(zhì)；若是用解析式表示的，要看化簡后的形式才能正確判斷 已知a，b為兩個不相等的實數(shù)，集合Ma24a，1，Nb24b1，2，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍為x，則ab等于 ()A1B2C3D4答案D解析由已知可得MN，故所以a，b是方程x24x20的兩根，故ab4.題型二求函數(shù)的解析式【例2】(1)已知flg x，求f(x)；(2)設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0有兩個相等實根，且f(x)2x2，求f(x)的解析式；(3)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2

9、f(x)f(x)lg(x1)，求函數(shù)f(x)的解析式思維啟迪：求函數(shù)的解析式，要在理解函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，尋求變量之間的關(guān)系解(1)令t1，則x，f(t)lg ，即f(x)lg .(2)設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，則f(x)2axb2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有兩個相等實根，44c0，c1，故f(x)x22x1.(3)當(dāng)x(1,1)時，有2f(x)f(x)lg(x1)以x代替x得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去f(x)得，f(x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)探究提高函數(shù)解析式的求法(1)配湊法：由已知條件f(g(x)F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)

10、于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法；(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(4)消去法：已知關(guān)于f(x)與f或f(x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x) (2012·武漢模擬)給出下列兩個條件：(1)f(1)x2；(2)f(x)為二次函數(shù)且f(0)3，f(x2)f(x)4x2.試分別求出f(x)的解析式解(1)令t1，t1，x(t1)2.則f(t)(t1)22(t1)t21，f(x)x21

11、 (x1)(2)設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)c3.f(x)ax2bx3，f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.，f(x)x2x3.題型三函數(shù)的定義域【例3】(1)函數(shù)y的定義域為_(2)若函數(shù)yf(x)的定義域是0,2，則函數(shù)g(x)的定義域是 ()A0,1 B0,1)C0,1)(1,4 D(0,1)思維啟迪：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；抽象函數(shù)的定義域要注意自變量的取值和各個字母的位置答案(1)(1,1)(2)B解析(1)由，得1<x<1.(2)依已知有解之得0x<1，定義域為0,1)故選B.探究

12、提高(1)求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集(2)已知f(x)的定義域是a，b，求fg(x)的定義域，是指滿足ag(x)b的x的取值范圍，而已知fg(x)的定義域是a，b，指的是xa，b (1)若函數(shù)f(x)的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是_答案解析f(x)的定義域為R，即mx24mx30恒成立當(dāng)m0時，符合條件當(dāng)m0時，(4m)24×m×3<0，即m(4m3)<0，0<m<.綜上所述，m的取值范圍是.(2)已知f(x)的定義域是0,4，則f(x1)f(x1)的定義域是_答案1,3解

13、析由，得1x3.故f(x1)f(x1)的定義域為1,3題型四分段函數(shù)【例4】)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)則f(2 014)的值為_思維啟迪：注意到2 014較大，較難代入計算求出值，所以可通過x取較小數(shù)值探究函數(shù)f(x)值的規(guī)律性，再求f(2 014)也可以先用推理的方法得出f(x)的規(guī)律性，再求f(2 014)答案1解析方法一由已知得f(1)log221，f(0)log210，f(1)f(0)f(1)1，f(2)f(1)f(0)1，f(3)f(2)f(1)0，f(4)f(3)f(2)1，f(5)f(4)f(3)1，f(6)f(5)f(4)0，f(7)f(6)f(5)1，f(8)f(

14、7)f(6)1，所以f(x)的值以6為周期重復(fù)出現(xiàn)，因此，f(2 014)f(4)1.方法二x>0時，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)兩式相加得f(x1)f(x2)，f(x3)f(x)，f(x6)f(x3)f(x)，f(x)的周期為6.因此，f(2 014)f(6×3354)f(4)1.探究提高求分段函數(shù)的函數(shù)值時，應(yīng)根據(jù)所給自變量的大小選擇相應(yīng)段的解析式求解，有時每段交替使用求值若給出函數(shù)值求自變量的值，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量值是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍 設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)的x值為 ()A2 B3C2或3

15、 D2答案C解析當(dāng)x2時，由f(x)，得2x.解得x2.當(dāng)x>2時，由f(x)，得log81x，解得x3.3.忽視函數(shù)的定義域典例：求函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)區(qū)間易錯分析忽視函數(shù)的定義域，認為x的范圍是全體實數(shù)，導(dǎo)致錯誤解設(shè)tx23x，由t>0，得x<0或x>3，即函數(shù)的定義域為(，0)(3，)函數(shù)t的對稱軸為直線x，故t在(，0)上單調(diào)遞減，在(3，)上單調(diào)遞增而函數(shù)ylogt為單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)ylog(x23x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(3，)溫馨提醒函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求

16、出函數(shù)的定義域如果是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)該根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，首先判斷兩個簡單函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)同增異減的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間由于思維定勢的原因，容易忽視定義域，導(dǎo)致錯誤4.分段函數(shù)意義理解不清典例：設(shè)函數(shù)f(x)，若f(2)f(0)，f(1)3，求關(guān)于x的方程f(x)x的解易錯分析(1)條件中f(2)，f(0)，f(1)所適合的解析式是f(x)x2bxc.所以可構(gòu)建方程組求出b，c的值(2)在方程f(x)x中，f(x)用哪個解析式，要進行分類討論，不能忽視自變量的限制條件規(guī)范解答解當(dāng)x0時，f(x)x2bxc，因為f(2)f(0)，f(1)3，解得4分f(x)6分當(dāng)x0時，由f(x)x得

17、，x22x2x，得x2或x1.由x1>0，所以舍去8分當(dāng)x>0時，由f(x)x得x2，10分所以方程f(x)x的解為2、2.12分溫馨提醒(1)對于分段函數(shù)問題，是高考的熱點在解決分段函數(shù)問題時，要注意自變量的限制條件(2)就本題而言，當(dāng)x0時，由f(x)x得出兩個x值，但其中的x1不符合要求，上述解法中沒有舍去此值，因而導(dǎo)致了增解分段函數(shù)問題分段求解，但一定注意各段的限制條件.方法與技巧1在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，要緊扣兩點：一是定義域相同；二是對應(yīng)關(guān)系相同2定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù)，對函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義域上進行3函數(shù)的解析式的幾種常用求法：待

18、定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法4分段函數(shù)問題要分段求解失誤與防范求分段函數(shù)應(yīng)注意的問題：在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.(時間：60分鐘)A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分，共20分)1(2012·山東)函數(shù)f(x)的定義域為 ()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2答案B解析由得1<x2，且x0.2 (2012·江西)設(shè)函數(shù)f(x)則f(f(3)等于 ()A. B3 C. D.答案D解析由題意知f(3)，f21，

19、f(f(3)f.3 設(shè)g(x)2x3，g(x2)f(x)，則f(x)等于 ()A2x1 B2x1C2x3 D2x7答案D解析由g(x)2x3，知f(x)g(x2)2(x2)32x7.4 若函數(shù)yf(x)的定義域為Mx|2x2，值域為Ny|0y2，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是()答案B解析可以根據(jù)函數(shù)的概念進行排除，使用篩選法得到答案二、填空題(每小題5分，共15分)5 已知f(x)x2pxq滿足f(1)f(2)0，則f(1)_.答案6解析由f(1)f(2)0，得，f(x)x23x2.f(1)(1)2326.6 已知f，則f(x)的解析式為_答案f(x)解析令t，由此得x，所以f(t)，從而f(

20、x)的解析式為f(x).7 若函數(shù)f(x)的定義域為R，則a的取值范圍為_答案1,0解析由題意知2x22axa10恒成立x22axa0恒成立，4a24a0，1a0.三、解答題(共25分)8 (12分)已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1.求函數(shù)f(x)的解析式解設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，解得.f(x)x2x.9 (13分)記f(x)lg(2x3)的定義域為集合M，函數(shù)g(x)的定義域為集合N，求：(1)集合M、N；(2)集合M

21、N，MN.解(1)Mx|2x3>0，Nx|x3或x<1；(2)MNx|x3，MNx|x<1或x>B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分，共15分)1 已知映射f：AB.其中ABR，對應(yīng)關(guān)系f：xyx22x，對于實數(shù)kB，在集合A中不存在元素與之對應(yīng)，則k的取值范圍是 ()Ak>1 Bk1 Ck<1 Dk1答案A解析由題意知，方程x22xk無實數(shù)根，即x22xk0無實數(shù)根4(1k)<0，k>1時滿足題意2 (2011·福建)已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實數(shù)a的值等于 ()A3 B1 C1 D3答案A解析由題意知f(1)212.f(a)f(1)0，f(a)20.當(dāng)a>0時，f(a)2a,2a20無解；當(dāng)a0時，f(a)a1，